二維實交換代數(shù)的h-m內(nèi)積刻畫

二維實交換代數(shù)的h-m內(nèi)積刻畫

1雙曲復(fù)合器和雙曲復(fù)合器1.1維實交換代數(shù)h形狀與z.x和iy相同，稱為雙曲復(fù)合，其中x、yr（實面積），j是帶有玻璃濾波器特性的虛擬單位，具有j2。1，j*=j（j*被稱為j的共軛元）。H={x+jy|x,y∈R}(1)則H關(guān)于如下定義的加法與乘法作成二維實交換代數(shù)z1+z2=(x1+x2)+j(y1+y2),z1z2=(x1x2+y1y2)+j(x1y2+x2y1),(2)其中,z1=x1+jy1,z2=x2+jy2.作為二維實交換代數(shù),H的矩陣表示為S={x(1001)+y(0110)|x,y∈R}.(3)H的非平凡理想為如下主理想D1=(1+j)={a(1+j)|a∈R},D2=(1-j)={b(1-j)|b∈R}(4)且有性質(zhì):D1+D2=H,D1∩D2=D1D2={0}.(5)H的所有零因子所成集為D=D1∪D2,(6)且D1,D2互為共軛零因子集,即D*1={a(1+j)*}={a(1-j)}=D2.(7)D1,D2作為H的子代數(shù),均與實域R的同構(gòu).對此我們有如下同構(gòu)映射f∶D1→D2,1+j→1-j;g∶D1→R,(1+j)/√2→1.(8)?z=x+jy∈H＼D,則z有逆元,且其逆元為z-1=1x+jy=x-jyx2-y2.(9)命題1H＼D關(guān)于H的乘法作成Abel群.1.2h平面上的二元運(yùn)算與雙曲復(fù)數(shù)對應(yīng)的平面稱為雙曲復(fù)平面(亦稱H平面).引入二元實函數(shù)f∶H×H→R;(x1+jy1,x2+jy2)→x1x2+jy1(jy2)*=x1x2-y1y2(10)則H成為二維Minkowski空間(Minkowski平面).由(10)定義的二元實函數(shù)稱為Minkowski內(nèi)積(簡稱M內(nèi)積),并記f(x1+jy1,x2+jy2)為(x1+jy1)·(x2+jy2).由M內(nèi)積定義z=x+jy的間隔數(shù)(或稱模長為)σ(z)=√|zz*|=√|x2-y2|(11)間隔數(shù)為0的數(shù)稱為迷向數(shù),易知,H平面的所有迷向數(shù)所成集,恰為二維實交換代數(shù)H的所有零因子所成集.關(guān)注這一事實,由H平面表述Minkowski平面,將為考察Minkowski平面的相關(guān)性質(zhì)帶來方便.為考察H平面的對稱性及有序性等性質(zhì),先給出幾個必要的定義定義1設(shè)K為非空集,在K上定義了兩個代數(shù)運(yùn)算+,。,滿足:(K,+)是半群;(K,。)是半群;。對+可分配.則稱K是一個半環(huán).定義2設(shè)S是有零元的加法半群,K是有單位元的半環(huán),定義數(shù)乘運(yùn)算:K×S→S,使得任取→w,→v∈S,及k,l∈K有1)k(l→w)=(kl)→w;2)(k+l)→w=k→w+l→w;3)k(→w+→v)=k→w+l→v;4)1→w=→w則稱S是半環(huán)K上的半線性空間.若S上還有一個乘法運(yùn)算,便得乘法對加法可分配,則稱S是半環(huán)K上的半線性代數(shù).定義3設(shè)S是半環(huán)K上半線性空間,若存在半(全)序半系～使(S,～)為半(全)序集,則稱S為半環(huán)K上的半(全)序半線性空間.若半序集(S,～)是格,則稱S為半環(huán)K上的可格半線性空間.H平面的迷向數(shù)將H平面分為四部分,記為H(i),i=1,2,3,4.H(i)(i=1,2,3,4)中的非零元均為非迷向數(shù),定義非迷向數(shù)z=x+jy的示向數(shù)為定義其幅角為φ=arctanh(sgn(xy)min{|x|,|y|}/max{|x|,|y|})(14)任取非迷向數(shù)z=x+jy∈H,其指數(shù)式及雙曲函數(shù)式依次為:z=δ(z)σ(z)exp(jφ)(15)z=δ(z)σ(z)(cosh(φ)+jsinh(φ)(16)所有迷向數(shù)所成集可記為:D=D1∪D2.D為H平面上兩正交直線,由原點(diǎn)將其分為四部分,記為D(i),i=1,2,3,4:定義z=x+jy∈D的示向數(shù)為定義其迷向間隔為d(z)=√x2+y2(19)任取z=x+jy∈D,z可表為z=d(z)ε(z)(20)由(12),用直接驗證的方法,可得如下命題命題2H(i)(i∈{1,2,3,4})關(guān)于H的加法做成有恒等元的半群,且相互同構(gòu).推論1H(i)(i∈{1,2,3,4})是半環(huán)R+上的半線性空間,且相互同構(gòu).命題3在H(i)上定義二元運(yùn)算。i:。∶(x+jy)。(x2+jy2)=δi(x1+jy1)(x2+jy2)則H(i)(i∈{1,2,3,4})成為半環(huán)R+上半線性代數(shù),且相互同構(gòu).其中x1+jy2,x2+jy2∈H(i),δi=δ(x1+jy1),i∈{1,2,3,4}.由如上雙曲復(fù)平面的對稱性可知,雙曲復(fù)平面的若干性質(zhì)可借助某個H(i)展開討論.1.3類時曲線及距離空間在雙曲復(fù)平面H中,定義H+≡H(2),稱其為H的未來類時區(qū).H+中的矢量,稱為未來類時矢.在H中定義如下二元關(guān)系:?∶z1?z2?z2-z1∈H+,(21)則(H,?)成為半序線性空間.命題4H+關(guān)于半序關(guān)系(21),做成半環(huán)R+上的半序半線性空間.H平面的間隔數(shù)與傳統(tǒng)的模長概念不同,它具有如下性質(zhì):其中,z1,z2∈H(i),i=1,2,3,4.3)稱為反向三角不等式.命題5?z1,z2,…,zn∈H,若z1?z2?…?zn(?由(21)確定),則有σ(z1+z2+…+zn)≥σ(z1)+σ(z2)+…+σ(zn).(23)定義4設(shè)集合L?H,若L關(guān)于H的半序關(guān)系滿足可比性(即?z1,z2∈L,有z1?z2或z2?z1成立),則稱L為H的類時鏈.若L又是H的連續(xù)曲線,則稱L是H的類時曲線.定義5設(shè)H的類時曲線L的起迄點(diǎn)為A(xA,jyA),B(xB,jyB),則L的長度定義為:S(L)=limn→∞∑i=1n△Li,(24)其中△i=σ(Ai-1Ai),Ai(xi,jyi)∈L(A,B),i∈{1,2,…,n}.A=A0,B=An.n→∞時,max{△i}→0.命題6設(shè)L[A,B]={L|L起迄點(diǎn)依次為A(xA,jyA),B(xB,jyB)∈H,AB∈H+}則?L∈L[A,B],有S(L)≤σ(AB).(25)即所有以A,B為起迄點(diǎn)的類時曲線集中,線段最長.命題7令Η?=Η(2)∪(D12∪D23),稱其為H的擴(kuò)充未來類時區(qū),在H上定義如下二元關(guān)系?∶w→1?,w→2?w→2-w→1∈Η?+,(26)則半序集(H,?)是格.且H成為R上可格線性空間.推論2Η?+,關(guān)于半序關(guān)系(26)作為半環(huán)R+上的可格半線性空間.由間隔數(shù)定義H上兩點(diǎn)z1=x1+jy1,z2=x2+jy2的距離為ρ(z1,z2)=σ(z2-z1),(27)由(22)易知ρ(·,·)滿足非負(fù)性與對稱性,但不滿足傳統(tǒng)距離空間的三角不等式.對此,我們引入一類序距離空間的概念.定義6設(shè)S為數(shù)域F上線性空間,ρ∶S×S→R為雙變量實值函數(shù).～為S的一個二元關(guān)系.若?a→,b→,c→∈S有則三元組(S,ρ,～)稱為M距離空間,當(dāng)?是半(全)序關(guān)系時,稱其為半(全)序M距離空間.例1對于雙曲復(fù)平面H,定義ρ(z1,z2)=σ(z2-z1),則三元組(H,ρ,?)構(gòu)成半序M距離空間.其中,半序關(guān)系?由(21)確定.例2對于雙曲復(fù)平面H,定義z1?iz2?z2-z1∈H(i),i∈{1,2,3,4}.由?i替換例1中的?,則三元組(H,ρ,?i)構(gòu)成半序M距離空間.對于例1(例2)中的M距離空間,ρ(z1,z2)=0,不必有z1=z2(例如:取z1=1+2j,z2=5+6j,則有ρ(z1,z2)=0,且z1≠z2.故此,要刻劃雙曲復(fù)平面的有關(guān)性質(zhì),需引入有別于前述距離的另一種距離.定義7?z1,z2∈H.z2-z1=(x2-x1)+j(y2-y1)∈D時,定義其迷向距離為d(z1,z2)=(x2-x1)2+(y2-y1)2.(29)2半環(huán)r+半線性代數(shù)的生成帶有內(nèi)積(10)的雙曲復(fù)平面積為Minkowski平面(或稱時空平面),記為M,為討論狹義相對論中的物理問題,對(1)中元素x+jy,令y=ct,則M可表為M={x+jct}(30)其中c表光束,t表時間.定義8記依次稱為以z0為心,d為半徑的時空開圓及時空閉圓,統(tǒng)稱為時空圓.d=1時,稱為時空單位圓.d=0時,時空開圓無定義,相應(yīng)的時空閉圓為Μˉ(z0,0),表示以z0為起點(diǎn)的所有類光向量的全體,稱為以z0為心的時空點(diǎn)圓.特別地,z0=0,d=0時M(0,0)={z∈M|σ(z)=0},(31)為Minkowski平面M的類光區(qū)(光錐).z0=0,d→∞時,M(0,∞)為Minkowski平面M本身.即M(0,∞)=M.(32)定義9記M(z0,d;S+)(Μˉ(z0,d;S+),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,(x-x0)>(≥,=)c|t-t0|};M(z0,d;Τ+)(Μˉ(z0,d;T+),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,c(t-t0)>(≥,=)|x-x0|};M(z0,d;S-)(Μˉ(z0,d;S-),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,-(x-x0)>(≥,=)c|t-t0|};M(z0,d;Τ-)(Μˉ(z0,d;T-),U(z0,d;S+))={z∈M|σ(z-z0)=d,-c(t-t0)>(≥,=)|x-x0|}.(33)依次稱為z0為心d為半徑的S+(T+,S-,T-)型開圓(閉圓,圓周).對于(33),當(dāng)d=1,z0=0時,T+型圓周M(0,1;T+)稱為時單單位集.d=0時,M(z0,0)={z∈M|σ(z-z0)=0},(34)其歐氏圖象對應(yīng)于z0為心的任意等軸雙曲線的漸近線.M的未來類時區(qū)可記為M+=M(0,∞;T+)∪{0},(35)易知M+為半環(huán)R+上的半線性空間,但M+對M的乘法不封閉,為利用M的乘法考察M+的有關(guān)性質(zhì),我們利用雙曲虛單位j的性質(zhì)及M的乘法定義一種新的乘法運(yùn)算:。∶z1。z2=jz1z2.(36)驗證可知,半環(huán)R+上半線性空間M+引入運(yùn)算(36)后,成為半環(huán)R+上半線性代數(shù).且有如下命題.命題8(M+＼{0},。)是Abel群.T+型單位圓周簡記為U+,即U+=U(0,1;T+).(U+,。)為Abel群,稱其為時間單位群.命題9任取u∈U+,定義映射Lu∶M+→M+,z→-u*。z(37)則Lu為Lorentz變換.證明:任取u∈U+,u可寫成u=j(coshφ+jsinhφ),-u+可寫成-u*=j(coshφ-jsinhφ)任取z=x+jct,令z′=x′+jct′,則有z′=u。z=juz=(coshφ-jsinhφ)(x+jct)=(xcoshφ-ctsinhφ)+j(ctcoshφ-xsinhφ),(38)從而有(x′)2-(ct′)2=(xcoshφ+ctsinhφ)2-(ctcoshφ+xsinhφ)2=x2-(ct)2,(39)故命題成立.觀察(38),可導(dǎo)出Lorentz變換的如下矩陣形式[x′jct′]=[coshφ-jsinhφ-jsinhφcoshφ][xjct].(40)(40)中的2階矩陣稱為雙曲酉陣.將所有雙曲酉陣所成集記為其中φ為任意實數(shù).命題10SL2(H)對矩陣的乘法作成Abel群,且任取A(φ)∈SL2(H)有A(φ)-1=A(φ)H,det(A(φ))=1,(42)其中A(φ)H為A(φ)的轉(zhuǎn)置共軛陣.驗證可知,SL2(H)關(guān)于矩陣的乘法作成Abel群,且與時間單位群(U+,。)同構(gòu)(f∶SL2(H)→U+,A(φ)→(coshφ-jsinhφ)為群同構(gòu).即Minkowski平面的Lorentz變換群可由Minkowski平面的時間單位群表述.3u3000添加各類功能函數(shù)由雙曲復(fù)數(shù)表述Minkowski平面的方法及相關(guān)結(jié)果可向四維情形推廣.本節(jié)將雙曲復(fù)平面H記為H2,即H2≡H.令H4={(x,y,z,jct|x,y,z,t∈R,(43)或記為Η4={r→+jct}(44)其中r→=(x,y,z)為三維實位置向量.由(44),可將H4中的四維向量形式地看作雙曲復(fù)數(shù).類比于(10)引入二元實函數(shù)f∶H4×H4→R;(r→1+jct1,r→2+jct2)→r→1?r→2+jct1(jct2)*=x1x2+y1y2+z1z2-ct1ct2.(45)則H4成為四維Minkowski空間,并記為M4.相應(yīng)地,將Minkowski平面記為M2.由(45)定義的二元實函數(shù)也稱為Minkowski內(nèi)積(簡稱M內(nèi)積),并記f(r→1+jct1,r→2+jct2)為(r→1+jct1)?(r→2+jct2)由M內(nèi)積定義w→=r→+jct的間隔數(shù)(或稱模長)為σ(w→)=|w→w*|=|r2-(ct)2|,其中r2=r→?r→=x2+y2+z2.可類比于時空圓的定義,給出時空開球,時空閉球,時空單位球,時空點(diǎn)球等概念.本節(jié)由時空單位球面,導(dǎo)出相應(yīng)的Lorentz變換.定義10令Μ4(w→0,d)(Μˉ4(w→,0,d))={w→∈Μ4|σ(w→)＜(≤)d},稱其為以w→為心,d為半徑的時空開球(閉球).特別地,w→0=0,d=1時的時空球面稱為時空單位球面,記為U4,即U4=Μˉ4(0,1)\Μ4(0,1).Τ+型時空單位球面可表為U4+={u→=r→+jct∈U4|c2t2-r2=1,t＞0},(46)稱其為四維Minkowski空間的時間單位集.可在M的未來類時區(qū)Μ4+={r→+jct∈Μ4|ct≥r,僅當(dāng)t=0時等號成立}中考察時間單位集的有關(guān)性質(zhì).在M+4中定義向量w→(σ(w→)≠0)的幅角為φ=arctanh(r/ct),(47)則w→可表為w→=φ(w→)j(coshφ+jr→°sinhφ),(48)其中r→°=r→/r.特別地,?w→∈U4+,有w→=j(coshφ+jr→°sinhφ).(49)類同于M2中的相關(guān)結(jié)果,M+4也是M4的有恒等元的加法子半群,且為半環(huán)R+上的半線性空間.類比于(36),在M4中引入二元運(yùn)算?∶(r→1+jct1)?(r→2+jct2)=j((r1?r2+c2t1t2)+j(jct2r→1+jct1r→2)),(50)則(50)不具有與(36)相對應(yīng)的性質(zhì),即σ(w→1。w→2與σ(w→1)σ(w→2)不必相等,且?w→1,→w→2∈Μ4+\{0}不必有w→1?w→2∈Μ4+\{0}.例如,取w→1=(3/2,0,0,j),w→2=(0,3/2,0,j)∈Μ4+\{0},則有w→1?w→2(3/2,3/2,0,j)?Μ4+\{0},σ(w→1?w→2)=2/2≠1/4=σ(w→1)σ(w→2)命題11?w→1,w→2∈Μ4+\{0},若r→1,r→2線性相關(guān),則σ(w→1?w→2)=σ(w→1)σ(w→2),w→1?w→2∈Μ4+\{0}.(51)命題12M+4＼{0}對如下運(yùn)算⊙封閉,且保持間隔數(shù)⊙∶(r→1+jct1)⊙(r→2+jct2)=(r→1+jct1)?(r→2∥+αr→2⊥+jct2),(52)其中,α=1-r12/c2t12,r→2∥與r→2⊥分別為r→2平行于r→1及垂直于r→1的分量.證明?w1=→r1+jct1,w1=→r2+jct2∈Μ4+\{0},令w→=r→+jct=w→⊙w→2,由(51),(52)將其展開并整理,可得r→=ct1(r→2∥+αr→2⊥)+ct2r→1,ct=r1?→r→2∥+c1tt2=r→1?r→2+c2t1t2,(53)將α=1-r12/c2t12代入(53),可得(