雙曲虛單位與狹義相對(duì)論

雙曲虛單位與狹義相對(duì)論

eistein否定了絕對(duì)的時(shí)間和空間理論。在總結(jié)了新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)之后，他提出了兩個(gè)基本原則：狹窄相對(duì)性原則和光平衡變化原則?；谶@兩個(gè)原則，einte建立了狹義理論。驗(yàn)證了它的準(zhǔn)確性。狹義理論的轉(zhuǎn)換點(diǎn)是相對(duì)于時(shí)間和空間測(cè)量的相對(duì)時(shí)空理論。相應(yīng)的坐標(biāo)變換關(guān)系到mortenstrau轉(zhuǎn)換。其中u為兩慣性系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.式(1)表明,時(shí)空坐標(biāo)是相互聯(lián)系,不可分割的.時(shí)空的統(tǒng)一使得時(shí)間和空間融合成一個(gè)統(tǒng)一的“四維連續(xù)體”.1由時(shí)空分布的考量在Einstein提出狹義相對(duì)論之后,德國(guó)數(shù)學(xué)家Minkowski引入虛單位i(i2=-1,i*=-i),提出了一種簡(jiǎn)潔優(yōu)美的四維形式.x,y,z分別用x1,x2,x3表示,而x4表示ict,從而構(gòu)成Minkowski空間,二維坐標(biāo)如圖1,對(duì)應(yīng)空間為非Euclid空間.其時(shí)空間隔為四維空間新的不變量圖1中虛線為光子的世界線,根據(jù)任一時(shí)空點(diǎn)與O點(diǎn)間隔不變量的特點(diǎn),光子世界線將x1-x4平面分成四個(gè)部分,Ⅰ,Ⅲ為O點(diǎn)的絕對(duì)遠(yuǎn)離事件,Ⅱ?yàn)镺點(diǎn)的絕對(duì)未來事件,Ⅳ為O點(diǎn)的絕對(duì)過去事件.閔氏空間在討論特殊Lorentz變換(1)式所對(duì)應(yīng)的物理問題是沒有問題的,但是引入虛單位i在幾何上存在一定局限性:1)ict→-ict是時(shí)間反演還是共軛變換;2)時(shí)空間隔的計(jì)算沒有考慮交叉項(xiàng),兩個(gè)坐標(biāo)系只能平行地做直線運(yùn)動(dòng).2mink域空間和洛倫茲變換2.1雙曲minkowski空間19世紀(jì)70年代英國(guó)數(shù)學(xué)家Clifford引入一種新的虛單位j,有性質(zhì):j2=1,j≠±1,j*=-j其中j*為j的復(fù)共軛,j可命名為雙曲虛單位.構(gòu)造雙曲復(fù)數(shù)a=ct+jr取c為光速,t為時(shí)間,r為空間坐標(biāo),H(ct,jr)構(gòu)成二維復(fù)時(shí)空間(如圖2所示).其復(fù)共軛寫作雙曲復(fù)數(shù)的模為根據(jù)模的取值特點(diǎn),將復(fù)空間分成以下幾部分:1)R=0,即|r|=|ct|,構(gòu)成雙曲復(fù)平面的類光區(qū)或零因子區(qū),用表示2)|r|<|ct|,為亞光速區(qū)或類時(shí)區(qū),用Ci(i=1,4,5,8)表示;3)|r|>|ct|,為超光速區(qū)或類空區(qū),用Ci(i=2,3,6,7)表示,此空間命名為雙曲Minkowski空間,它與雙曲復(fù)數(shù)的性質(zhì)具有邏輯上的關(guān)聯(lián).同傳統(tǒng)的Minkowski空間相比,雙曲Minkowski空間有如下特點(diǎn):1)類時(shí)區(qū)的上下光錐由左右光錐所取代,如時(shí)間是正定的,整個(gè)類時(shí)區(qū)均為未來時(shí)的定義區(qū)域.2)將時(shí)間反演與共軛變換分成不同的區(qū)域.例如類時(shí)區(qū)的時(shí)間反演區(qū)為C1→C4,C8→C5;共軛變換區(qū)為C1→C8,C4→C5.且C1與C5,C4與C8互為負(fù)元區(qū).在雙曲Minkowski空間,過去時(shí)的含義已不存在,兩個(gè)區(qū)域時(shí)空點(diǎn)的直和定義為雙曲復(fù)空間的減法.例如在C1中取兩時(shí)空點(diǎn),和(四維表示),它們的時(shí)空間隔為由于從數(shù)學(xué)和幾何角度,C1本身不能定義減法,所以ΔX理解為時(shí)空點(diǎn)X2(C1中)與-X1(C5中)的直和,或X2⊕(-X1).從物理上講,C4或C5時(shí)空點(diǎn)的時(shí)間分量前面的負(fù)號(hào)理解為時(shí)間間隔的減法.即ΔX不是未來事件與過去事件的因果聯(lián)系,而只能是兩個(gè)同類事件(如同是未來事件)的時(shí)空間隔.△t=t2-t1理解為時(shí)間差或時(shí)間間隔,由此從物理角度對(duì)應(yīng)的時(shí)間均是正定的.t→-t既不表示過去,也不能倒流.3)時(shí)空間隔不變量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算由此可以用雙曲Minkowski空間中兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)的幾何聯(lián)系來討論兩物理事件的物理關(guān)聯(lián).例如在類時(shí)區(qū)C1中取時(shí)空點(diǎn),若有時(shí)空點(diǎn)(如圖3)滿足則Δ稱為類時(shí)事件的類時(shí)間隔.發(fā)生在兩時(shí)空點(diǎn)X1和X2的物理事件以亞光速運(yùn)動(dòng),可以取得因果聯(lián)系.若有時(shí)空點(diǎn)滿足則△R稱為類時(shí)事件的類空間隔.發(fā)生在兩時(shí)空點(diǎn)X1和X5的物理事件不可能取得因果聯(lián)系.若有時(shí)空點(diǎn)或滿足或則ΔR稱為類時(shí)事件的類光間隔.兩物理事件的幾何連線平行或垂直于類光區(qū).在這種情況下,同一類時(shí)區(qū)以亞光速運(yùn)動(dòng)的兩物理事件只能用光信號(hào)取得聯(lián)系.從以上分析可以看出,Minlowski空間具有方向奇異性.類時(shí)區(qū)的兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)的時(shí)空差值分別與類光區(qū)或類空區(qū)的某個(gè)時(shí)空點(diǎn)取得了幾何上的關(guān)聯(lián),物理上解釋為不同事件間的幾何聯(lián)系.2.2外來方程的lorenz變換不變性在四維雙曲復(fù)空間,利用Clifford幾何代數(shù)的非交換矢量性質(zhì),可得到Lorentz變換的普遍形式其中為兩慣性系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度,其矩陣形式為稱為變換矩陣.滿足I為單位矩陣.所以時(shí)空間隔不變量可寫成矩陣形式或當(dāng)vx=v,vy=vz=0時(shí),(4)式簡(jiǎn)化成特殊Lorentz變換與(1)式逆變換相對(duì)應(yīng).由此可以看出,(1)式是一種特殊的Lorentz變換,它只能保持某一坐標(biāo)分量滿足相對(duì)性變換,而(4)式可以保持各個(gè)坐標(biāo)分量的Lorentz變換不變性.從復(fù)變函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則出發(fā),可以推導(dǎo)出狹義相對(duì)論的兩條基本原理,并且相對(duì)論效應(yīng),如同時(shí)性的相對(duì)性,時(shí)間膨脹,尺度收縮以及光的Doppler效應(yīng)等在Minkowski復(fù)空間都能得到相應(yīng)的幾何解釋.這里用虛單位i代替j,取復(fù)矢量,也可得到四維Lorentz變換的普遍形式時(shí)空間隔不變量寫成矩陣形式雖然(5)式為L(zhǎng)orentz變換的普遍形式,但只能作為一個(gè)數(shù)學(xué)方法來看待.因?yàn)椴荒軐懗删€性多項(xiàng)式形式,運(yùn)算規(guī)則與雙曲Minkowski空間存在差異,不可能進(jìn)行矢量本身或矢量微分后各分量的交叉運(yùn)算,也不能定義復(fù)矢量的四則運(yùn)算.Minkowski空間的幾何性質(zhì)也就不可能通過復(fù)矢量的運(yùn)算規(guī)則來討論.3結(jié)論總之,Minkowski復(fù)空間引入雙