北京市順義區(qū)第一中學2023年高三第二次調(diào)研數(shù)學試題

北京市順義區(qū)第一中學2023年高三第二次調(diào)研數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準線在第三象限交于點B，過點作準線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．2．復數(shù)的共軛復數(shù)記作，已知復數(shù)對應復平面上的點，復數(shù):滿足.則等于（）A． B． C． D．3．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，4．設集合，，則（）．A． B．C． D．5．已知集合，則()A． B．C． D．6．學業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示．該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學等級都是的學生至多有人B．物理化學等級都是的學生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至少有人7．已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大，則拋物線的標準方程為（）A． B． C． D．8．為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當天氣溫得到如圖所示的散點圖（軸表示氣溫，軸表示銷售量），由散點圖可知與的相關關系為（）A．正相關，相關系數(shù)的值為B．負相關，相關系數(shù)的值為C．負相關，相關系數(shù)的值為D．正相關，相關負數(shù)的值為9．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．10．是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．11．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=012．已知函數(shù)的零點為m，若存在實數(shù)n使且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中項的系數(shù)為_______．14．已知，且，則__________．15．過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標原點），則的最小值是__________．16．若函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②的圖象關于點對稱.則同時滿足①②的，的一組值可以分別是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求邊長.18．（12分）設函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.19．（12分）如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且．（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.21．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22．（10分）已知函數(shù)（1）若，求證：（2）若，恒有，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設準線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題2、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義得出復數(shù)，進而得出，由得出可計算出，由此可計算出.【詳解】由于復數(shù)對應復平面上的點，，則，，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算，考查了復數(shù)的坐標表示、共軛復數(shù)以及復數(shù)的除法，考查計算能力，屬于基礎題.3、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點睛】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,5、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.6、D【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數(shù)以及物理等級為，化學等級為的學生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.7、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p，即可得到拋物線方程．【詳解】由拋物線y2＝2px（p＞0）上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以拋物線的標準方程為：y2＝2x．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應用，拋物線方程的求法，屬于基礎題．8、C【解析】

根據(jù)正負相關的概念判斷．【詳解】由散點圖知隨著的增大而減小，因此是負相關．相關系數(shù)為負．故選：C．【點睛】本題考查變量的相關關系，考查正相關和負相關的區(qū)別．掌握正負相關的定義是解題基礎．9、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況?！驹斀狻?，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當時，，，排除C、D當時，，，排除A。故選B?！军c睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。10、B【解析】

設正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關系，進而求出正切值．【詳解】由題意設四面體的棱長為，設為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．11、A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點評：本題考查了雙曲線的漸進方程，把雙曲線的標準方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進方程．屬于基礎題．12、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為，所以，∴，問題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為，∴.故選D．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解析】

根據(jù)二項定理展開式，求得r的值，進而求得系數(shù)．【詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以，解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用，屬于基礎題．14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用．15、【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為：.16、，【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關于點對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及，可取，則，由的圖象關于點對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）把代入已知條件，得到關于的方程，得到的值，從而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知條件，求出，再根據(jù)正弦定理求出邊長.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，即.因為，所以，因為，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【點睛】本題考查三角函數(shù)公式的運用，正弦定理解三角形，屬于簡單題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求出導函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時可證結(jié)論．【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立因為在上是單調(diào)遞減的，所以，所以（2）因為，所以由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減所以即所以.【點睛】本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導數(shù)證明不等式．解題關鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．19、（1）見解析；（2）【解析】

（Ⅰ）證明：過點作于點，∵平面⊥平面，∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面（Ⅱ）∵平面∴，又∵∴∴∴點是的中點，連結(jié)，則∴平面∴∥，∴四邊形是矩形設，得：，又∵，∴，從而，過作于點，則∴是與平面所成角∴，∴與平面所成角的正弦值為考點：面面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面所成的角．點評：本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的常考題型，較難．本題也可以用向量法來做：用向量法解題的關鍵是；首先正確的建立空間直角坐標系，正確求解平面的一個法向量．注意計算要仔細、認真．≌20、（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬難題.21、（1）（2）是定值，且定值為2【解析】

（1）設出點坐標并代入橢圓方程，根據(jù)列方程，求得的值，結(jié)合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設直線的方程為：，則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.【點睛】本小題主要考查