二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)和典型例題講解

...wd......wd......wd...二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及典型例題講解一、二次函數(shù)的概念和圖像1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點(diǎn)法：〔1〕先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸〔2〕求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比擬準(zhǔn)確的圖像，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖像。二、二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式有三種形式：〔1〕一般式：〔2〕頂點(diǎn)式：〔3〕當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示。三、二次函數(shù)的性質(zhì)1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)〔1〕拋物線開口向上，并向上無限延伸；〔2〕對稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔，〕；〔3〕在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；〔4〕拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，〔1〕拋物線開口向下，并向下無限延伸；〔2〕對稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔，〕；〔3〕在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；〔4〕拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開口方向：>0時(shí)，拋物線開口向上<0時(shí)，拋物線開口向下與對稱軸有關(guān)：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：〔0，〕3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)。補(bǔ)充：1、兩點(diǎn)間距離公式〔當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法〕如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為〔x1，y1〕點(diǎn)B坐標(biāo)為〔x2，y2〕則AB間的距離，即線段AB的長度為yAxB02、函數(shù)平移規(guī)律〔中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識點(diǎn)，對提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間〕左加右減、上加下減四、二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值〔或最小值〕，即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，假設(shè)在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；假設(shè)不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。典型例題1.函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D2.如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1，則以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是A．a(chǎn)＋b=－1B．a(chǎn)－b=－1C．b<2aD．a(chǎn)c<0【答案】B3.二次函數(shù)的圖象如以下圖，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是〔〕.【答案】D4.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)〔－1，0〕，〔1，－2〕，當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍是．〔1,〔1,-2〕-1【答案】5.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式〔〕．A．B．C．D．【答案】B6.二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出以下結(jié)果①②③④⑤，則正確的結(jié)論是〔〕A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤【答案】D7．拋物線上局部點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，以下說法中正確的選項(xiàng)是．〔填寫序號〕①拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為〔3,0〕；②函數(shù)的最大值為6；③拋物線的對稱軸是；④在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大．【答案】①③④8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔－2，4〕，過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA．(1)求△OAB的面積；(2)假設(shè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部〔不包括△OAB的邊界〕，求m的取值范圍〔直接寫出答案即可〕．解：(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔－2，4〕，AB⊥y軸，∴AB=2，OB＝4，∴(2)①把點(diǎn)A的坐標(biāo)〔－2，4〕代入，得，∴c＝4②∵，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－1，5)，AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔－1，4〕，OA的中點(diǎn)F的坐標(biāo)是〔－1，2〕，∴m的取值范圍為l<m<3．9．二次函數(shù)y=eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的圖像如圖．〔1〕求它的對稱軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，假設(shè)∠ACB=90°，求此時(shí)拋物線的解析式；〔3〕設(shè)〔2〕中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．解：〔1〕二次函數(shù)y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的對稱軸為x=3，∴D〔3，0〕．〔2〕設(shè)拋物線向上平移h個(gè)單位〔h＞0〕，則平移后的拋物線解析式為y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h．∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則h2=-x1·x2．∵x1、x2是一元二次方程-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h=0的兩個(gè)根，∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴拋物線的解析式為y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4．〔3〕CM與⊙D相切，理由如下：連結(jié)CD、CM，過點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)D，如以以下圖所示：∵AB是⊙D的直徑，∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在⊙D上．根據(jù)平移后的拋物線的解析式y(tǒng)=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4可得：OD=3，OC=4，DM=eq\f(25,4)，CD=5．∴CN=3，MN=eq\f(9,4)，∴CM=eq\f(15,4)．∵CM=eq\f(15,4)，CD=5，DM=eq\f(25,4)，∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM與⊙D相切．10.如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，AB＝10，以AB為直徑的⊙O′與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，AC.CD是⊙O′的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D，tan∠CAD＝，拋物線過A，B，C三點(diǎn).〔1〕求證：∠CAD＝∠CAB；〔2〕①求拋物線的解析式；②判定拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說明理由；〔3〕在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形.假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)〔不寫求解過程〕；假設(shè)不存在，請說明理由.〔1〕證明：連接O′C.∵CD是⊙O′的切線，∴O′C⊥CD．∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD．∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB．〔2〕①∵AB是⊙O′的直徑，∴∠ACB＝90°∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴即．∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝，∴OA＝2OC又∵AB＝10，∴，∵OC＞0∴OC＝4，OA＝8，OB＝2．∴A〔－8，0〕，B〔2，0〕，C〔0，4〕．∵拋物線過A，B，C三點(diǎn).∴c＝4由\o"歡送登陸全品高考網(wǎng)!"題意得，解之得，∴．eq\o\ac(○,2)設(shè)直線DC交x軸于點(diǎn)F，易證△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴∴8(BF＋5)＝5(BF＋10)，∴，∴．設(shè)直線DC的解析式為，則，即∴．由得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為．將代入直線DC的解析式中，右邊左邊.∴拋物線的頂點(diǎn)E在直線CD上．11.如以下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A〔-1，0〕，B(-1，2)，D(3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，假設(shè)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N．〔1〕求拋物線的解析式〔2〕拋物線上是否存在點(diǎn)P．使得PA=PC．假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在．請說明理由?！?〕設(shè)拋物線與x軸的另—個(gè)交點(diǎn)為E．點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大并求出最大值。ABABCDOENMxy圖〔1〕解：由\o"歡送登陸全品高考網(wǎng)!"題意可得M〔0，2〕，N〔-3，2〕∴，解得：∴y=〔2〕∵PA=PC，∴P在AC的垂直平分線上，依\o"歡送登陸全品高考網(wǎng)!"題意，AC的垂直平分線經(jīng)過B〔-1，2〕，〔1，0〕，這條直線為y=－x+1．解得：，∴P1〔〕，P2〔〕．〔3〕D為E關(guān)于對稱軸x=1．5對稱，CD所在的直線y=－x+3．∴yQ=4．5，∴Q〔-1．5，4．5〕．最大值為CD==．個(gè)單位/秒．〔3〕〔〕,．當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)．12．如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A〔一1，0〕．⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；⑶點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值．〔1〕∵點(diǎn)A〔-1，0〕在拋物線y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴拋物線的解析式為y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,-).〔2〕當(dāng)x=0時(shí)y=-2,∴C〔0，-2〕，OC=2．當(dāng)y=0時(shí)，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.〔3〕作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′，則C′〔0，2〕，OC=2，連接CD交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最?。O(shè)直線CD的解析式為y=kx+n,則，解得n=2,.∴.∴當(dāng)y=0時(shí)，，.∴13.〔2011浙江金華，10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過矩形頂點(diǎn)B、C.〔1〕當(dāng)n＝1時(shí)，如果a=－1，試求b的值；〔2〕當(dāng)n＝2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；〔3〕將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)O，①試求出當(dāng)n=3時(shí)a的值；②直接寫出a關(guān)于n的關(guān)系