柯西不等式在高考中的應(yīng)用策略 論文

2年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選摘要：

柯西不等式在高考中的應(yīng)用策略柯西不等式是一個(gè)非常重要的公式，對(duì)于柯西不等式深入了題是數(shù)學(xué)中的一類(lèi)很重要的問(wèn)題，在求某些比較復(fù)雜代數(shù)式的最值時(shí)，柯西不等式是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，為了運(yùn)用柯西不等式，我用柯西不等式的技巧之一。下面具體剖析另外幾個(gè)策略。關(guān)鍵詞：柯西不等式，證明方法，應(yīng)用，例子n2ai2

n22

n≥(

aibi)2是柯西在1931年研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的.表面上看，這一不等式并不難理解，也很容易驗(yàn)證它的正確性，特別是它的二階形式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，幾乎是不證自明的.但是，我們能看出這一平發(fā)現(xiàn)這樣的不等關(guān)系，則是一個(gè)創(chuàng)造的過(guò)程，并不是那么容易的.一．結(jié)構(gòu)分析法例1、已知x，y，a，b均為正數(shù)，且ab1，求x+y的最小值。x yx+y的最小值，首先應(yīng)想到化為兩個(gè)兩xy[(

x)2(

y)2][(

a)2(x

b)2]y能得到答案。均為正數(shù)，且ab1，所以根據(jù)柯西不等式得，xy[(

x)2(

y)2][(

a)2(x

x yb)2](ay

x byy axbx byy ax，即xy

a時(shí)取等號(hào)，所以x+y的最小值為(ab

b)2.不等式、求解最值和解決三角形問(wèn)題。二．消元利用不等式例2.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=1，則z的取值2范圍是 。分析：先將已知條件變形，利用x+y≤

2(x2+y2)，可得z的不等式，即可求得z的取值范圍．解析：∵x+y+2z=1，∴x+y=1﹣2z，∵x2+y2+2z2=1，∴x2+y2=1-2z22 2 ，∵x+y≤

2(x2+y2)，∴（1﹣2z）2≤1﹣4z2∴2z2﹣z≤0∴0￡z￡1。2z的不等式，通過(guò)解不等式求解。正確運(yùn)用x+y≤

2(x2+y2)也是關(guān)鍵之一。三．換元利用柯西不等式例3非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=13，那么x+y+z的最4大值為 。得到x+y+z的最大值．解析：x2+y2+z2+x+2y+3z=13，可得：(x

+1)2y+

+3)2=27，+4 2 2 4設(shè)x+13(x

1)2y

3)2=27++2 2 2 2 4++81，∴﹣49≤w+v+u≤9，2 23的最大值為9x+=y+1=z+3，2 2 2由此可得：x+y+z的最大值為9-3=3．2 2x、y、z的二次等式，求x+y+z的最大值．著重計(jì)算。四、構(gòu)造法求解例4.若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x2y2z21，求證：1xyyzxz1.2解析：根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造兩組數(shù)：(x2y2z2)2(x2y2z2).(y2z2x2)(xyyzzx)2， 因 為x2y2z21所以(xyyzzx)21，所以xyyzzx1，又因?yàn)?xyz)2x2y2z22(xyyzzx)0所以2(xyyzzx)(x2y2z2)，所以xyyzzx1，2故有1xyyzxz1.2化，拼湊出與一般形式的柯西不等式相似的結(jié)構(gòu)，才能應(yīng)用.因而22年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選適當(dāng)變形是我們應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵，也是難點(diǎn).運(yùn)用過(guò)程中，要便能使其形式一致，然后應(yīng)用解題.柯西不等式證明問(wèn)題的基本方法：（1）巧拆常數(shù)；（2）重新安排某些項(xiàng)的次序（3）改變結(jié)構(gòu)；（4）添項(xiàng)等。II的選修4-5不等題加以分類(lèi)，有助于知識(shí)的掌握。一、柯西不等式（原始版）1、a2a2b2b2ab

ab2，當(dāng)且僅當(dāng)向量aa,ab,b1 2 1 2

11 22

1 2 1 21向時(shí)候成立，如果,0時(shí)，那么當(dāng)且僅當(dāng)1

a2

時(shí)成立。2、a2a2a2b2b2b2ab

ab

ab2當(dāng)且僅當(dāng)a:a:a

b:b:b1 2 3 1 2 3

11 22 33

1 2 3

1 2 3時(shí)等號(hào)成立。2n n n 23、a2b2ab

a:a

:a:...:a

b:b

:b:...:b時(shí)等號(hào)kk

kk

kk

1 2 3

n 1 2 3 n成立。兩邊的式子的次數(shù)相等，因此做題的時(shí)候可以抓住這個(gè)關(guān)鍵進(jìn)行應(yīng)用。二、常見(jiàn)題型常數(shù)。例1、已知ab1，且a,b0，求11的最小值。a b用柯西不等式更加方便?？紤]最后求解的形式一定是11k，k為a b1次，右邊為0要乘以ab，這樣左邊變成了

1b1應(yīng)用柯西不等式。

2 111

11

1

1

4ab

時(shí)等號(hào)成立，ab a b b ab 所以11的最小值為4。a b顯然以上對(duì)例1而且柯西不等式的應(yīng)用范圍更加廣泛。例2、若a,b,c0，求證111b9。 b c解析：可以直接應(yīng)用柯西不等式

2 111b

1

1

1

9abc1時(shí)等abc b c abc 號(hào)成立。 3、已知a,b,c0，并且abc1，求cab ab

bc

ca1 ； 1 ； 11 ； 1 ； 1 。ab

ab

bc

bc

ca

ca4：已知abc，證明114。ab

bc

ac提示：設(shè)xab，ybc，則acxy，且x,y0。2、2次常數(shù)1次例例3、已知xy21，求xy的取值范圍。4利用柯西不等式會(huì)更簡(jiǎn)單。2這類(lèi)問(wèn)題是轉(zhuǎn)化形如x2

y2

kxy2（k,k

為某兩個(gè)常數(shù)）的4 1 2 1 24 柯西不等式進(jìn)行求解，關(guān)鍵是常數(shù),k2

的確定。觀察柯西不等式a2a2b2b2ab

ab2，有a2b2ab2，i,2，相應(yīng)的xk

x2，21 2 1 22

11 22

ii ii 4 12y22

y2，易得k

4,k2

1。12所以x12

y24xy2，即15xy2，所以

5xy 。4 4 5例4、已知x2y2z21，求x2y3z的取值范圍。51分析：需要轉(zhuǎn)化為形如x2y2z2k1

k2

k3

x2y3z2的柯西不等式，1有x21

x2，y2

4y2，z2

9z2，解得k

1,k2

4,k3

9。123解：x2y2z2149x2y3z2，即123

x2y3z213，所以1313x2y3z 。13例5、已知xyz1，求x22y2z2的最小值。 5解析：xyz2111x22y2z2，即1

x22y2z2，所以x22y2z22，5

2 2當(dāng)且僅當(dāng)

x2y

z，即

xz2,y1，或時(shí)等號(hào)成立，所以1 1 1 5 52x22y2z2的最小值為2。52x例6、求函數(shù)2x

x1

42x的最大值。a

x1,ba2b232年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選則ya

b由柯西不等式，a2b212a

b2即33y2所以y3，當(dāng)且僅當(dāng)ab，即x0時(shí)等號(hào)成立。1 21的證明嗎？答：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝(ad)2＋(bc)2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)等號(hào)成立．“探究”：試從不等式①推導(dǎo)不等式②，再進(jìn)行反方向的推導(dǎo)，從數(shù)形結(jié)合的角度體會(huì)兩者的等價(jià)關(guān)系．答：設(shè)α＝(a，b)，β＝(c，d)．①?②：因?yàn)?a2＋b2)(c2＋d2)≥(a2＋b2)(c2＋d2)，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ，即 a2＋b2 c2＋d2≥│

a2＋b2 c2＋d2cosθ│因此，│α││β│≥│α·β│.θ為向量u，v的夾角)．所以α·β＝ac＋bd＝

a2＋b2 c2＋d2cosθ，(ac＋bd)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)cos2θ≤(a2＋b2)(c2＋d2)．?dāng)?shù)形結(jié)合略．當(dāng)且僅當(dāng)α與β同向，即ad＝bc時(shí)等號(hào)成立．“探究”：請(qǐng)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系，解釋不等式④的幾何意義．答：如圖，CA與CB反向時(shí)，等號(hào)成立．習(xí)題3.11．解：函數(shù)的定義域?yàn)閇5,6]，且y＞0，y＝3

x－5＋4

6－x≤

32＋42·

(x－5)＋(6－x)＝5×1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)4取得最大值．

x－5＝3

6－x，等號(hào)成立，即當(dāng)x＝134時(shí)，函數(shù)25a1，a2，a3，b1，b2，b3是bi＝0(i＝1,2,3)或者存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)時(shí)等號(hào)成立．設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3是實(shí)數(shù)，則((a1－b1)2＋(a2－b2)2＋(a3－b3)2＋((b1－c1)2＋(b2－c2)2＋(b3－c3)2≥((c1－a1)2＋(c2－a2)2＋(c3－a3)2.3．證明：由柯西不等式，(x＋2y)2≤[(

2x)2＋(

3y)2]2)(

3)])1)2 3 6＋4．證明：因?yàn)閍2＋b2＝1，cos2θ＋sin2θ＝1，故由柯西不等式可知(bsinθ＋acosθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝1.∴|bsinθ＋acosθ|≤1.5．證明：∵(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[(

ax1)2＋(

bx2)2]·[(

bx1)2]≥(a

x1x2＋b

x1x2)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.x＋2y＝1看成一條直線，則x2＋y2就是坐標(biāo)原點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)(x，y)的距離的平方．故最小值為d＝

1 5 1 2＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y21＋22 5 5 55取得最小值，且最小值為 .57．解：由柯西不等式，可知b)(

2a) (b )(

2a) [(b) ](1 1(a＋ 2b＋ ＝

1 1＋a 2b＋ ＝

12＋( a)22a)]b)(b

2a)]9)2 2)＝(2＋12＝.·＝當(dāng)且僅當(dāng)1 1 ·＝b 2a

1a· 2b，即ab＝時(shí)，等號(hào)成立．28．證明：設(shè)x1，x2＞0，則由二維形式的柯西不等式有(px1＋qx2)( p＋q)≥(

q)2＝(p

x1＋q

x2)2.又∵p，q＞0，p＋q＝1，∴ px1＋qx2≥p

x1＋q

x2.①又∵f(x)＝ x，∴①式可變形為pf(x1)＋qf(x2)≤f(px1＋qx2)．x＋4≤(9

1＋cos2x＝3 2

2sinx＋4

1＋cos2x2sin2sin2x＋(1＋cos2x)＋16＝(16＋4.5)

41 22＝ .2當(dāng)且僅當(dāng)3 2

1＋cos2x＝

2sinx·4，即

1＋cos2x＝8sinx3值最大為時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)y 41 2.值最大為2問(wèn)題：為何要將柯西不等式列為“不等式選講”的重要內(nèi)容？導(dǎo)入：柯西不等式的幾種形式都有較為深刻的背景和廣泛的應(yīng)用.向般形式

n2ai21

n22

n≥(

1paibi)2有一個(gè)推廣形式:(a1p+a2p+…+anp)p1q q 1 1(b1q+b2+…+bn)q≥a1b1+a2b2+…+anbn(

=1)（該不等式稱(chēng)為赫爾德p q（Holder）不等式，當(dāng)p=q=2最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等價(jià)形式，它的推廣形式ni1ni1xi2ni1yi2n(xiyi)i12是看中它的這一數(shù)學(xué)背景.一、二維形式的柯西不等式定理1（二維形式的柯西不等式）已知+a2)(b1+b2)a1b2-2 22 2 22a2b1=0時(shí)取等號(hào).由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個(gè)非常有用的不等式：對(duì)于任何實(shí)數(shù)a1，a2，b1，b2,以下不等式成立：a2a21 2?b2b2a2a21 21 2a2a21 2?b2b2a2a21 21 2不等式中等號(hào)成立果b1≠0,b2≠0,那么

1b2-a2b1=0.這時(shí)我們稱(chēng)(a1,a2),(b1,b2)成比,a1b2-a2b1=0

1

a2.若b·b=b=0,則原不等b1 2 1 22b1 2 1 2式兩邊都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0,原不等式化為(a1+a2)b2≥a2b22 2 2 2 2為b1·b2=0時(shí),不等式恒成立,因此我們研究柯西不等式時(shí),總是假定b12bb≠0,等號(hào)成立的條件可以寫(xiě)成b121

a2,這種寫(xiě)法在表示一般形式(nb2維)的柯西不等式等號(hào)成立的條件時(shí)更是方便、簡(jiǎn)潔的.定理2（柯西不等式的向量形式）設(shè)α,β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立.22年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選定理2中等號(hào)成立的充分必要條件是向量α和β平行（如α,β為非2中等號(hào)成立的充分必要條件為向量α與β的夾角為0或α與β對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分量成比例）,從而可以推知定理1中等號(hào)成立的充分必要條件為

a2（b為零時(shí)，a為零，i=1，2）.bi bi i定理3（二維形式的三角不等式）設(shè)x1,x2,y1,y2∈R，那么x2x2y21 1x2y22 2(xx)2(yy1 21 2)2x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，用 x2-x3代替 x2，用 y2-y3代替 y2，代入定理 3，得(x(xx)2(yy1 31 3)2(xx)2(yy1 32 3)2(x(xx)2(yy1 21 2)2二、一般形式的柯西不等式n2定理設(shè)ai,bi∈R(i=1,2,…,n),則((aibi)2

n2ai2

n2.2當(dāng)數(shù)組a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全為0時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai(1≤i≤n).即 (a1b1+a2b2+… +anbn)2≤(a1+a2+… +an)(b1+b2+… +bn)2 2 22 2 2 22a a a（ai,bi∈R,i=1,2,…,n）中等號(hào)成立的條件是1

2=…=n.號(hào)成立的條件比較特殊，要牢記.此外應(yīng)注意在這個(gè)式子里不要求各項(xiàng)均是正數(shù)，因此應(yīng)用范圍較廣.一般形式的柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：2年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選a ain變式1 設(shè)ai∈bc>0(i=1,2,…,n),則1

2 ( )2i b b

,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)bi=λai(1≤i≤n).

i i

ia ain變式2 設(shè)ai,bi同號(hào)且不為1

2 ( )2i b ab號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn.

i i ii要求是一眼就能看出來(lái)的，這就要求我們對(duì)柯西不等式要做到活學(xué)活用.a1,…,an;b1,…,bn都表示實(shí)數(shù)）是：（1）a1+a2+…+an=1,b1+b2+…+bn=1,則|a1b1+a2b2+…+anbn|≤1;2 2 2 2 2 2（2）a1a2+a2a3+a3a1≤a1+a2+a3;2 2 2（3）(a1+a2+…+an)2≤n(a1+a2+…+an);2 2 2（4）(a+b)(1+1)≥4=(1+1)2，其中a、b∈R+;a b（5）(a+b+c)(1+1+1)≥9=(1+1+1)2,其中a、b、c∈R+.a b c等式有關(guān)的競(jìng)賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨(dú)特地位.知識(shí)點(diǎn)一：用柯西不等式證明不等式 >0.例1 設(shè)a1>a2>…>an>an+1 >0. 1 1

1 1 a2

a2a3

anan1

an1就可以使用了，我們不妨改為證： (a1-an+1)·［ 1

1 ］>1.a2

a2a3

anan1證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將a1-an+1寫(xiě)成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),于是 ［(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)］·（ 1

1 ）≥n2>1.a2

a2a3

anan1 即(a1-an+1)·（ 1

1 ）>1,a2

a2a3

anan1∴ 1 1 ∴

1 1 , >0. >0.

a2a3

anan1an1故 1 1 故

1 1 a2

a2a3

anan1

an1柯西不等式來(lái)證明.例2、設(shè)x1,x2,…,xn∈R+,求證：x2 x

x x21 x2 x3

n≥x1+x2+…+xn.xn 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+…+xn+x1)，也即嵌以因式(x1+x2+…+xn)，由柯西不等式即可得證.x2 x

x x2證明：(1 x2 x3

n)·(x2+x3+…+xn+x1)xn x2=［(x2

)2+(x2

)2+…+(xn)2+(xn

)2］x2xn13［( x2)2+( )2+…x2xn13

xn)2+()2］22年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選x2≥(·x2

x2+

· +…+xn·

x1nxn+ ·1n)x23xnx2=(x1+x2+…+xnx23xnx2x2 x

x x2于是1 x2 x3

n≥x1+x2+…+xn.xn n2柯西不等式中有三個(gè)因式ai2

n2,2

n,aibi，而一般題目中只有一個(gè)例3 已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5,試求a的最值.適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來(lái)解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(111)≥(b+c+d)2,2 3 6即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2.由條件可得，5-a2≥(3-a)2.解得，1≤a≤2,當(dāng)且僅當(dāng)2b6d時(shí)等號(hào)成立.1/2代入b=1,c=1,d=1時(shí)，amax=2;

1/3

1/63 6b=1,c=2,d=1時(shí),amin=1.3 3極值問(wèn)題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決.而有些極值問(wèn)題的錯(cuò)誤.這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.如：已知a,b為正常數(shù)，且0<x<,求y=ab的最小值.解：利用柯西不等式，得

2 sinx

cosx3a23b2

(3a23b2)(sin2x+cos2x)≥(3asinx+3bcosx)2.當(dāng)且僅當(dāng)sinxcosx時(shí)等號(hào)成立.3a 3b3a23b2于是 3a23b2再由柯西不等式，得3a23a23b2 )sinx

cosx≥(3asinx+3bcosx)(ab）sinx

cosx2 2≥(6a

sinx

a6bsinx

cosx

b)2=(a3+b32.cosx當(dāng)且僅當(dāng)sinxcosx時(shí)等號(hào)成立.3a 3b2 2 2 ≥(a+b).從而y= ≥(a+b).sinx

cosx2 2 2 的最小值是(a+b).于是 的最小值是(a+b).sinx

cosx思想方法探究問(wèn)題試探究用柯西不等式導(dǎo)出重要公式.如n個(gè)實(shí)數(shù)平方平均數(shù)不小于這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即