中考構(gòu)造輔助圓及與圓相關(guān)的尺規(guī)作圖

幾何綜合2——構(gòu)造輔助圓例1（2012年北京中考第24題）在中，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段。（1）若且點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），線段的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，猜想的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)，重合）時(shí)，能使得線段的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的范圍。解法一：此題并沒有考察常見的動(dòng)點(diǎn)問題，而是將動(dòng)點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合在一起，應(yīng)用一個(gè)點(diǎn)構(gòu)造2倍角.需要注意圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，此題可以用倒角（上述答案的方法）或是構(gòu)造輔助圓的方法解決.解法二： 啟示：注意還原題目的背景，構(gòu)造輔助圓（輔助圖形）解決問題.動(dòng)點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合，要重視軌跡的想法在幾何綜合題中的作用.考察的知識(shí)點(diǎn)延續(xù)幾何變換，要重視變換思想在解決幾何綜合題中的應(yīng)用.一、注意還原題目的背景，構(gòu)造輔助圓（輔助圖形）解決問題.例2（2012，德州,13年大興）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例3（2011海淀期末）如圖，E，B，A，F(xiàn)四點(diǎn)共線，點(diǎn)D是正三角形ABC的邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則（）A．點(diǎn) 一定在射線上 B．點(diǎn) 一定在線段上 C．點(diǎn) 可以在射線上 ，也可以在線段上D．點(diǎn) 可以在射線上 ，也可以在線段例4（2010海淀一模）已知：中，，中，,.連接、，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn).(1)如圖1，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是________________，此時(shí)________；(2)如圖2，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；(3)在圖2中，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值.動(dòng)點(diǎn)問題和幾何變換結(jié)合，要重視軌跡的想法在幾何綜合題中的作用.例5.（2012海淀期末）8.如圖，以為圓心，半徑為2的圓與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于、兩點(diǎn),點(diǎn)為⊙上一動(dòng)點(diǎn)，于.當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為A．B．C．D．例6、（11年湖州）如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)。P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。⑴求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；⑵當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；⑶設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)。（不必寫解答過(guò)程）AAOCPBDMxyAOCPBDMxy圖1圖2E 例7（四中開學(xué)測(cè)試）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EC為一邊向正方形ABCD外作正方形ECFG，連接DF交BE的延長(zhǎng)線于H．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)E由C運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．B．C．D．例8．（2011年北京西城一模）如圖，點(diǎn)A在半徑為3的⊙O內(nèi)，OA=，P為⊙O上一點(diǎn)，當(dāng)∠OPA取最大值時(shí)，PA的長(zhǎng)等于（）.A．B．C．D．【不同思路舉例】如圖，與兩個(gè)定點(diǎn)所連線段的夾角相等的點(diǎn)的“軌跡”是過(guò)兩點(diǎn)的（兩段）弧，其所在圓的圓心離越近，夾角越大．又⊙與⊙需有公共點(diǎn)，因此極端情況是兩圓內(nèi)切，其切點(diǎn)即為所求．根據(jù)“相切兩圓的連心線所在直線過(guò)切點(diǎn)”的性質(zhì)，知為⊙的直徑，進(jìn)而為直角，由勾股定理可求PA． 例9．（2009年濰坊中考）已知邊長(zhǎng)為的正三角形，兩頂點(diǎn)分別在平面直角坐標(biāo)系的軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是．OyOyxACBOyxACB常規(guī)解法：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的解法：例10：已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A在x軸的正方向上移動(dòng)，點(diǎn)B在45°角的終邊上移動(dòng)，求頂點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離.不可忽視的尺規(guī)作圖例11、問題探究：（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個(gè)點(diǎn)P，保留作圖痕跡；（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°的所有的點(diǎn)P，保留作圖痕跡并簡(jiǎn)要說(shuō)明作法；（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕跡．例12、閱讀下列材料圖1小華在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：圖1如圖1，點(diǎn)A，A1，A2在直線l上，當(dāng)直線l∥BC時(shí)，.請(qǐng)你參考小華的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)畫圖(保留畫圖痕跡）：(1)如圖2，已知△ABC，畫出一個(gè)等腰△DBC，使其面積與△ABC面積相等；(2)如圖3，已知△ABC，畫出兩個(gè)Rt△DBC，使其面積與△ABC面積相等(要求：所畫的兩個(gè)三角形不全等)；(3)如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC，畫出一個(gè)四邊形ABDE，使其面積與△ABC面積相等，且一組對(duì)邊DE=AB，另一組對(duì)邊BD≠AE，對(duì)角∠E=∠B.圖2圖3圖4例13．初三（1）班的同學(xué)們?cè)诮忸}的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了幾種利用尺規(guī)作一個(gè)角的半角的方法.題目：在△中，∠=80°，求作：∠=40°.方法2方法2：如圖2，作∠CAB的平分線和△的外角∠CBE的平分線，兩線相交于點(diǎn)D，可得∠ADB=40°.方法1：如圖1，延長(zhǎng)AC至D，使得CD=CB，連接DB,可得∠ADB=40°.……圖