《直線與直線垂直》教學(xué)設(shè)計

直線與直線垂直一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容空間中異面直線所成的角，直線與直線垂直的符號表示、判定與證明．2．內(nèi)容解析在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了空間中直線與直線有相交、平行、異面三種不同的位置關(guān)系．學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線與直線相交，在第8.5.1節(jié)又系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了和直線與直線平行相關(guān)的基本事實(shí)4及其相關(guān)定理．本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容為直線與直線垂直，實(shí)際上是從空間中異面直線所成的角出發(fā)來研究垂直問題．高中教材涉及空間中的直線、平面的位置關(guān)系主要有兩種——平行、垂直．直線與直線垂直可以承接初中學(xué)習(xí)的平面中直線與直線的垂直，又可以延伸出直線與平面垂直、平面與平面垂直等位置關(guān)系的研究．它是除平行之外、具有研究價值的位置關(guān)系，也是垂直關(guān)系中起到基礎(chǔ)性作用的位置關(guān)系．直線與直線平行、直線與直線垂直這兩種位置關(guān)系不是相互對立的，而是直線與直線位置關(guān)系的不同表現(xiàn)．異面直線這一位置關(guān)系包含垂直，當(dāng)我們用空間中直線與直線所成的角刻畫直線與直線的位置關(guān)系、角度為時，即為異面直線的垂直．直線與直線相交、角度為時，也稱為直線與直線垂直．所以垂直從直線與直線角度的測量的角度刻畫直線間的位置關(guān)系，與位置關(guān)系分為平行、相交、異面是兩個不同角度的描述．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：通過直線在空間中的平移刻畫空間中直線與直線所成的角，厘清位置關(guān)系的表達(dá)與角度刻畫之間的區(qū)別．能夠通過平移后兩直線的垂直證明異面直線的垂直．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）理解空間中直線與直線的所成的角；會求異面直線所成的角．（2）能夠通過平移直線判斷并證明空間中直線與直線垂直．2．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過正方體模型或者借助道具，將空間中的兩條直線平移至相交，借助平面內(nèi)兩相交直線的夾角來計算空間中兩直線所成的角．特別是會計算正方體模型中面對角線與所有的棱或者其他面對角線所成的角．達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過正方體模型中直線與直線的平行關(guān)系，借助基本事實(shí)4及推出的定理，再借助平面中直線與直線垂直的定理證明空間中異面直線的垂直．平面中能得到直線與直線垂直的一些結(jié)論主要包括：勾股定理的逆定理；等腰三角形的底邊與其中線垂直；菱形的對角線互相垂直等．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)掌握空間中直線與直線的相交、平行兩種位置關(guān)系，但是對于異面直線不是很了解，因此不知道如何刻畫空間中異面直線的差異．學(xué)生已經(jīng)掌握以下兩個結(jié)論：平面中兩條直線相交時形成四個角，其中不大于的角為這兩條直線所成的角（或夾角）；如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．這為刻畫異面直線的位置關(guān)系提供了基本前提．顯然空間中直線與直線所成的角，并不是異面直線所成的角所獨(dú)有的．空間中任何兩條直線都具有夾角．兩直線平行時，我們規(guī)定其所成的角為．這樣，空間中直線與直線的位置關(guān)系和直線與直線的夾角，成為認(rèn)識空間中直線與直線的關(guān)系的兩個視角．這兩個視角可以相互轉(zhuǎn)化．所以，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：掌握空間中直線與直線所成的角的概念及其計算方法．四、教學(xué)過程設(shè)計（一）探究，形成異面直線所成的角的概念問題1：空間中兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交直線、平行直線和異面直線．在初中我們已經(jīng)研究了平行直線和相交直線，本節(jié)課我們主要研究異面直線，首先我們研究如何刻畫兩條異面直線的位置關(guān)系．如圖1所示的正方體中，直線A'C'與直線AB，直線A'D'與直線AB都是異面直線，但是它們的位置不同，如何描述這種差異呢？設(shè)計意圖：從現(xiàn)有的知識水平出發(fā)，引發(fā)本節(jié)課的研究對象主要為異面直線．怎么描述不同的異面直線的差異，給出了研究的切入點(diǎn)．師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比平面中兩直線所成的角，來通過定義異面直線所成的角刻畫它們的差異．研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化成相交直線．平行公理為這一操作提供了理論依據(jù)．同時，將空間圖形問題轉(zhuǎn)化成平面圖形問題也是研究空間圖形的一種基本思路．問題2：通過平移可以將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成平面中兩直線所成的角．那么平移時，所選的點(diǎn)O的位置對它們所成的角的有沒有影響，為什么？師生活動：啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過8.5節(jié)中的定理解釋點(diǎn)O的位置是任意的，對異面直線所成的角的大小沒有影響，進(jìn)而體會這樣定義異面直線所成的角的合理性．設(shè)計意圖：讓學(xué)生思考平移操作的科學(xué)性與合理性，并促使其優(yōu)化其操作步驟，進(jìn)而探究問題的本質(zhì)．將空間直線問題轉(zhuǎn)化成平面圖形問題本質(zhì)上是一種建模，建模就要選擇用最簡捷有效的模型．當(dāng)我們有了一個可以用于解決問題的模型的時候，就要思考有哪些環(huán)節(jié)可以優(yōu)化或者省略．追問1：既然點(diǎn)O的位置是任意的，對異面直線所成的角的大小沒有影響，那我們選在哪里比較合適呢？追問2：異面直線所成的角的取值范圍是什么？空間中直線與直線所成角的范圍呢？師生活動：啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過先前的實(shí)例尋求最簡捷的選點(diǎn)，一般情況下，我們會將點(diǎn)O選在兩條直線中的一條上．沿著我們解決問題的基本路徑不難獲得異面直線所成的角的取值范圍為(0°,90°],這與平面中兩相交直線所成的角的范圍之一致的．而空間中兩平行直線所成的角，教師可以告知規(guī)定．設(shè)計意圖：思維的連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)推理論證的基本要求，也是結(jié)論正確的有效保障．無論結(jié)果是否是正面的，我們都應(yīng)該鼓勵學(xué)生尋求問題的答案．厘清空間中直線與直線所成角的范圍與異面直線所成角的范圍，區(qū)分空間直線與直線所成的角和空間中直線與直線的位置關(guān)系是兩個不同的視角．（二）探究空間中直線與直線垂直問題3：如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，記為a⊥b．那么反過來，若空間中兩條直線互相垂直，這兩條直線是異面直線嗎？師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考不同概念之間的關(guān)系．異面直線a,b所成的角為直角的異面垂直以及相交直線垂直都是空間中兩直線垂直的情形，所以異面直線垂直只是空間中直線垂直的其中一種情形．設(shè)計意圖：垂直是直線與直線關(guān)系中比較重要的情形，此處的思辨可以使學(xué)生對空間直線的關(guān)系形成較為全面的認(rèn)識，是對學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)提升的體現(xiàn)．例1如圖2所示，已知正方體ABCD-A'B'C'D'．（1）哪些棱所在的直線與直線AA'垂直？（2）求直線BA'與CC'所成角的大?。?）求直線BA'與AC所成角的大?。畮熒顒樱航處熆勺寣W(xué)生單獨(dú)寫出問題的答案，再選擇一些同學(xué)上講臺分享他們的想法．因為這些問題比較簡單，也可讓學(xué)生觀察后口答．教師應(yīng)追問答案的依據(jù)，一邊查看學(xué)生是否真正掌握計算空間直線與直線的夾角的方法．設(shè)計意圖：概念的形成就是要在認(rèn)識——實(shí)踐——再認(rèn)識——再實(shí)踐的過程中逐步形成的．本例借助正方體模型，大大簡化了學(xué)生平移所需要的空間想象，突出了問題的考查對象，即空間中直線夾角的計算．師生活動突出學(xué)生的操作，體現(xiàn)了學(xué)生是課堂的主體，盡量促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的新課程理念．師生活動：教師可讓學(xué)生通過討論，然后推選學(xué)生代表到講臺板書證明過程．教師對學(xué)生的板書進(jìn)行評價，對于寫得好的地方大力表揚(yáng)，不足的地方給出改正建議．力求證明過成的嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范，板書的整潔．力求一題多解．設(shè)計意圖：當(dāng)給定對象不容易套用定理條件時，更能體現(xiàn)學(xué)生解決問題的能力．空間感的強(qiáng)弱對解決問題有一定的影響，一題多解促進(jìn)學(xué)生多視角觀察問題．這也是提高數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)直觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)．（三）空間直線與直線垂直的應(yīng)用練習(xí)1：如果異面直線a與b所成角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P與a，b所成的角都是30°的直線有且僅有________條．解：過定點(diǎn)P作a、b的平行線a′，b′．∵a，b成50°角，∴a′與b′也成50°角．過P作∠A′PB′的平分線，取較小的角有∠A′PO=∠B′PO=25°．∵∠APA′＞∠A′PO，∴過P作直線l與a′，b′成30°角的直線有2條．師生活動：教師主導(dǎo)思考過程，啟發(fā)學(xué)生思考，異面直線所成的角可通過平移變成平面中相交直線的問題得以解決．對于平面中的兩條相交直線，過交點(diǎn)且與它們夾角相同的直線一定在平分它們的平面上，而這樣的直線與它們的夾角最小為25°．設(shè)計意圖：是否能在陌生情境中識別定理的條件并準(zhǔn)確應(yīng)用定理，是檢驗學(xué)生是否更好掌握定理的重要手段．有圖思考是訓(xùn)練數(shù)學(xué)直觀的基礎(chǔ)手段，而無圖思考是更有效的方式．

師生活動：空間四邊形是立體幾何中較為重要的模型．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何借助定理將題目已知條件轉(zhuǎn)化為另一定理的條件，進(jìn)而使用正確推理、解決問題．教師應(yīng)與學(xué)生一起思考，并及時板書解答的過程．設(shè)計意圖：問題從垂直出發(fā)，最終回到垂直，同時運(yùn)用了平行、勾股定理等知識，較為全面地檢驗了學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度．（四）課堂練習(xí)，及時反饋教科書第162頁第4題．（五）歸納小結(jié)1．教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：（1）本節(jié)課你學(xué)到哪些知識？又是用怎樣的方法學(xué)到這些知識的？（2）如何計算異面直線所成的角，它在什么范圍內(nèi)取值？（3）怎么定義空間中直線與直線垂直？（4）證明空間中直線與直線垂直有哪些方法？設(shè)計意圖：通過小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)的知識，并回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步體會立體幾何的研究內(nèi)容和研究方法，培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容反思的意識和習(xí)慣，幫助學(xué)生在更大的范圍內(nèi)把所學(xué)的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法．（六）布置作業(yè)教科書第148頁第1—4題，第163頁第11題．五、目標(biāo)檢測設(shè)計1．一個正方體紙盒展開后如圖5，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD．以上結(jié)論中正確的是________（填序號）．解析：把正方體平面展開圖還原為原來的正方體，如圖6所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③．設(shè)計意圖：通過這道題目檢測學(xué)生對求空間中直線與直線所成的角，特別是求異面直線所成的角的掌握情況．2．在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且異面直線AB與CD所成的角為30°，E、