河北省邢臺(tái)市五岳聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、復(fù)數(shù)、平面向量.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A.2 B.－2 C. D.3.已知為第二象限角，則（）A. B. C. D.4.在中，D是邊BC上一點(diǎn)，且，E是AD的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.6.設(shè)，，且，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則“”是“有3個(gè)零點(diǎn)”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件8.對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要特征，幾何中的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱都能給人以美感，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.如圖，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四條邊為直徑向外作四個(gè)半圓，P是這四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（）A.5 B.3 C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，下列結(jié)論正確的是（）A.若與垂直，則為定值 B.若與互為相反向量，則m與n互為倒數(shù)C.若與垂直，則為定值 D.若與互為相反向量，則m與n互為相反數(shù)10.下列函數(shù)中，恰有2個(gè)極值點(diǎn)的有（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象D.若，，則12.若函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則稱為“A函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)是“A函數(shù)”B.已知函數(shù)，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則也是“A函數(shù)”C.已知，都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則也是“A函數(shù)”D.已知，若，是“A函數(shù)”，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知，均為單位向量，且，則______.14.已知，，且，則的最小值為_(kāi)_____.15.邯鄲叢臺(tái)又名武靈叢臺(tái)，相傳始建于戰(zhàn)國(guó)趙武靈王時(shí)期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀賞歌舞之地，是古城邯鄲的象征.如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量邯鄲叢臺(tái)的高度AB，選取了與臺(tái)底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)D處測(cè)得叢臺(tái)臺(tái)頂?shù)难鼋菫?，則叢臺(tái)的高度為_(kāi)_____米（結(jié)果精確到0.1米，取，）.16.已知，則不等式的解集為_(kāi)_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在上的最值.18.（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的值；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).19.（12分）已知函數(shù)，且.（1）求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.20.（12分）如圖，在中，，點(diǎn)M在邊BC上，且，.（1）若，求CM的長(zhǎng)；（2）求的最小值.21.（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.2023~2024學(xué)年高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)參考答案1.C因?yàn)?，所?2.D因?yàn)?，所以，所?3.C因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，，則，，，的取值不確定.故選C.4.A因?yàn)镈是邊BC上一點(diǎn)，且，所以.又E是AD的中點(diǎn)，所以，則.5.A因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則.又是偶函數(shù)，所以，所以.6.D因?yàn)椋?，所以，?又，，所以，即或，即（舍去）.7.B由，得，作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閷?duì)恒成立，所以對(duì)恒成立，所以.故當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，.所以“”是“有3個(gè)零點(diǎn)”的必要不充分條件.8.C如圖，設(shè)，，P是直線EF上一點(diǎn)，令，則，.因?yàn)镻是四個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)EF與圖形下面兩個(gè)半圓相切時(shí)，取得最大值.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，線段AC的中點(diǎn)為，連接MP，連接并延長(zhǎng)使之與EF交于點(diǎn)，過(guò)M作，垂足為N.因?yàn)椋?，所以，，則.由，得，故的最大值為.9.AD若與垂直，則，則，A正確，C錯(cuò)誤.若與互為相反向量，則，則，B錯(cuò)誤，D正確.10.BC由，得.由函數(shù)的圖象可知，有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故有無(wú)數(shù)個(gè)極值點(diǎn).A不正確.由，得.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故恰有2個(gè)極值點(diǎn).B正確.由，得.當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故恰有2個(gè)極值點(diǎn).C正確.由，得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故恰有1個(gè)極值點(diǎn).D不正確.11.BCD，其中.因?yàn)?，，所以，，則，，，.當(dāng)時(shí)，，不單調(diào)，A不正確.當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確.，所以將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，C正確.，則.因?yàn)?，所?由，得，所以.，D正確.12.BD對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使得.A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由，的定義域相同，若是“A函數(shù)”，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，則對(duì)于任意，都存在唯一的，使得.所以是“A函數(shù)”.B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，不妨取，，，令，則，故不是“A函數(shù)”.C不正確.對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，是“A函數(shù)”，所以在上恒成立.又，所以，且，即對(duì)于任意，都存在唯一的，使得，因?yàn)椋?，由，解?D正確.13.因?yàn)椋?，所以，則.14.4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.15.26.4在中，，，則米.在中，，則米.16.，因?yàn)?，所以，原不等式等價(jià)于.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則由，得，即.因?yàn)?，所以原不等式的解集?17.解：（1），……3分所以的最小正周期.……5分（2）由，得.……6分故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2；……8分當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.……10分18.解：（1）因?yàn)椋?……2分又，所以.……4分因?yàn)?，所?……5分又，所以.……6分（2）的面積，則.……8分由，得，……10分所以，故的周長(zhǎng)為.……12分19.解：（1）因?yàn)?，所?……3分因?yàn)?，所以，…?分則.……6分（2）由（1）可知，等價(jià)于.……7分令，則，……8分原不等式等價(jià)于在上恒成立，……9分則，……11分解得，故m的取值范圍為.……12分20.解：（1）因?yàn)?，，所?……1分又，，所以，……4分所以.……5分（2）在中，，則，……6分在中，，則，……7分所以……9分，……11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.……12分21.解：（1）因?yàn)?，所以，…?分則.……2分又，所以曲線在處的切線方程為，即.……5分（2）在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.……6分令函數(shù)，，則.……7分令函數(shù)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.……8分故當(dāng)時(shí)，，……9分從而在上恒成立，則在上單調(diào)遞減.……10分顯然，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋蔭的取值范圍為.……12分22.（1）解：因?yàn)?，所?……1分因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所