【一輪復(fù)習】高三文科數(shù)學第一輪復(fù)習資料

第一章集合與常用邏輯用語第一節(jié)集合☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系；能用列舉法或描述法表示集合；2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；了解全集與空集的含義；3.理解并會求并集、交集、補集；能用Venn(韋恩)圖表達集合的關(guān)系與運算。2016，全國卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2016，全國卷Ⅱ，2,5分(集合的并集)2015，全國卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)2014，全國卷Ⅰ，1,5分(集合的交集)2014，全國卷Ⅱ，1,5分(集合的交集)主要考查具體集合(能確定集合中元素)的基本運算，偶爾涉及集合間的關(guān)系及新定義問題。微知識小題練自|主|排|查1．集合的含義與表示方法(1)集合的含義：研究對象叫做元素，一些元素組成的總體叫做集合。集合中元素的性質(zhì)：確定性、無序性、互異性。(2)元素與集合的關(guān)系：①屬于，記為∈；②不屬于，記為?。(3)集合的表示方法：列舉法、描述法和圖示法。(4)常用數(shù)集的記號：自然數(shù)集N，正整數(shù)集N*或N＋，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R。2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言記法基本關(guān)系子集集合A中的元素都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于AA?B，且?x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?AA＝B空集不含任何元素的集合。空集是任何集合A的子集?x，x??，??A?3.集合的基本運算表示運算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于集合A的元素組成的集合{x|x∈U，x?A}?UA微點提醒1．認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件。2．易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身。3．運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心。4．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性\”而導致解題錯誤。5．記住以下結(jié)論(1)若集合A中有n個元素，則其子集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2n－1。(2)A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B。小|題|快|練一、走進教材1．(必修1P12B組T4改編)滿足{0,1}?A{0,1,2,3}的集合A的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由題意得A可為{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。故選C?！敬鸢浮緾2．(必修1P12B組T1改編)已知集合A＝{0,1,2}，集合B滿足A∪B＝{0,1,2}，則集合B有________個?！窘馕觥坑深}意知B?A，則集合B有8個。【答案】8二、雙基查驗1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}【解析】M∪N表示屬于M或?qū)儆贜的元素構(gòu)成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。故選B。【答案】B2．設(shè)集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，則M∩N＝()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1?！郚＝{x|－1＜x＜1}。∴M∩N＝{x|0≤x<1}。故選B?！敬鸢浮緽3．設(shè)全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則?UA＝()A．? B．{2}C．{5} D．{2,5}【解析】由題意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥eq\r(5)}，所以?UA＝{x∈N|2≤x＜eq\r(5)}＝{2}。故選B?！敬鸢浮緽4．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則?R(A∪B)＝________?！窘馕觥俊逜∪B＝{x|2<x<10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}。【答案】{x|x≤2或x≥10}5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為________。【解析】集合A表示圓心在原點的單位圓，集合B表示直線y＝x，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個交點，故A∩B中有2個元素。【答案】2微考點大課堂考點一集合的基本概念【典例1】(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()A．1 B．3C．5 D．9(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則【解析】(1)當x＝0，y＝0時，x－y＝0；當x＝0，y＝1時，x－y＝－1；當x＝0，y＝2時，x－y＝－2；當x＝1，y＝0時，x－y＝1；當x＝1，y＝1時，x－y＝0；當x＝1，y＝2時，x－y＝－1；當x＝2，y＝0時，x－y＝2；當x＝2，y＝1時，x－y＝1；當x＝2，y＝2時，x－y＝0。根據(jù)集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5個。故選C。(2)由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－eq\f(3,2)，當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－eq\f(3,2)時，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，故m＝－eq\f(3,2)?！敬鸢浮?1)C(2)－eq\f(3,2)反思歸納用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型集合。集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意。分類討論的思想方法常用于解決集合問題?！咀兪接柧殹?1)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(2)已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，則x＝____?！窘馕觥?1)若1∈A，則1－2＋a>0，解得a>1。因為1?A，所以a≤1。故選B。(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＝0，,4x≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＝0，,x2＋x≠0，))解得x＝－1。【答案】(1)B(2)－1考點二集合的基本關(guān)系…………母題發(fā)展【典例2】(1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，則集合A的真子集的個數(shù)為()A．7 B．8C．15 D．16(2)(2017·襄陽模擬)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，則實數(shù)m【解析】(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7個?；蛞驗榧螦中有3個元素，所以其真子集的個數(shù)為23－1＝7(個)。故選A。(2)當B＝?時，滿足B?A，此時有m＋1≥2m－1，即m≤當B≠?時，要使B?A，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m>2，))解得2<m≤4。綜上可得m≤4?！敬鸢浮?1)A(2)(－∞，4]【母題變式】本典例(2)中，是否存在實數(shù)m，使A?B？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由?！窘馕觥坑葾?B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1<－2，,2m－1>7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－3，,m>4，))不等式組無解，故不存在實數(shù)m，使A?B?！敬鸢浮坎淮嬖?，理由見解析反思歸納根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)鍵點及注意點1.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)，其關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且常要對參數(shù)進行討論。2.注意點：注意區(qū)間端點的取舍。提醒：解決兩個集合的包含關(guān)系時，要注意空集的情況?！就卣棺兪健?1)(2016·遼寧師大附中測試)已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，則下列集合A與B的關(guān)系中正確的是()A．A?B B．ABC．BA D．A∈B(2)(2016·銀川二中考試)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實數(shù)c的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)【解析】(1)因為x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，則集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。故選D。(2)解法一：由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。由A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1。故選B。解法二：因為A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，則B＝(0,1)，所以A?B成立，可排除C，D；取c＝2，則B＝(0,2)，所以A?B成立，可排除A。故選B?！敬鸢浮?1)D(2)B考點三集合的運算…………多維探究角度一：兩個集合的交集、并集、補集運算【典例3】(1)(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B＝()A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}(3)設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥2}，B＝{y|y＝lg(x2＋1)}，則(?UA)∩B＝()A．{x|x≤－1或x≥0}B．{(x，y)|x≤－1，y≥0}C．{x|x≥0}D．{x|x＞－1}【解析】(1)由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}，故選C。(2)由題意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}。故選D。(3)∵全集U＝R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥2))))＝{x|x≤－1}，∴?UA＝{x|x＞－1}，∵B＝{y|y＝lg(x2＋1)}＝{y|y≥0}，∴(?UA)∩B＝{x|x≥0}。故選C。【答案】(1)C(2)D(3)C角度二：根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù)【典例4】(1)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3(2)集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，若M∩N≠?，則實數(shù)a的取值范圍一定是()A．－1≤a<2 B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1【解析】(1)由A∪B＝A得B?A，有m∈A，所以有m＝eq\r(m)或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互異性知m≠1。故選B。(2)∵M＝{x|－1≤x<2}，N＝{y|y<a}，且M∩N≠?，如圖只要a>－1即可。故選D。【答案】(1)B(2)D角度三：抽象的集合運算【典例5】設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的()A．充分而不必要的條件B．必要而不充分的條件C．充要條件D．既不充分也不必要的條件【解析】由圖可知，若“存在集合C，使得A?C，B??UC”，則一定有“A∩B＝?”；反過來，若“A∩B＝?”，則一定能找到集合C，使A?C且B??UC。故選C。【答案】C反思歸納集合的基本運算的關(guān)注點1.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提。2.有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決。3.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖。4.根據(jù)集合運算結(jié)果求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解。微考場新提升1．(2016·四川高考)設(shè)集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個數(shù)是()A．3 B．4C．5 D．6解析由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}。故選C。答案C2．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析由題意得，A＝{x|1<x<3}，B＝{x|x>eq\f(3,2)}，則A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))。故選D。答案D3.設(shè)全集U是自然數(shù)集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N} B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2} D．{1,2}解析由題圖可知，圖中陰影部分所表示的集合是B∩(?UA)，?UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(?UA)＝{0,2}。故選C。答案C4．(2016·遼寧五校聯(lián)考)已知集合M，N，P為全集U的子集，且滿足M?P?N，則下列結(jié)論不正確的是()A．?UN??UP B．?NP??NMC．(?UP)∩M＝? D．(?UM)∩N＝?解析根據(jù)已知條件畫出韋恩圖結(jié)合各選項知，只有D不正確。故選D。答案D5．當兩個集合有公共元素，且互不為對方的子集時，我們稱這兩個集合“相交”。對于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1}，若M與N“相交”，則a＝________。解析M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq\f(1,\r(a))＝eq\f(1,2)，得a＝4；由eq\f(1,\r(a))＝1，得a＝1。當a＝4時，M＝{－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)}，此時M?N，不合題意；當a＝1時，M＝{－1,1}，滿足題意。答案1微專題巧突破集合中新情境型問題與集合有關(guān)的新概念問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運用，是近幾年高考的熱點問題，這類試題的特點是：通過給出的新的數(shù)學概念或新的運算法則，在新的情境下完成某種推理證明，或在新的運算法則下進行運算。常見的有定義新概念、新公式、新運算和新法則等類型。解決此類題的關(guān)鍵是理解問題中的新概念、新公式、新運算、新法則等的含義，然后分析題目中的條件，設(shè)法進行套用。1．定義新概念、新公式【典例1】設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一個“單一元”，給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“單一元”的集合共有________個。【解析】符合題意的集合為{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6個。【答案】6【變式訓練1】若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M＝{－1,0，eq\f(1,2)，2,3}的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是()A．1 B．3C．7 D．31【解析】具有伙伴關(guān)系的元素組是－1，eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2))。故選B?！敬鸢浮緽2．定義新運算、新法則【典例2】設(shè)A，B是有限集，定義d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個數(shù)。命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要條件；命題②：對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立【解析】命題①顯然正確，通過如圖韋恩圖亦可知d(A，C)表示的區(qū)域不大于d(A，B)＋d(B，C)的區(qū)域，故命題②也正確，故選A。【答案】A【變式訓練2】定義集合的差集運算為A－B＝{x|x∈A且x?B}，若A＝{y|y＝|x－1|－|x＋1|，x∈R}，B＝{y|y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)，x∈R}，則A－B＝________。【解析】先求出集合A，B，再利用差集的定義求A－B。依題意知，y＝|x－1|－|x＋1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x<－1，,－2x，－1≤x≤1，,－2，x>1，)))可知－2≤y≤2，所以A＝[－2,2]。易知y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)＝eq\f(2,\r(x＋1)＋\r(x－1))在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則0<eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)≤eq\r(2)，即0<y≤eq\r(2)，所以B＝(0，eq\r(2)]。于是A－B＝[－2,0]∪(eq\r(2)，2]?！敬鸢浮縖－2,0]∪(eq\r(2)，2]第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義。2016，北京卷，4,5分(充要條件的判斷)2016，天津卷，5,5分(充要條件的判斷)2014，全國卷Ⅰ，9,5分(邏輯推理判斷)1.分析四種命題的相互關(guān)系；由原命題寫另一種命題；2.判定指定條件之間的關(guān)系；探求某結(jié)論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件；與命題真假性結(jié)合。

微知識小題練自|主|排|查1．命題(1)命題的概念用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。(2)四種命題及相互關(guān)系(3)四種命題的真假關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。2．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp微點提醒1．“否命題”與“命題的否定”是兩個不同的概念，否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，命題的否定只否定結(jié)論。2．由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而當判斷一個命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假。3．“p是q的充分不必要條件”即為“p?q且qp”；“p的充分不必要條件是q”即為“q?p且pq”。小|題|快|練一、走進教材1．(選修1－1P10練習T3(2)改編)“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2【解析】因為(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分條件。【答案】必要不充分2．(選修1－1P8習題1.1A組T2(1)改編)“若a，b都是偶數(shù)，則ab必是偶數(shù)“的逆否命題為________。【解析】“a，b都是偶數(shù)”的否定為“a，b不都是偶數(shù)”，“ab是偶數(shù)”的否定為“ab不是偶數(shù)”，故其逆否命題為“若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)”。【答案】若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)二、雙基查驗1．(2016·天津高考)設(shè)x>0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”的()A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分條件。故選C?！敬鸢浮緾2．命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)【解析】以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為逆否命題，即“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)”。故選C?！敬鸢浮緾3．設(shè)集合A，B，則“A?B”是“A∩B＝A”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由A?B，得A∩B＝A；反過來，由A∩B＝A，且(A∩B)?B，得A?B，因此，“A?B”是“A∩B＝A”成立的充要條件。故選C?！敬鸢浮緾4．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：___________________________________________________?！窘馕觥吭}的條件：在△ABC中，∠C＝90°。結(jié)論：∠A，∠B都是銳角。否命題是否定條件和結(jié)論。即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”。【答案】在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角5．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則a的最大值為________?！窘馕觥坑蓌2>1得x>1或x<－1。由題意知{x|x<a}{x|x>1或x<－1}，結(jié)合數(shù)軸可知，a≤－1，從而a的最大值為－1。【答案】－1微考點大課堂考點一四種命題及其相互關(guān)系【典例1】(1)命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假【解析】(1)由于“x，y都是偶數(shù)”的否定是“x，y不都是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”。故選C。(2)先證原命題為真：當z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a－bi，則|z1|＝|z2|＝eq\r(a2＋b2)，∴原命題為真，故其逆否命題為真；再證其逆命題為假：取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)，∴其逆命題為假，故其否命題也為假。故選B?！敬鸢浮?1)C(2)B反思歸納1.寫一個命題的其他三種命題時，需注意：(1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；(2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提。2.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例。3.根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假?！咀兪接柧殹?1)命題“若α＝eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)”的逆命題是()A．若α＝eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)B．若α≠eq\f(π,3)，則cosα≠eq\f(1,2)C．若cosα＝eq\f(1,2)，則α＝eq\f(π,3)D．若cosα≠eq\f(1,2)，則α≠eq\f(π,3)(2)已知命題α：如果x<3，那么x<5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如果x≥5，那么x≥3。關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系，下列三種說法正確的是()①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題；②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題；③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題。A．①③ B．②C．②③ D．①②③【解析】(1)命題“若α＝eq\f(π,3)，則cosα＝eq\f(1,2)”的逆命題是“若cosα＝eq\f(1,2)，則α＝eq\f(π,3)”。故選C。(2)命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定，然后交換條件與結(jié)論所得，因此①正確，②錯誤，③正確。故選A。【答案】(1)C(2)A考點二充分條件與必要條件的判斷……多維探究角度一：用定義法判斷充分條件、必要條件【典例2】(2016·北京高考)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】取a＝－b≠0，則|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|(zhì)a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|。由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|。故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件。故選D?！敬鸢浮緿角度二：用集合法判斷充分條件、必要條件【典例3】設(shè)p：1<x<2，q：2x>1，則p是q成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由2x>20?x>0，且{x|1<x<2}{x|x>0}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要條件。故選A。【答案】A角度三：用等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件【典例4】(2017·錦州模擬)給定兩個命題p，q。若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因為綈p是q的必要不充分條件，則q?綈p但綈pq，其逆否命題為p?綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要條件。故選A?！敬鸢浮緼反思歸納充要條件的三種判斷方法1.定義法：根據(jù)pq,qp進行判斷。2.集合法：根據(jù)p,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷。3.等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷。這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的何種條件。考點三根據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍……母題發(fā)散【典例5】(1)(2016·南昌模擬)已知條件p：|x－4|≤6；條件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________?！窘馕觥?1)條件p：－2≤x≤10，條件q：1－m≤x≤m＋1，又因為p是q的充分不必要條件，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m≥10。))解得m≥9。故選B。(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P。則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3。所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]?！敬鸢浮?1)B(2)[0,3]【母題變式】1.本典例(2)條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件。【解析】若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件。【答案】不存在2．本典例(2)條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥坑衫}知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分條件，∴P?S且SP?！郲－2,10][1－m,1＋m]?！鄀q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10。))∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)?！敬鸢浮縖9，＋∞)反思歸納由充分條件、必要條件求參數(shù)。解決此類問題常將充分、必要條件問題轉(zhuǎn)化為集合間的子集關(guān)系求解。但是，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的驗證，不等式中的等號是否能夠取得，決定著端點的取值。微考場新提升1．命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是()A．“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac”C．“若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列”D．“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”解析根據(jù)原命題與其逆否命題的關(guān)系，易得命題“若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac”的逆否命題是“若b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列”。故選D。答案D2．已知向量a＝(sinα，cosα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a與b的夾角為θ，則“|a－b|＝1”是“θ＝60°”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析由條件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，則(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝eq\f(1,2)，故θ＝60°。同理，若θ＝60°，則|a－b|＝1也成立。故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要條件。故選C。答案C3．設(shè)m，n為正實數(shù)，則“m<n”是“m2－eq\f(1,m2)<n2－eq\f(1,n2)”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析解法一：m，n為正實數(shù)是此題的大前提條件，所以可得m2－eq\f(1,m2)<n2－eq\f(1,n2)?m2－n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m2)－\f(1,n2)))<0?(m－n)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,m2n2)))<0?m<n，故“m<n”是“m2－eq\f(1,m2)<n2－eq\f(1,n2)”成立的充要條件。故選C。解法二：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,x2)(x>0)，易知f(x)＝x2－eq\f(1,x2)(x>0)是單調(diào)遞增函數(shù)，任取m，n>0，當m<n時，f(m)<f(n)，即m2－eq\f(1,m2)<n2－eq\f(1,n2)；反之，當f(m)<f(n)時，易得m<n。故“m<n”是“m2－eq\f(1,m2)<n2－eq\f(1,n2)”成立的充要條件。故選C。答案C4．已知在實數(shù)a，b滿足某一前提條件時，命題“若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)”及其逆命題、否命題和逆否命題都是假命題，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的前提條件是________。解析顯然ab≠0，當ab>0時，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab?b<a，所以四種命題都是正確的。當ab<0時，若a>b，則必有a>0>b，故eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，所以原命題是假命題；若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則必有eq\f(1,a)<0<eq\f(1,b)，故a<0<b，所以其逆命題也是假命題；由命題的等價性可知，四種命題都是假命題。從而本題應(yīng)填ab<0。答案ab<05．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________。解析由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m＋1<3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1，,m＋1≤3，))∴0≤m≤2。答案[0,2]第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；2.理解全稱量詞與存在量詞的意義；3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定。2016，浙江卷，4,5分(含有一個量詞命題的否定)2015，全國卷Ⅰ，3,5分(含有一個量詞命題的否定)2015，山東卷，12,5分(全稱量詞的應(yīng)用)2014，遼寧卷，5,5分(簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞)2014，重慶卷，6,5分(簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞)1.含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷；2.判斷全稱命題、特稱命題的真假；全稱命題、特稱命題的否定；已知全稱(特稱)命題真假，求參數(shù)取值范圍。微知識小題練自|主|排|查1．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。(2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．量詞及含有一個量詞的命題的否定(1)全稱量詞和存在量詞①全稱量詞有：所有的，任意一個，任給一個，用符號“?”表示；存在量詞有：存在一個，至少有一個，有些，用符號“?”表示。②含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題?！皩中任意一個x，有p(x)成立”用符號簡記為：?x∈M，p(x)。③含有存在量詞的命題，叫做特稱命題?！按嬖贛中元素x0，使p(x0)成立”用符號簡記為：?x0∈M，p(x0)。(2)含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，綈p(x)微點提醒1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對應(yīng)著集合運算中的“并”“交”“補”。因此，可以借助集合的“并、交、補”的意義來求解“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題。2．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假判斷口訣：p∨q見真即真，p∧q見假即假，p與綈p真假相反。3．全稱命題(特稱命題)的否定是特稱命題(全稱命題)。其真假性與原命題相反。要寫一個命題的否定，需先分清其是全稱命題還是特稱命題，對照否定結(jié)構(gòu)去寫，否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”。小|題|快|練一、走進教材1．(選修1－1P26A組T3改編)命題?x∈R，x2＋x≥A．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0≤0B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0<0C．?x∈R，x2＋x≤0D．?x∈R，x2＋x<0【解析】由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確。故選B?！敬鸢浮緽2．(選修1－1P18A組T1(3)改編)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧qA．1 B．2C．3 D．4【解析】p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題。故選B。【答案】B二、雙基查驗1．已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則綈p為()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．?x>0，總有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，總有(x＋1)ex≤1【解析】全稱命題的否定規(guī)律是“改變量詞、否定結(jié)論”，“?x>0，總有(x＋1)ex>1”的否定是“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1。”故選B。【答案】B2．命題“?x∈R，x2≠x”的否定是()A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0?R，xeq\o\al(2,0)≠x D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0【解析】全稱命題“?x∈R，x2≠x”的否定為特稱命題，“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＝x0”。故選D。【答案】D3．已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件。則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q【解析】因為指數(shù)函數(shù)的值域為(0，＋∞)，所以對任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p為真命題；因為當x>1時，x>2不一定成立，反之當x>2時，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，故q為假命題，則p∧q，綈p為假命題，綈q為真命題，綈p∧綈q，綈p∧q為假命題，p∧綈q為真命題。故選D?！敬鸢浮緿4．命題“任意兩個等邊三角形都相似”的否定為________________

____________________?！敬鸢浮看嬖趦蓚€等邊三角形，它們不相似5．命題“存在實數(shù)x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符號表示為________；此命題的否定是________(用符號表示)，是________(填“真”或“假”【答案】?x0，y0∈R，x0＋y0>1?x，y∈R，x＋y≤1假微考點大課堂考點一含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【典例1】(1)已知命題p：若x＞y，則－x＜－y；命題q：若x＞y，則x2＞y2。在命題：①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命題是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④(2)若命題“p∧q”為假命題，且“綈p”為假命題，則()A．“p或q”為假 B．q假C．q真 D．p假【解析】(1)由不等式的性質(zhì)，得p真，q假。由“或、且、非”的真假判斷得到①假，②真，③真，④假。故選C。(2)由“綈p”為假，知“p”為真，又“p∧q”為假命題，從而q為假命題。故選B。【答案】(1)C(2)Beq\a\vs4\al(反思歸納1.判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟,1先判斷簡單命題p，q的真假。,2再根據(jù)真值表判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假。)eq\a\vs4\al(2.含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系,1p∨q真?p，q至少一個真?綈p∧綈q假。,2p∨q假?p，q均假?綈p∧綈q真。,3p∧q真?p，q均真?綈p∨綈q假。,4p∧q假?p，q至少一個假?綈p∨綈q真。,5綈p真?p假；綈p假?p真。)【變式訓練】已知命題p：函數(shù)y＝2－ax＋1(a＞0且a≠1)恒過(1,2)點；命題q：若函數(shù)f(x－1)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則下列命題為真命題的是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧q D．p∨(綈q)【解析】函數(shù)y＝2－ax＋1恒過定點(－1,1)，故命題p是假命題，綈p是真命題；函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)f(x－1)的圖象向左平移一個單位得到的，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，因此q為假命題，綈q為真命題，從而p∨(綈q)為真命題。故選D?！敬鸢浮緿考點二含有一個量詞的命題……多維探究角度一：全稱命題、特稱命題的真假判斷【典例2】(1)下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x0∈R，lnx0<1D．?x0∈R，tanx0＝2(2)已知命題p：?x>0，x＋eq\f(4,x)≥4；命題q：?x0∈(0，＋∞)，2x0＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．p是假命題B．q是真命題C．p∧(綈q)是真命題D．(綈p)∧q是真命題【解析】(1)因為2x－1>0，對?x∈R恒成立，所以A是真命題；當x＝1時，(x－1)2＝0，所以B是假命題；存在0<x0<e，使得lnx0<1，所以C是真命題；因為正切函數(shù)y＝tanx的值域是R，所以D是真命題。故選B。(2)當x>0時，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，p是真命題；當x>0時，2x>1，q是假命題，所以p∧(綈q)是真命題，(綈p)∧q是假命題。故選C?！敬鸢浮?1)B(2)C角度二：全稱命題、特稱命題的否定【典例3】(1)設(shè)命題p：?n∈N，n2>2n，則綈p為()A．?n∈N，n2>2nB．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2nD．?n∈N，n2＝2n(2)(2016·大連模擬)命題“對任意x∈R，都有x2≥ln2”A．對任意x∈R，都有x2<ln2B．不存在x∈R，都有x2<ln2C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥ln2D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<ln2【解析】(1)因為“?x0∈M，p(x0)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”。故選C。(2)按照“任意”改“存在”，結(jié)論變否定的模式，應(yīng)該為存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<ln2。故選D?！敬鸢浮?1)C(2)D反思歸納1.判定全稱命題“x∈M,p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個x=x0,使p(x0)成立。2.對全（特）稱命題進行否定的方法(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞。(2)對原命題的結(jié)論進行否定。【變式訓練】(1)下列命題中的真命題是()A．?x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(3,2)B．?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．?x∈(－∞，0)，2x<3xD．?x∈(0，π)，sinx>cosx(2)寫出下列命題的否定并判斷其真假：①p：不論m取何實數(shù)值，方程x2＋mx－1＝0必有實數(shù)根；②p：有的三角形的三條邊相等；③p：菱形的對角線互相垂直；④p：?x∈N，x2－2x＋1≤0?！窘馕觥?1)因為sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤eq\r(2)<eq\f(3,2)，故A錯誤；當x<0時，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故C錯誤；因為x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時有sinx<cosx，故D錯誤。故選B。(2)①綈p：存在一個實數(shù)m0，使方程x2＋m0x－1＝0沒有實數(shù)根。因為該方程的判別式Δ＝meq\o\al(2,0)＋4>0恒成立，故綈p為假命題。②綈p：所有的三角形的三條邊不全相等。顯然綈p為假命題。③綈p：有的菱形的對角線不垂直。顯然綈p為假命題。④綈p：?x∈N，x2－2x＋1>0。顯然當x＝1時，x2－2x＋1>0不成立，故綈p是假命題?！敬鸢浮?1)B(2)見解析考點三由命題的真假求參數(shù)的范圍……母題發(fā)散【典例4】已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為()A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2【解析】依題意知p，q均為假命題，當p是假命題時，綈p為真，則有mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當q是真命題時，則有Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由p，q均為假命題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,m≤－2或m≥2))，即m≥2。故選A?！敬鸢浮緼【母題變式】1.本典例條件不變，若p∧q為真，則實數(shù)m的取值范圍為________?！窘馕觥恳李}意，當p是真命題時，有m<0；當q是真命題時，有－2<m<2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,－2<m<2，))可得－2<m<0。【答案】(－2,0)2．本典例條件不變，若p∧q為假，p∨q為真，則實數(shù)m的取值范圍為________?！窘馕觥咳魀∧q為假，p∨q為真，則p、q一真一假。當p真q假時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m≥2或m≤－2，))∴m≤－2；當p假q真時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,－2<m<2，))∴0≤m<2?！鄊的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)?！敬鸢浮?－∞，－2]∪[0,2)3．本典例中的條件q變?yōu)?x∈R，x2＋mx＋1<0，其他不變，則實數(shù)m的取值范圍為________。【解析】依題意，當q是真命題時，Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,－2≤m≤2))得0≤m≤2，∴m的取值范圍是[0,2]?！敬鸢浮縖0,2]反思歸納根據(jù)命題真假求參數(shù)的步驟1．先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假(有時不一定只有一種情況)；2．然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；3．最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍。微考場新提升1．命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)＞nB．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞nC．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)＞n0D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0解析全稱命題的否定為特稱命題，因此命題“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)＞n0”答案D2．(2016·浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2解析根據(jù)含有量詞的命題的否定的形式可知，選D。答案D3．(2016·洛陽模擬)已知命題p：?x0∈R，使sinx0＝eq\f(\r(5),2)；命題q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0，給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題；③命題“(綈p)∨q”是真命題；④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題。其中正確的命題是()A．②③ B．②④C．③④ D．①②③解析∵eq\f(\r(5),2)＞1，∴命題p是假命題。又x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，∴命題q是真命題，由命題真假的真值表可以判斷②③正確，故選A。答案A4．命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a解析因題中的命題為假命題，則它的否定“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)。答案[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]5．(2017·包頭模擬)已知命題p：?a∈R，曲線x2＋eq\f(y2,a)＝1為雙曲線；命題q：x2－7x＋12<0的解集是{x|3<x<4}。給出下列結(jié)論：①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧綈q”是假命題；③命題“綈p∨q”是真命題；④命題“綈p∨綈q”是假命題。其中正確命題的序號是________。解析因為命題p和命題q都是真命題，所以命題“p∧q”是真命題，命題“p∧綈q”是假命題，命題“綈p∨q”是真命題，命題“綈p∨綈q”是假命題。答案①②③④第二章函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)及其表示☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。2016，全國卷Ⅱ，10,5分(函數(shù)的定義域、值域)2015，全國卷Ⅱ，5,5分(分段函數(shù))2014，全國卷Ⅱ，15,5分(分段函數(shù))1.以考查函數(shù)的三要素和表示法為主，函數(shù)的圖象、分段函數(shù)也是考查的熱點；2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是函數(shù)的解析式，對研究函數(shù)的性質(zhì)、應(yīng)用有很重要的作用。微知識小題練自|主|排|查1．函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射定義建立在兩個非空數(shù)集A到B的一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)建立在兩個非空集合A到B的一種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)記法y＝f(x)，x∈Af：A→B2.函數(shù)的三要素函數(shù)由定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域三個要素構(gòu)成，對函數(shù)y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域。3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法：解析法、列表法、圖象法。4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù)。微點提醒1．由于映射中的兩個集合是非空集合，函數(shù)中的兩個集合是非空數(shù)集。所以函數(shù)是特殊的映射。2．判斷兩個函數(shù)是不是相等函數(shù)，關(guān)鍵是看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同。3．求分段函數(shù)的函數(shù)值，要依據(jù)自變量所屬的區(qū)間，選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系求解。當自變量不確定時，需分類討論。4．判斷函數(shù)圖象的常用結(jié)論：與x軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點。小|題|快|練一、走進教材1．(必修1P17例1(1)改編)函數(shù)f(x)＝eq\r(2x－1)＋eq\f(1,x－2)的定義域為()A．[0,2) B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x－2≠0，))解得x≥0且x≠2。故選C?！敬鸢浮緾2．(必修1P23練習T2改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()【解析】A中函數(shù)定義域不是[－2,2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是[0,2]。故選B?！敬鸢浮緽二、雙基查驗1．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)B．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxC．f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1D．f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)【解析】A中，g(x)＝eq\r(x2)＝|x|，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)；B中，兩個函數(shù)的定義域不同，故不表示同一函數(shù)；C中，f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)＝x＋1(x≠1)與g(x)＝x＋1兩個函數(shù)的定義域不同，故不表示同一函數(shù)；D中，f(x)的定義域為[1，＋∞)，g(x)的定義域為(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函數(shù)。故選A?！敬鸢浮緼2．(2016·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lgxC．y＝2x D．y＝eq\f(1,\r(x))【解析】通性通法函數(shù)y＝10lgx的定義域為(0，＋∞)，又當x>0時，y＝10lgx＝x，故函數(shù)的值域為(0，＋∞)。只有D選項符合。故選D。光速解法易知函數(shù)y＝10lgx中x>0，排除選項A、C；又10lgx必為正值，排除選項B。故選D。【答案】D3．(2016·重慶模擬)設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝2f(x)＋x，且當0≤x<2時，f(x)＝[x]，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則fA．8.5 B．10.5C．12.5 D．14.5【解析】由題意f(x＋2)＝2f(x)＋x，得f(5.5)＝2f(3.5)＋3.5＝2(2f(1.5)＋1.5)＋3.5＝4f(1.5)＋6.5＝4×1＋6.5＝10.5。故選B?！敬鸢浮緽4．(2016·江蘇高考)函數(shù)y＝eq\r(3－2x－x2)的定義域是________?！窘馕觥恳购瘮?shù)y＝eq\r(3－2x－x2)有意義，則3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，則函數(shù)y＝eq\r(3－2x－x2)的定義域是[－3,1]?！敬鸢浮縖－3,1]5．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈－∞，a，,x2，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，＋∞))。))若f(2)＝4，則a的取值范圍為________?！窘馕觥恳驗閒(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，則a的取值范圍為(－∞，2]?！敬鸢浮?－∞，2]微考點大課堂考點一求函數(shù)的定義域【典例1】(1)(2015·湖北高考)函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域為()A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6](2)若函數(shù)f(x2－1)的定義域為[0,3]，則函數(shù)f(x)的定義域為________?！窘馕觥?1)由函數(shù)y＝f(x)的表達式可知，函數(shù)的定義域應(yīng)滿足條件：4－|x|≥0，eq\f(x2－5x＋6,x－3)>0，解得－4≤x≤4，x>3或2<x<3，即函數(shù)f(x)的定義域為(2,3)∪(3,4]。故選C。(2)因為0≤x≤3，所以－1≤x2－1≤8，所以f(x)的定義域為[－1,8]?！敬鸢浮?1)C(2)[－1,8]eq\a\vs4\al(反思歸納函數(shù)定義域的求解策略,1.已知函數(shù)解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式組求解。,2.實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式組求解。)3．抽象函數(shù)：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，其復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域?！咀兪接柧殹?1)(2016·沈陽模擬)已知函數(shù)y＝f(x＋1)的定義域是[－2,3]，則y＝f(2x－1)的定義域是()A．[－3,7] B．[－1,4]C．[－5,5] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))(2)(2017·包頭模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx2－2x,\r(9－x2))的定義域是________?！窘馕觥?1)由x∈[－2,3]得x＋1∈[－1,4]，由2x－1∈[－1,4]，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))。故選D。(2)要使該函數(shù)有意義，需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x>0，,9－x2>0，))則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0或x>2，,－3<x<3，))解得－3<x<0或2<x<3，所以所求函數(shù)的定義域為(－3,0)∪(2,3)?！敬鸢浮?1)D(2)(－3,0)∪(2,3)考點二求函數(shù)的值域【典例2】(1)函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是________；(2)函數(shù)y＝eq\r(－x2－6x－5)的值域是________；(3)函數(shù)y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域是________；(4)函數(shù)y＝eq\f(x,x2＋1)的值域是________?！窘馕觥?1)y＝4x值域為(0，＋∞)，所以0≤16－4x<16，所以0≤eq\r(16－4x)<eq\r(16)＝4，故函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是[0,4)。(2)因為μ＝－x2－6x－5＝－(x＋3)2＋4≤4，所以0≤μ≤4，故eq\r(μ)∈[0,2]，所以y＝eq\r(－x2－6x－5)的值域為[0,2]。(3)y＝eq\f(3x＋1,x－2)＝eq\f(3x－2＋7,x－2)＝3＋eq\f(7,x－2)。因為eq\f(7,x－2)≠0，所以3＋eq\f(7,x－2)≠3，所以函數(shù)y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域為(－∞，3)∪(3，＋∞)。(4)當x＝0時，y＝0。當x≠0時，y＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，若x>0，則x＋eq\f(1,x)≥2，y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))；若x<0，x＋eq\f(1,x)≤－2，y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))。即該函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))?！敬鸢浮?1)[0,4)(2)[0,2](3)(－∞，3)∪(3，＋∞)(4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))反思歸納求函數(shù)值域的常用方法有：(1)觀察法；(2)配方法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)換元法；(6)數(shù)形結(jié)合法；(7)不等式法等等，其中單調(diào)性法是最常見的方法?！咀兪接柧殹?1)函數(shù)y＝eq\f(1,2＋x2)的值域是________；(2)函數(shù)y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)的值域是________；(3)函數(shù)y＝eq\f(x2－x＋1,x2＋x＋1)的值域是________?！窘馕觥?1)根據(jù)函數(shù)y＝x2的值域及不等式的性質(zhì)可以直接觀察出函數(shù)的值域為{y|0<y≤eq\f(1,2)}。(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋1≥0，))得x≥1，y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)＝eq\f(2,\r(x＋1)＋\r(x－1))在[1，＋∞)上單調(diào)遞減。又eq\r(x＋1)＋eq\r(x－1)≥eq\r(2)，因此0<y≤eq\r(2)。所以函數(shù)y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)的值域為(0，eq\r(2)]。(3)因為x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≠0恒成立，所以函數(shù)的定義域為R，原式可化為y(x2＋x＋1)＝x2－x＋1，整理得(y－1)x2＋(y＋1)x＋y－1＝0。若y＝1，即2x＝0，則x＝0；若y≠1，因為x∈R，即有Δ≥0，所以(y＋1)2－4(y－1)2≥0，解得eq\f(1,3)≤y≤3且y≠1。綜上所述，函數(shù)的值域是{y|eq\f(1,3)≤y≤3}?！敬鸢浮?1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))(2)(0，eq\r(2)](3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))考點三求函數(shù)的解析式……母題發(fā)散【典例3】(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝______________。(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(x)＝________?！窘馕觥?1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq\f(1,2)。所以f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R。(2)由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2。【答案】(1)eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，x∈R(2)x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)【母題變式】若將本典例(2)的條件改為“f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1”，如何求解？【解析】在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\r(x)－1中，用eq\f(1,x)代替x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)eq\f(1,\r(x))－1，將feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(2fx,\r(x))－1代入f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\r(x)－1中，可求得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)。即函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(2\r(x),3)＋eq\f(1,3)，x∈(0，＋∞)。【答案】f(x)＝eq\f(2\r(x),3)＋eq\f(1,3)，x∈(0，＋∞)反思歸納函數(shù)解析式的求法1．待定系數(shù)法：適合已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))。2．換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍。3．配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。4．消去法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件將x換成eq\f(1,x)或－x構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)?！就卣棺兪健慷x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)。若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝___________________?！窘馕觥慨?≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，當－1≤x≤0時，0≤x＋