2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：25 正方形（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：專題25正方形問題

1.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2.正方形的性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；

（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

（4）正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；

（5）正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的

小等腰直角三角形；

（6）正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等。

3.正方形的判定

判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

一是先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。即有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

二是先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角。即有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面積：設(shè)正方形邊長為a,對(duì)角線長為b,S=a2=—

2

【例題1】（2020?臺(tái)州）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實(shí)線圖案，每塊大正方形

地磚面積為a,小正方形地磚面積為4依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形4靦.則正方形/靦

的面積為.（用含a,6的代數(shù)式表示）

D

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【答案】砧b.

【解析】如圖，連接DK,DN,證明S四邊形DU\T=SADK'U即可解決問題.

4

如圖，連接冊(cè)DN,

V/KDN=/MDT=9G,

：?4KDM=4NDT,

YDK=DN,/DKM=/DNT=43。,

???△眺儂(AS4),

S^DKM=S^MTf

S四邊形即，=Sk/M、=-39

正方形力拉力的面積=4x-a^b=a+b.

4

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?廣西賀州）如圖，正方形力靦的邊長為4,點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，AF平分4BAE交.BCW-

點(diǎn)尸，將繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AABG,則"■的長為.

GBFC

【答案】6-2娓.

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【解析】作￡歸_助于"，胡'J_4G于"如圖，易得四邊形）如為矩形，則/^=4,

?；正方形力靦的邊長為4,點(diǎn)￡是切的中點(diǎn)，

：.DE=2,

:，AE=yj^2^22,

△/龐?繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△力6G,

:.AG=AE=2娓,BG=DE=2,/3=N4,/勿￡=90°,NABG=NA90°,

而/4比三90°,

...點(diǎn)G在"的延長線上，

??"產(chǎn)平分/協(xié)6交8c于點(diǎn)F,

.,.Z2+Z4=Z1+Z3,即為平分/物〃，

:.FN=FM=4,

-LAB^GF^^F^AG,

22

.?.G尸=4'2匹=2旄,

4

：.CF=CG-/=4+2-2遙=6-2遙.

故答案為6-2遙.

【例題2】（2020?青島）如圖，在正方形4必?中，對(duì)角線”■與勿交于點(diǎn)。，點(diǎn)《在刃的延長線上，連接

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心點(diǎn)尸是四的中點(diǎn)，連接冰交助于點(diǎn)G.若〃￡=2,。尸=3,則點(diǎn)力到〃尸的距離為

【答案】

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到4。=〃。，N/〃C=90°,求得/力以=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到加

=AF=EF=3AE,根據(jù)三角形中位線定理得到尸G=3￡=1,求得4>=徵=4,過/作MCLZF于〃，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論.

?.?在正方形ABCD中,對(duì)角線4C與劭交于點(diǎn)0,

：.AO=DO,N/〃C=90°,

.?./1朦=90°,

?.?點(diǎn)戶是如'的中點(diǎn),

:.DF=AF=EF=/AE,

...。尸垂直平分AD,

：.AG=DG,:.FG=：DE=1,

'：0F=2,：.0G=2,

■:AgCO,:.CQ20G=4,."g折4,

過A作A/LLDF于H,:.ZH=NADE=9Q°,

■:AF=DF,：.4ADF=/DAE,：./XADH^/\AED,

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.AH_AD

**DE~AE

：.AE=y/AD2+DE2=V42+22=2后

.AH4.,475

…一=-F，..ALH=----，

22V55

即點(diǎn)A到%'的距離為乎

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019內(nèi)蒙古包頭）如圖，在正方形被力中，AB=1,點(diǎn)、E,尸分別在邊比'和繆上，AE^AF,

/胡尸=60°,則行1的長是（）

A.近+1B.返C.V3-1D.2

423

【答案】C

【解析】I?四邊形46如是正方形，

:.ZB=ND=/BAD=9Q°,AB=BC=CD=AD=\,

在RtZ\4跖和RtZ\4〃尸中，!杷二AF,

|AB=AD

...RtZU6@Rt△被(HL),

NBAE=ZDAF,

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：/￡4尸=60°,

:.NBAE+NDAF=3C,

：.ZDAF=15Q,

在4〃上取一點(diǎn)G,使/加=/加廠=15°,如圖所示:

：.AG=FG,Z2?6F=30°,

：.DF=^FG=^AG,DG=4ZDF,

設(shè)DF=x,貝AG=FG=2x,

,：4卅DG=AD,

2x+{^x=1,

解得：x—2--73,

:.DF=2-M，

：.CF=CD-DF=\-(2-V3)=V3-1;

故選：C.

【例題3】(2020?湘西州)如圖，在正方形/靦的外側(cè)，作等邊三角形4龍，連接跳；CE.

(1)求證：△胡修△頌'；

(2)求//項(xiàng)的度數(shù).

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B

【答案】見解析。

【解析】利用等邊三角形的性質(zhì)得到/EAD=/EDA=60°,利用正方形的性質(zhì)得到力〃=力〃

=CD,ZBAD=ZCDA=90°,所以N￡48=N&%=150°,然后根據(jù)“SIS”判定△加&Z\C陽

先證明AB=AE,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算N/1緲的度數(shù).

(1)證明：???△力應(yīng)為等邊三角形，

:?/AD=AE=DE,ZEAD=ZEDA=&0°,

???四邊形ABCD為正方形,

：.AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA=90°,

：.AEAB=AEDC=\^°,

在△氏法和40定中

(AB=DC

ZEAB=NEDC,

MF=DE

???△為隹△儂(SIS)；

(2)*：AB=AD,AD=AEf

：.AB=AEf

:?/ABE=/AEB,

???N￡46=150°,

AZABE=-(180°-150°)=15°.

2

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【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019湖南株洲)如圖所示，已知正方形明心的頂點(diǎn)。為正方形165對(duì)角線〃；做的交點(diǎn),

連接破DG.

(1)求證：△戊必△%>￡1；

(2)若DGLBD,正方形/笈力的邊長為2,線段4。與線段比相交于點(diǎn)肌/LI/=-,求正方形陽憶的邊長.

【答案】(1)見解析；(2)2娓.

【解析】解:

(1):正方形與正方形第七，對(duì)角線47、BD

：.DO=OC

'：DBLAC,：.ND0A=4DOC=9Q°

*：4GOE=90°,/.ZGOIAZDOE^Z￡>OE+ZCOE^900

：.ZGOD=ACOE

'：GO=OE

.?.在△〃宓和△口定中

rDO=OC

'ZGOD=ZCOE

GD=OE

:.△DOG^XCOE(S4S)

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(2)如圖，過點(diǎn)"作物/_!_〃。交〃。于點(diǎn)〃

,.?4獷=一1，DA=2,:?DM=3d

22

???/劭%=45°

.,..)#/=ZW=sin45°?加1=3^0,Z?(7=cos45°?DA=42

C.HO^DO-DH=M-

在R3/H0中，由勾股定理得

SJMH2+HC|2=J(￥產(chǎn)+(乎)2=喙

■:DG1BD,MH工DO,：.MH//DG

二易證△。的s△如C

V2返

嚼常囁嚼得…

則正方形陽石的邊長為2娓.

專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

—?、選擇題

1.（2020?河南）如圖，在△?1%中，N4必=90°,邊回在x軸上，頂點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為（-2,6)和

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(7,0).將正方形效應(yīng)沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)￡落在46邊上時(shí)，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為()

A.2)B.(2,2)C.(-,2)D.(4,2)

24

【答案】B

【解析］根據(jù)已知條件得到4C=6,OC=2,如=7,求得8。=9,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到%'=。。=儂=2,

求得0，F(xiàn)=0，C'=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到6。=3,于是得到結(jié)論.

如圖，設(shè)正方形?！瓹O'E'是正方形位%'沿x軸向右平移后的正方形，

?.?頂點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(-2,6)和(7,0),

.,"C=6,OC^2,OB=7,

:.BC=9,

???四邊形。儂是正方形，

:.DE=OC=OE=2,

：.O'E'=0'C=2,

'：E'O'LBC,

：.ABO'E'=/6。=90°,

：.E'O'//AC,

：./\BO'E'sXBCA,

.E'O'BO'

??-------=------，

ACBC

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?--BO'

**6-9

：.BOl=3,

/.OC=7-2-3=2,

.?.當(dāng)點(diǎn)￡落在邊上時(shí)，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,2）.

2.（2020?湖州）七巧板是我國祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長為2的正方形可以制作一副

中國七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四邊形或矩形，則

這兩個(gè)圖形中，中國七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)分別是（）

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案】D

【解析】根據(jù)要求拼平行四邊形矩形即可.

中國七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)都是2,如圖所示:

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用中國的七巧板拼日本七巧板的拼法

故選：D.

3.（2020?溫州）如圖，在口△相，中，N4⑦=90°,以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CTiLAG于點(diǎn)

R,再過點(diǎn)C作的2_。?分別交邊場BH于■息P,Q.若QH=2PE,倒=15,則次的長為（）

A.14B.15C.8V3D.6V5

【答案】A

【分析】如圖，連接空CH.設(shè)4?交也于/證明△的s△他。，推出卷=釜=案=；,由加=15,可

CQCHHQ2

得AC=5,CglO,由￡&C41：2,推出AGBC=\：2,設(shè)〃-a,BC=2a,證明四邊形力6Q7是平行四

邊形，推出48=&=10,根據(jù)id+bdun）,構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

【解析】如圖，連接灰；CH.設(shè)四交4?于/

FRG

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,/四邊形ACDE,四邊形8C7”都是正方形,

:?/ACE=/BCH=43°,

VZACB=90°,Na7=90°,

:?/ACE+/ACm/BCH=\那,/ACB"BCI=9。。

:?B,C,〃共線，A,3/共線，E、a〃共線，

,:DE〃AI〃BH,

：2CEP=4CHQ,

'：ZECP=ZGC//f

[△ECP^XHCQ,

.PC_CE_EP_1

.*CQ-CH-HQ-2,

YPQ=\5,

:,PC=5,eg10,

?:EC：CH=\：2,

：.AC：BC=k2,設(shè)4。=a,BC=2a,

YPQICR,CRLAB,

：.CQ//AB.

9：AC//BQ,CQ//AB,

???四邊形力以七是平行四邊形，

：.AB=CQ=\Q,

?:Ad+BG=AM

???54=100,

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/.a=2V5(負(fù)根已經(jīng)舍棄),

..“C=2V5,BC=4痘,

'：^AC-BC=^AB'CJ,

■:JR=AF=AB=\Q,

：.CR=CJ+JR=\\

4.(2020?南京)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。在第一象限，。尸與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形/敗

的頂點(diǎn)C,與6c相交于點(diǎn)〃.若。戶的半徑為5,點(diǎn)力的坐標(biāo)是(0,8).則點(diǎn)〃的坐標(biāo)是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案】A

【分析】設(shè)。。與x、y軸相切的切點(diǎn)分別是尺￡點(diǎn)，連接戰(zhàn)PF、PD,延長即與切交于點(diǎn)C,證明四邊

形如亦為正方形，求得8,再根據(jù)垂徑定理求得徵，進(jìn)而得PG、DB,便可得。點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】設(shè)。。與x、y軸相切的切點(diǎn)分別是尺￡點(diǎn)，連接反PF、PD,延長〃與口交于點(diǎn)G,

則必'_Ly軸，用Lx軸，

?.?NA*=90°,...四邊形如用是矩形，

?:PE=PF,必〃明...四邊形必所為正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

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'：A(0,8),???勿=8,：.AE=8-5=3,

??,四邊形以密為矩形，：.BC=OA=8,BC//OA,AC//OB,

：.EG//AC.

???四邊形月夕GC為平行四邊形，四邊形施詡為平行四邊形，

:?CG=AE=3,EG=OB,

?：PE工AO,AO//CB,:.PGLCD,:?CD=2CG=6,：.DB=BC-CD=8-6=2,

■:PD=\,DG=CG=3,

:?PG=4,??,仍=￡Z；=5+4=9,：.D(9,2).

5.(2020?天津)如圖，四邊形仍切是正方形，。，〃兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0),(0,6),點(diǎn)C在第一象限,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

y八

D-------------------------iC

萬Bx

A.(6,3)B.(3,6)C.(0,6)D.(6,6)

【答案】D

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【解析】利用正方形的性質(zhì)求出OB,BC,制即可.

?.?四邊形的是正方形，

：.OB=BC=CD=OD,ACDO=ACBO=^°,

'：0,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,0）,（0,6）,

：.OD=6,

：.OB=BC=CQ6,

，C（6,6）.

二、填空題

6.（2020?連云港）如圖，將5個(gè)大小相同的正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，若頂點(diǎn)以N的坐標(biāo)分別為（3,

9）、（12,9）,則頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

A

【答案】（15,3）.

【解析】由圖形可得物"X軸，網(wǎng)'=9,以，〃y軸，可求正方形的邊長，即可求解.如圖,

%

~Ox

???頂點(diǎn)欣A'的坐標(biāo)分別為（3,9）、（12,9）,

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...朗V〃x軸，朗V=9,BN//y^,

...正方形的邊長為3,

:.BN=6,

.,.點(diǎn)B（12,3）,

'：AB//MN,

."勿x軸,

二點(diǎn)力（15,3）

7.（2020?紹興）如圖1,直角三角形紙片的一條直角邊長為2,剪四塊這樣的直角三角形紙片，把它們按圖

2放入一個(gè)邊長為3的正方形中（紙片在結(jié)合部分不重疊無縫隙），則圖2中陰影部分面積為.

圖1圖2

【答案】4V5.

【解析】根據(jù)題意和圖形，可以得到直角三角形的一條直角邊的長和斜邊的長，從而可以得到直角三角形的

另一條直角邊長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積是四個(gè)直角三角形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.由

題意可得，

直角三角形的斜邊長為3,一條直角邊長為2,

故直角三角形的另一條直角邊長為：V32-22=V5,

故陰影部分的面積是：等x4=4b

8.（2020?天水）如圖，將正方形旃放在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（2,3）,則

點(diǎn)/的坐標(biāo)為.

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【答案】(-1,5).

【解析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，再由正方形的中心對(duì)稱的性質(zhì)求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

如圖，過點(diǎn)￡作了軸的垂線力/,垂足為//.過點(diǎn)G作x軸的垂線GZ垂足為弘連接眼而交于點(diǎn)。'.

?.?四邊形如皆是正方形，

：.OG=EO,A0E11,ZOGM=ZEOII,

在△%V與中，

rZOGM=/EOH

OG=EO

"OM=ZOEH

：./\OG^/\EOHCASA)

：.GM=OH=2,OM=EH=3,

：.G{-3,2).

：.O'(-p

???點(diǎn)/與點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,5).

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9.（2020?德州）如圖，在矩形四口中，AB=V3+2,AD=如.把沿芯折疊，使點(diǎn)。恰好落在四邊上

的〃處，再將△4?'繞點(diǎn)？順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到反T,使得￡4'恰好經(jīng)過加'的中點(diǎn)凡A'D"交

力8于點(diǎn)G,連接附'.有如下結(jié)論：①4尸的長度是歷一2；②弧Z74的長度是野h③△/4恒△/

EG；④△加'FsXEGF.上述結(jié)論中，所有正確的序號(hào)是.

【答案】①②④.

【解析】:?把力〃沿四折疊，使點(diǎn)。恰好落在四邊上的〃'處,

E=9Q°=ADAD,AD=AD,

...四邊形/麗是矩形，

又,：AAAD=陋,

四邊形/曲是正方形，

:.AgAD=DE=DE=取,AE=y/2AD=V6,/EAD=NAEU=45°,

：.DB=AB-AD=2,

?.?點(diǎn)尸是即中點(diǎn)，

：.U尸=1,

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：.EF=JDZE2+DfF2=VT+T=2,

\?將△/!￡?'繞點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,

:.AE=AE=巫,NDED'=a,￡EAD'=Z.EAD=45°,

.-.//■=V6-2,故①正確；

；tan/曲=—=-^=—,

DzEV33

"FED=30°

???a=30°+45°=75°,

.?.弧DD"的長度=二三等=等31，故②正確；

18012

'：AE=AE,AAEA=75°,

：.AEAA=ZEAA=52.5°,

m=7.5°,

,?ZAA'F豐Z￡4'G,AAAE豐ZEAG,ZAFA'=120°^ZEA'G,

:NA尸與△/必不全等，故③錯(cuò)誤；

'：DE=O'E,EG=EG,

ARtAAZ/儂Rt△物‘GQ心,

：.AOGE=ZZ?'GE,

'：乙AG0'=Z/AG+ZAA'G=105°,

:.NDGE=32.5。=NAA'F,

又,.?//必'=4EFG,

：.△力用sXEFG,故④正確,

第20頁共35頁

故答案為：①②④.

10.（2020?攀枝花）如圖，在邊長為4的正方形眼力中，點(diǎn)反尸分別是微切的中點(diǎn)，DE、/1交于點(diǎn)G,

力廠的中點(diǎn)為〃，連接跖、DH.給出下列結(jié)論：

①AF_LDE；?DG=|；③HD〃BG；④△ABGs/\DHF.

其中正確的結(jié)論有.（請(qǐng)?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號(hào)）

【解析】故答案為：①④.

【分析】證明△』勿再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合余角的性質(zhì)得到/以/=90°,可判斷①，再利

用三角形等積法■可算出的,可判斷②；再證明N〃叩=NNBAG,求出4G,DII,HF,可判

注叢ABG?叢DHF,可判斷④；通過｛氏/lG,得到//比和不相等，則/左吩/哪,可判斷③.

【解析】???四邊形/靦為正方形，

：.ZA/JC^ZBCD^90Q,AD^CD,

和?分別為9和W中點(diǎn)，

:.DF=Eg2,

:NDFaXDCE（必S）,

:.4AFD=/DEC,ZFAD=/EDC,

'：4EDC+NDEC=9Q°,

:./EDC+/AFD=9Q°,

:.NDGF=9Q°,即〃EL/F,故①正確;

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?.3片4,DF="g2,

2

：.AF=V42+22=2V5,

:.DG=ADXDFaW，故②錯(cuò)誤；

?.?〃為力尸中點(diǎn)，

：.HD=HF=-AF=V5,

2

：.4HDF=/HFD,

■:AB〃DC,

：.ZHDF=ZHFD=/BAG,

'：AG=y]AD2-DG2=竽，48=4,

.AB_AB_4遍_AG

??DH-HF-5-DFf

:.△ABG-XDHF,故④正確；

:.NABG=2DHF,而止MG,

貝lJ/4%7和N4?不相等，

取乙AGB^NDHF,

故必與居不平行，故③錯(cuò)誤。

11.（2020?咸寧）如圖，四邊形4?必是邊長為2的正方形，點(diǎn)《是邊比'上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8C重合），Z

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4尸=90°,且環(huán)1交正方形外角的平分線于點(diǎn)凡交位于點(diǎn)G,連接有下列結(jié)論:

①2ABMXECG；

②AE=EF；

③NDAF=NCFE；

④△處的面積的最大值為1.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

【解析】①②③.

【分析】①由NAEB+NCEG=NAE班NBAE得NBA￡=NCEG,再結(jié)合兩直角相等得△/施

②在曲上截取⑸Q」班,易得△跖V為等腰直角三角形，則N5監(jiān)'=45°,所以監(jiān)'=135°,再利用等角的

余角相等得到/物￡=/砒；于是根據(jù)aASr可判斷△4席^^￡5則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可對(duì)②進(jìn)行

判斷；

③由/物傷（■/的b=45°,ZCEF+ZCFE=45°,可得出/的尸與/板的大小關(guān)系，便可對(duì)③判斷;

④設(shè)應(yīng)"=x,則?/=x,AQAB-BM=4-x,利用三角形面積公式得到第現(xiàn)=3x?（2-x）,則根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)可得心演的最大值，便可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【解析】①???四邊形/靦是正方形，

:.NB=NECG=9Q°,

VZ^=90°,

ZAEB+ZCEG=ZAEB+ZBAE,

：.4BAE=/CEG,

第23頁共35頁

:.XABESMECG,

故①正確；

②在物上截取馴=跖如圖1,

圖1

???四邊形ABCD為正方形,

???N8=90°,BA=BC,

???△跖V為等腰直角三角形,

:?NBME=45°,

???N4〃=135°,

*：BA-BM=BC-BE,

:.AM=CE,

Th為正方形外角平分線，

：.ZDCF=45°,

AZfCF=135°,

VZ^=90°,

:"AEB+/FEC=9C,

而N4黝■NR4E=90°,

???/BAE=/FEC,

在姐和△仇萬中

第24頁共35頁

(ZMAE=NCEF

<AM=EC，

\ZAME=/ECF

:.△4Ml\ECF,

:?AE=EF,

故②正確；

③.：AE=EF,N45尸=90°,

：.ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

*：/BAE+/CFE=/CER/CFE=45°,

：.4DAF=4CFE,

故③正確；

④設(shè)BE=x,則BM=x,AM=AB-8M=4-x,

S4ECF=百一*x*Q2-x)=—(%~1)H—,

222

當(dāng)x=l時(shí)，&附有最大值點(diǎn)

故④錯(cuò)誤.

12.(2020?河南)如圖，在邊長為2位的正方形加力中，點(diǎn)反廠分別是邊旅a'的中點(diǎn)，連接aFD,

點(diǎn)、G,//分別是EC,網(wǎng)的中點(diǎn)，連接67/,則打的長度為.

【解析】1,

第25頁共35頁

【分析】設(shè)陰"交于“根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N8=N比尸=90°,BC=CD=AB,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義

得到6￡=(附根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到位=加，/BCE=ZCDF,求得加工龍，根據(jù)勾股定理得到但

DF=J(2V2)2+(V2)2=V1O,點(diǎn)G,〃分別是EC,9的中點(diǎn)，根據(jù)射影定理即可得到結(jié)論.

【解析】沒DF,應(yīng)交于。，

?.?四邊形46切是正方形，

:.NB=NDCF=9Q°,BC=CD=AB,

,:點(diǎn)、E,尸分別是邊46,重的中點(diǎn)，

：.BE=CF,

:.△CBgRDCF(弘S),

：.CE=DF,』BCE=4CDF,

■：4CDR2CFD=gQ°,

：.NBCE+NCFD=9G,

.,./CF=90°,

C.DFA.CE,

：.CE=DF=J(2&)2+(偽2=^o,

?:點(diǎn)G,〃分別是￡C,外的中點(diǎn)，

：.CG=F//=—,

2

■:/DCF=90°,COLDF,

：.CFL=OF-DF,

.CF2(一)2V10

??Oncr==y—1=,

DF\/To5

第26頁共35頁

：.0H=壁,()[)=嗎,

105

?：oG=o卜oi),

：.0C=型X』出,

7555

：.0G=CG-0C=~~—=—,

2510

22

HG=y/OG+OH=7—io+—io=1

三、解答題

13.（2020?遵義）如圖，在邊長為4的正方形/四中，點(diǎn)￡為對(duì)角線〃'上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)￡與點(diǎn)4、61不重

合），連接戰(zhàn)作叫讓然交射線為于點(diǎn)E過點(diǎn)￡作助平〃回分別交切、48于點(diǎn)以N,作射線加■交射線

。于點(diǎn)G.

（1）求證：EF—DE\

（2）當(dāng)AF=2時(shí)，求必■的長.

【答案】見解析。

【分析】（1）要證明*%只要證明△凰獷即可，然后根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，可以

第27頁共35頁

得到△〃物用尸的條件，從而可以證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得至I」4G和8、"的長，然后即可得到必的長.

【解答】(1)證明：???四邊形四繆是正方形，〃'是對(duì)角線，

；?二夕C"=45°,

MN//BQNH6￥=90°,

???/川浙介/慶浙=180°,/MNB+/B=180°,

工NA欣;=90°,N版@=90°,

MEC=/MCE=45°,/DME=/ENF=90°,

:?MC=ME,

YCD=MN,

:?DM=EN,

.：DELEF,/ED於ZDEM=90°,

???N嬌=90°,

：.ZDE^ZFEN=W°,

:?/EDM=/FEN,

在△〃團(tuán)和△酸廳中

(NEDM=NFEN

<DM=EN,

\ZDME=NENF

???△〃修△切昭(ASA),

：.EF=DE；

(2)如圖1所示，由(1)知，△加蛇△或E

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:?ME=NF,

??,四邊形期V%是矩形，

：.MC=BN,

又?：ME=MC,A8=4,AF=2,

：.BN=MC=NF=\,

?：NEMC=90°,

JCE=V2,

?：AF//CD,

：.l\DGCs[\FGA,

.CD_CG

??AF=AG，

.4_CG

**2-AG"

YAB=BC=4,NB=90°,

???/C=4VL

U：AC=AG^GQ

?“4-\/2”8\/2

??71Cz-，CM—，

33

GE=GC-CE=^-y/2=~

如圖2所示，

同理可得，F(xiàn)N=BN,

；力廠=2,48=4,

：.AJV=1,

第29頁共35頁

?：AB=BC=4,N8=90°,

：.AC=Ay[2,

?：AF//CD,

:ZAFSXGCD,

,AFGA

??=，

CDGC

BP-=---r,

4AG+4\f2

解得，AG=MI,

■:A-NE=\,NE/=90°,

：.AE=V2,

/.GE=GA+AE=5版

14.(2019湖南湘西州)如圖，在正方形月6切中，點(diǎn)后尸分別在邊切，ADk,且〃、

=CE.

(1)求證：△/母絲△哪,：

(2)若48=4,4尸=1,求四邊形班加的面積.

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【答案】（1）見解析；（2）12.

【解答】（1）在跖和△鹿中

'AB=BC

-ZA=ZC=90°>

AF=CE

:.△ABF^XCBE（外S）；

（2）由已知可得正方形4及力面積為16,

尸面積=/\哪面積=,><4X1=2.

2

所以四邊形瓦班的面積為16-2X2E2.

15.（2020湖北仙桃模擬）如圖，E,尸分別是正方形46繆的邊力，比、延長線上的點(diǎn)，RBE=CF,過點(diǎn)6

作EG//BF,交正方形外角的平分線CG于點(diǎn)C,連接GF.求證：

(1)AE1BF；

（2）四邊形81%少是平行四邊形.

【答案】見解析。

【解析】由必S證明得出4￡=朋4BAE=/CBF,由平行線的性質(zhì)得出/斯=證出

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AE1EG,即可得出結(jié)論；延長46至點(diǎn)P,使B七郎,連接卅則4°=幽/戚=90°,證明△仍能△

及K得出AE=EG,證出EG=BF,即可得出結(jié)論.

證明：（1）???四邊形/四是正方形，

:"B=BC,/胸=/6G9=90°,

:./ABE=NBCF=9Q°,

'AB=BC

在△/應(yīng)1和△氏/中，，NABE=NBCF,

BE=CF

：4AB?l\BCF（弘S）,

：.AE=BF,ABAE=ACBF,

'：EG//BF,：.NCBF=4CEG,

■:NBAE+NBEA=9Q°,:./CEMNBEA=9Q°,

：.AELEG,:.AELBF；

（2）延長48至點(diǎn)只使BPBE,連接以，如圖所示：

WJAP^CE,/EBfO°,