一類微分方程的積分不等式

一類微分方程的積分不等式

在方程定性理論的研究中，積分梯度發(fā)揮著非常重要的作用。在1984年，為了研究方程解的漸進(jìn)性，給出了滿足方程和nevai的等式。在此基礎(chǔ)上，描述了更廣泛的是非正比的類比方程。如下所示。引理1設(shè)x,f∈C(R+,R+),w是R+上單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù),且當(dāng)u>0時(shí),w(u)>0,C≥0為常數(shù),若x(t)≤C+∫∞tf(s)w(x(s))ds,t∈R+,則對(duì)0≤T≤t<∞,有x(t)≤G-1(G(C)+∫∞tf(s)ds)其中G(Ζ)=∫ΖΖ0dsw(s),(Ζ≥Ζ0>0),G-1是G的反函數(shù),T∈R+滿足G(C)+∫∞tf(s)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(1)證明令F(t)=C+ε+∫∞tf(s)w(x(s))ds,其中ε是任意小的正數(shù),則有x(t)≤F(t)且F′(t)=-f(t)w(x(t))≥-f(t)w(F(t))(2)由此有F′(t)w(F(t))≥-f(t)兩邊從t至∞積分,并令ε→0得∫∞tF′(s)w(F(s))ds≥-∫∞tf(s)ds,即G(F(t))≤G(F(∞))+∫∞tf(s)ds,t∈R+,因此,由G(z)的定義,當(dāng)0≤T≤t<∞時(shí),有F(t)≤G-1(G(C)+∫∞tf(s)ds)(3)其中T滿足(1)式,由(2),(3)知結(jié)論成立.引理2設(shè)x(t),f1(t),f2(t)∈C(R+,R+),Ω是R+上單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù),當(dāng)u>0時(shí),Ω(u)>0,且為次可乘的,即x,y∈R+,Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y).若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+有x(t)≤C+∫∞tf1(s)x(s)ds+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds(4)則對(duì)0≤T≤t<∞有x(t)≤exp(∫∞tf1(s)ds)G-1(G(C)+∫∞tf2(s)Ω(exp∫∞sf1(ξ)dξ)ds)(5)其中G(Ζ)=∫ΖΖ0dsΩ(s),Ζ≥Ζ0>0(6)G-1是G的反函數(shù),T∈R+滿足G(C)+∫∞tf2(s)Ω(exp∫∞sf1(ξ)dξ)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(7)證明令F(t)=C+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds,則F(t)非負(fù)單調(diào)不增,由(4)及類似于引理1的證明可得x(t)≤F(t)exp(∫∞tf1(s)ds)(8)令w(t)=exp(∫∞tf1(s)ds)(9)不等式(9)兩邊同除以w(t)得x(t)w(t)≤C+∫∞tf2(s)Ω(x(s))ds≤C+∫∞tf2(s)Ω(x(s)w(s))Ω(w(s))ds有引理1得x(t)w(t)≤G-1[G(C)+∫∞tf2(s)Ω(w(s))ds],0≤Τ≤t<∞(10)其中T滿足(7)式.由(8)及(10)知(5)成立.引理3設(shè)x(t)∈C(R+,R+),f(t,s),g(t,s)∈C(R+×R+,R+),且f(t,s),g(t,s)對(duì)于固定的s關(guān)于t是單調(diào)非增的,Ω∈C(R+,R+)為遞增的且為次可乘的,(即對(duì)任意的x,y∈R+有Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y)),若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+有x(t)≤C+∫t∞f(t,s)x(s)ds+∫t∞g(t,s)Ω(x(s))ds(11)則對(duì)0≤T≤t<∞有x(t)≤exp(∫t∞f(t,s)ds)G-1(G(C)+∫t∞g(t,s)Ω(exp∫s∞f(t,ξ)dξ)ds)(12)其中G(Ζ)=∫Ζ0ΖdsΩ(s),Ζ≥Ζ0>0.G-1是G的反函數(shù),T∈R+滿足(13)G(C)+∫t∞g(t,s)Ω(exp∫s∞f(t,ξ)dξ)ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(14)證明今任取σ∈[T,∞),由引理?xiàng)l件及(11)知,對(duì)t∈[σ,∞),有x(t)≤C+∫t∞f(σ,s)x(s)ds+∫t∞g(σ,s)Ω(x(s))ds(15)根據(jù)引理2從(15)可推出x(t)≤exp(∫t∞f(σ,s)ds)G-1(G(C)+∫t∞g(σ,s)Ω(exp∫s∞f(σ,ξ)dξ)ds)(16)對(duì)一切t∈[σ,∞)成立,考慮到σ∈[T,∞)的任意性,由(16)知不等式(12)對(duì)一切0<T≤t<∞成立,這樣的T保證(14)成立,其中G如上(13)所定義.2t1t.1.2.1.21t.1t.1t.1t.1定理1設(shè)u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且對(duì)固定的s,H(t,s),F(t,s)關(guān)于t非增,?∈C(R+,R+)為嚴(yán)格遞增的,?(∞)=∞,ψ∈C(R+,R+)為遞增的,ψ(?-1)∈C(R+,R+)是嚴(yán)格遞增的,且ψ(?-1)是次可乘的.若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+有?(u(t))≤C+∫t∞Η(t,s)?(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds(17)則對(duì)0≤T≤t<∞有u(t)≤?-1{exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(exp(∫s∞Η(t,ξ)dξ)))ds]}(18)其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(?-1(s)),Ζ≥Ζ0>0,G-1是G的反函數(shù),T∈R+滿足G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(exp∫s∞Η(t,ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)(19)證明由已知條件,(17)可改寫(xiě)為?(u(t))≤C+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(?(u(s))))ds+∫t∞Η(t,s)?(u(s))ds(20)再根據(jù)已知條件及引理3并考慮Ω=ψ(?-1),從(20)立得?(u(t))≤exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(exp(∫s∞Η(t,ξ)dξ)))ds]注意到?的嚴(yán)格單調(diào)性,就可得不等式(18)對(duì)一切0≤T≤t<∞成立,這樣的T保證(19)成立,其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(?-1(s)),Ζ≥Ζ0>0.假若在定理1中令?(u)=up可得下面的推論.推論1設(shè)p>0,ψ∈C(R+,R+)遞增且是次可乘的,u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且對(duì)固定的s,H(t,s),F(t,s)關(guān)于t非增,若對(duì)C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫t∞Η(t,s)up(s)ds+∫t∞F(t,s)ψ[u(s)]ds則u(t)≤{exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(C)+∫t∞F(t,s)ψ(exp(1p∫s∞Η(t,ξ)dξ)ds)]}1p對(duì)一切0≤T≤t<∞成立.其中G(Ζ)=∫Ζ0Ζdsψ(s1p),Ζ≥Ζ0>0,G-1是G的反函數(shù),T∈R+滿足G(C)+∫t∞m(s)ψ(exp(1p∫s∞Η(t,ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)如果在定理1中令h(t)≡0,,就能得到如下推論推論2假設(shè)?,ψ,u和F如定理1所設(shè),若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+有?(u(t))≤C+∫t∞F(t,s)ψ[u(s)]ds則u(t)≤?-1{G-1[G(C)+ψ(?-1(1))∫t∞F(t,s)ds]}對(duì)一切0≤T≤t<∞成立,其中T滿足G(C)+ψ(?-1(1))∫t∞F(t,s)ds∈Dom(G-1)其中G如定理1所定義.進(jìn)一步在定理1中令?(u)=up,ψ(u)=uq(p>0,q>0)就可以得到下面的推論.推論3設(shè)p≥q>0,u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且對(duì)固定的s,H(t,s),F(t,s)關(guān)于t非增,若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+有up(t)≤C+∫t∞Η(t,s)up(s)ds+∫t∞F(t,s)uq(s)ds則:1)當(dāng)p>q時(shí),對(duì)t∈R+有u(t)≤exp(1p∫t∞Η(t,s)ds)[Cp-qp+p-qp∫t∞F(t,s)exp(qp∫s∞Η(t,ξ)dξ)ds]1p-q(21)2)當(dāng)p=q時(shí),對(duì)t∈R+有u(t)≤C1pexp(1p∫t∞(Η(t,s)+F(t,s)exp(∫s∞h(ξ)dξ))ds)(22)事實(shí)上,1)當(dāng)p>q,?-1(u)=u1p,ψ(?-1(u))=uqp為次可乘的,易見(jiàn)G(Ζ)=∫1Ζdss1p=pp-q(Ζp-qp-1),從而G-1(Ζ)=(p-qpΖ+1)pp-q,據(jù)此從(18)可得(21).2)當(dāng)p=q,?-1(u)=u1p,ψ(?-1(u))=u為次可乘的,于是G(Ζ)=∫1Ζdss=lnΖ,從而G-1(Z)=eZ,據(jù)此從(18)可得(22).定理2設(shè)u(t)∈C(R+,R+),H(t,s),F(t,s)∈C(R+×R+,R+),且對(duì)固定的s,H(t,s),F(t,s)關(guān)于t非增,?∈C(R+,R+)嚴(yán)格遞增,?(∞)=∞,κ∈C(R+,R+)為遞減的,ψ∈C(R+,R+)遞增,ψ(?-1)∈C(R+,R+)為嚴(yán)格遞增的,且ψ(?-1)是次可乘的,若當(dāng)t∈R+時(shí),有?(u(t))≤κ(t)+∫t∞Η(t,s)?(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds(23)則對(duì)0≤T≤t<∞有u(t)≤?-1{κ(t)exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(1)+ψ[?-1(κ(t))]κ(t)?∫t∞F(t,s)ψ(?-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds]}(24)其中G,G-1如上述定理1所定義,T滿足G(1)+ψ[?-1(κ(t))]κ(t)∫t∞F(t,s)ψ(?-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds∈Dom(G-1),Τ≤t<∞(25)證明任意取定σ∈[T,∞),由定理?xiàng)l件及(23),對(duì)t∈[σ,∞)有?(u(t))≤κ(σ)+∫t∞Η(t,s)?(u(s))ds+∫t∞F(t,s)ψ(u(s))ds用κ(σ)>0除上式兩邊,并將ψ(u(s))改寫(xiě)成ψ(?-1(?(u(s)))),得到?(u(t))κ(σ)≤1+∫t∞Η(t,s)?(u(s))κ(σ)ds+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(?(u(s))))κ(σ)ds(26)又因ψ(?-1)為次可乘的,當(dāng)設(shè)Ω=ψ(?-1),對(duì)于γ=α·β(α,β>0)就成立Ω(γ)=Ω(α?β)≤Ω(α)Ω(β)=Ω(β)Ω(γβ)即對(duì)于γ,β>0,成立Ω(γ)β≤Ω(β)βΩ(γβ)(27)利用不等式(27)就有ψ(?-1(?(u(s))))κ(σ)≤ψ(?-1(κ(σ)))κ(σ)ψ(?-1(?(u(s))κ(σ)))將此代入(26)就有?(u(t))κ(σ)≤1+∫t∞Η(t,s)?(u(s))κ(σ)ds+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(κ(σ)))κ(σ)?ψ(?-1(?(u(s))κ(σ)))ds(28)根據(jù)引理3從(28)可推出?(u(t))κ(σ)≤exp(∫t∞Η(t,s)ds)G-1[G(1)+∫t∞F(t,s)ψ(?-1(κ(σ)))κ(σ)?ψ(?-1(exp(∫s∞h(ξ)dξ)))ds](29)對(duì)一切t∈[σ,∞)成立.考慮到σ∈R+的任意性,由(29)知不等式(24)對(duì)一切0≤T≤t<∞成立,這樣的T保證(25)成立,其中G如定理1所定義.3表12e,c,tbt,s+tht,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s,t,s+tt,s,tt,s+tt,s+tt,s,tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s,ttt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s+tt,s例考慮方程xp(t)=r(t)+∫t∞f(t,s,x(s))ds(30)其中f∈C(R+×R+×R,R),p≥0是一常數(shù).假設(shè)|f(t,s,x)|≤g(t,s)|x|p+h(t,s)|x|q(31)其中r(t)是R+上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),且r(t)≤c(c>0),g(t,s),h(t,s)是R+×R+上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),且對(duì)固定的t,關(guān)于s非增,0<q≤p是一常數(shù).則(30)的任一解x(t)滿足1)當(dāng)p>q時(shí)|x(t)|≤exp(1p∫t∞g(t,s)ds