含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真

含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真

近年來，隨著空間站、地球觀測(cè)、地震勘探等空間任務(wù)的發(fā)展，大規(guī)?？蚣芊烧凵浣Y(jié)構(gòu)已被廣泛使用，如大口徑衛(wèi)星天線的支撐結(jié)構(gòu)、柔性太陽能帆板的支撐結(jié)構(gòu)和其他結(jié)構(gòu)。為了提高信號(hào)傳輸效率,減小運(yùn)輸體積和質(zhì)量,以及滿足折展結(jié)構(gòu)大尺度、大折疊比、輕質(zhì)量的設(shè)計(jì)要求,可折展結(jié)構(gòu)中大量使用了鉸鏈,例如,美國NASA用于航天飛機(jī)對(duì)地進(jìn)行高分辨率觀測(cè)的ADAM支撐臂全部展開長(zhǎng)60m,由87個(gè)桁架單元構(gòu)成,含有696個(gè)鉸鏈。折展結(jié)構(gòu)中鉸鏈的非線性和時(shí)變性、空間環(huán)境以及飛行器本身的不確定因素都將對(duì)折展結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生干擾,引發(fā)結(jié)構(gòu)振動(dòng),因此,鉸鏈對(duì)折展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響不可忽視。國內(nèi)外的學(xué)者圍繞含鉸折展結(jié)構(gòu)開展了相關(guān)研究,內(nèi)容包括:研究不同激勵(lì)下間隙鉸鏈對(duì)系統(tǒng)的影響,得出了間隙對(duì)一維閉環(huán)系統(tǒng)的影響規(guī)律;利用LS-DY-NA3D軟件進(jìn)行鉸鏈的建模和仿真;對(duì)含間隙鉸鏈的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析;對(duì)鉸鏈的物理模型進(jìn)行分析,得出了鉸間相互作用力的關(guān)系,并通過建立有限單元模型得到了桁架結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型;研究圓柱副間隙結(jié)構(gòu)的間隙接觸碰撞模式,對(duì)曲柄結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真;研究碰撞及摩擦力對(duì)可折展結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的影響。由于鉸鏈具有多種非線性特性,各種非線性特性又是相互關(guān)聯(lián)的,因此,建立較完整的鉸鏈非線性模型,并建立包含鉸鏈非線性特性的可折展桁架動(dòng)力學(xué)模型,是非常必要的。本文綜合考慮了間隙、非線性剛度、摩擦及碰撞阻尼等因素,建立了間隙鉸鏈模型,并將此模型引入可展桁架結(jié)構(gòu)中;基于殘余力法和中心差分法,將非線性剛度表達(dá)的恢復(fù)力作為附加力代入動(dòng)力學(xué)方程中,以實(shí)現(xiàn)剛度突變時(shí)多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模和仿真;分析了鉸鏈間隙、摩擦和外部激勵(lì)對(duì)桁架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響;此外,還進(jìn)行了多個(gè)單元伸展臂的動(dòng)力學(xué)試驗(yàn),對(duì)所提出的模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。1鏈間動(dòng)態(tài)建模1.1動(dòng)力系統(tǒng)的非線性力法為了實(shí)現(xiàn)空間可折展桁架結(jié)構(gòu)的順利展開與收攏,保證桿件之間大范圍的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),結(jié)構(gòu)中含有大量鉸鏈。在受到外部激勵(lì)時(shí),鉸鏈間隙導(dǎo)致鉸鏈部件之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),從而產(chǎn)生碰撞和摩擦,鉸鏈拉伸和壓縮方向的不對(duì)稱性導(dǎo)致鉸鏈剛度呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性。文獻(xiàn)[18-20]中提出了鉸鏈力FNL與鉸鏈部件間相對(duì)位移xj之間的4種非線性關(guān)系,如圖1所示,主要表現(xiàn)為:有限間隙產(chǎn)生的自由運(yùn)動(dòng);非線性接觸;拉壓剛度不同引起的雙線性剛度;碰撞和摩擦導(dǎo)致的回滯現(xiàn)象。圖中,e為鉸鏈間隙,k為含有限間隙時(shí)的(線性)接觸剛度,kt和kp分別為鉸鏈雙向剛度特性中受拉和受壓時(shí)的剛度。上述4種非線性特性表現(xiàn)出明顯不同的力與位移的關(guān)系,基于這些關(guān)系,可得到對(duì)應(yīng)不同特性的非線性力表達(dá)式。(1)當(dāng)鉸鏈存在間隙時(shí),表現(xiàn)為自由運(yùn)動(dòng)特性,鉸鏈的非線性力表達(dá)式為(2)由于鉸鏈非線性接觸特性中恢復(fù)力具有奇函數(shù)特性,因此對(duì)恢復(fù)力進(jìn)行2組只包含奇次項(xiàng)的多項(xiàng)式擬合,可用含一次項(xiàng)和三次項(xiàng)的多項(xiàng)式表示非線性力式中:k1為恢復(fù)力中的一次項(xiàng)系數(shù);k3為恢復(fù)力中的三次項(xiàng)系數(shù)?；謴?fù)力中的剛度系數(shù)可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。(3)雙線性剛度特性中的拉壓剛度均為定值,但受拉剛度系數(shù)不等于受壓剛度系數(shù),鉸鏈對(duì)應(yīng)的非線性力分段表達(dá)式為(4)滯回特性中計(jì)入了鉸鏈的黏性阻尼力和摩擦力,非線性力的表達(dá)式為式中:cj為鉸鏈的等效阻尼系數(shù);Ff為摩擦力。1.2新型重拉壓重機(jī)械鏈的非線性動(dòng)力學(xué)方程在含鉸結(jié)構(gòu)受到外部激勵(lì)時(shí),鉸鏈一般會(huì)表現(xiàn)出4種特性相互耦合的現(xiàn)象,因此建立如圖2所示的包含上述4種非線性特性的鉸鏈等效動(dòng)力學(xué)模型,該模型考慮了鉸鏈阻尼cj、非線性剛度kj、摩擦力Ff和間隙e四個(gè)因素。當(dāng)受到外部激振時(shí),含間隙鉸鏈存在自由運(yùn)動(dòng)和接觸2個(gè)狀態(tài),因此,動(dòng)力學(xué)方程需用分段函數(shù)表達(dá)。由于鉸鏈在自由運(yùn)動(dòng)階段慣性力與外部激勵(lì)相平衡,在拉壓階段除了鉸鏈的慣性力,還受到非線性接觸力、黏性阻尼力和摩擦力的作用,又因?yàn)殂q鏈?zhǔn)芾褪軌悍较虻慕佑|剛度不同,表達(dá)非線性接觸力的多項(xiàng)式系數(shù)不同,因此,考慮間隙、阻尼力、摩擦力和非線性恢復(fù)力時(shí),鉸鏈的非線性動(dòng)力學(xué)方程為式中:m為運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量;F為外部激振力;kt1為鉸鏈?zhǔn)芾瓡r(shí)恢復(fù)力中的一次項(xiàng)系數(shù);kt3為鉸鏈?zhǔn)芾瓡r(shí)恢復(fù)力中的三次項(xiàng)系數(shù);kp1為鉸鏈?zhǔn)軌簳r(shí)恢復(fù)力中的一次項(xiàng)系數(shù);kp3為鉸鏈?zhǔn)軌簳r(shí)恢復(fù)力中的三次項(xiàng)系數(shù)。鉸鏈動(dòng)力學(xué)方程(5)綜合考慮了鉸鏈的4種非線性特性,通過設(shè)置不同的鉸鏈非線性特性參數(shù)即可以滿足不同結(jié)構(gòu)中鉸鏈的非線性特點(diǎn)。方程(5)給出的非線性恢復(fù)力,即非線性接觸力,又可以表示為鉸鏈等效非線性剛度kj與位移的乘積,kj可表示為2非線性動(dòng)態(tài)建模是基于支撐結(jié)構(gòu)的2.1含鉸單桿動(dòng)力學(xué)建模在典型平面可折展結(jié)構(gòu)和伸展臂中,如圖3和圖4所示,桿件間通過鉸鏈連接,一根桿件在兩端分別連接有2個(gè)鉸鏈,因此在建立含鉸可展桁架非線性動(dòng)力學(xué)模型之前,首先將含有2個(gè)鉸鏈的單桿作為一個(gè)基本單元,建立含鉸桿單元的非線性動(dòng)力學(xué)模型。含鉸單桿中鉸鏈與桿件串聯(lián),其對(duì)應(yīng)的等效動(dòng)力學(xué)模型如圖5所示。根據(jù)含鉸單桿軸向力處處相等,以及軸向力與軸向變形的關(guān)系,可得式中:kg為桿的剛度;xg為桿的變形量;kL為含鉸桿的剛度;xL為含鉸桿端部的總位移量。方程組(7)中考慮了鉸鏈間隙對(duì)結(jié)構(gòu)的影響,鉸鏈接觸力為kj(xj±e),當(dāng)xj>0時(shí)取負(fù)號(hào),當(dāng)xj<0時(shí)取正號(hào)。由式(7)可得到含鉸單桿的等效剛度因此,含鉸桿單元的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為對(duì)含鉸桿的剛度進(jìn)行桿件剛度分離,式(9)可改寫為式(10)中含鉸單桿的非線性力分離出桿件的線性剛度項(xiàng)后,得到的殘余項(xiàng)作為鉸鏈引入的附加力。附加力的表達(dá)式為則式(10)又可以表示為將式(8)代入式(11),鉸鏈的附加力可表示為2.2含鉸單桿中心位移在含鉸單桿動(dòng)力學(xué)方程(12)中,附加力為鉸鏈位移和速率的函數(shù),使動(dòng)力學(xué)方程很難得到解析解,因此需要通過數(shù)值方法求解。由于動(dòng)力學(xué)方程中存在速度和加速度的函數(shù)項(xiàng),為了簡(jiǎn)化求解,利用中心差分法將速度和加速度用位移來表示,鉸鏈速度可以表示為式中:(t-)表示t-Δt時(shí)刻;(t+)表示t+Δt時(shí)刻。為了得到鉸鏈和桿的瞬時(shí)位移,將式(14)代入式(7),可得求解式(15)可以得到含鉸單桿中鉸鏈的位移式中C1、C2為三次方程解的系數(shù),(C1,C2)分別為(1,1)、。設(shè),當(dāng)Δ>0時(shí),有1個(gè)實(shí)根和2個(gè)復(fù)根;當(dāng)Δ=0時(shí),有3個(gè)實(shí)根;當(dāng)Δ<0時(shí),有3個(gè)不等的實(shí)根。運(yùn)用中心差分法分別將速度、加速度表示為式中:Xt為各節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的位移向量,Xt=[xt1xt2…xtn]T;為各節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的速度向量,為各節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的加速度向量,將桁架中各個(gè)含鉸桿單元的動(dòng)力學(xué)方程以中心差分的形式表達(dá),然后按照有限元法將各個(gè)含鉸桿單元進(jìn)行裝配,從而可得到含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程式中:M為無鉸桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣;K為無鉸桁架結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;C為無鉸桁架結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣;Ft為t時(shí)刻的外部激振力向量;Fa(Xt)為附加力向量分量f的腳標(biāo)中第一項(xiàng)為自由度編號(hào),第二項(xiàng)為單元編號(hào),對(duì)于任意分量fnm,當(dāng)?shù)趍個(gè)單元不包含與第n個(gè)自由度相關(guān)的節(jié)點(diǎn)時(shí),fnm=0。3鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)對(duì)可伸張架的動(dòng)態(tài)特性的影響3.1可滲透層動(dòng)力學(xué)分析3.1.1含鉸結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模以圖6所示的兩端簡(jiǎn)支平面桁架為例,對(duì)節(jié)點(diǎn)5進(jìn)行y方向加載,為了分析單個(gè)因素對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響,平面可展桁架分析中只考慮鉸鏈的自由振動(dòng)特性,不考慮摩擦力。平面桁架的基本參數(shù)如下:彈性模量E=2.1×1011Pa,材料密度ρ=7.3×103kg/m3,桿件橫截面面積A=10mm2,桁架高度H=1m,桁架水平單元長(zhǎng)度L=1m。根據(jù)本文提出的含鉸結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法,建立平面桁架的動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)平面桁架節(jié)點(diǎn)5在0.01ms時(shí)施加50kN方向向下的沖擊力,得到節(jié)點(diǎn)5在y方向上的響應(yīng)曲線,如圖7所示。圖7a為無阻尼時(shí)間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響,可見間隙使振動(dòng)位移的幅值和周期增大,鉸鏈降低了桁架的剛度。圖7b為考慮比例阻尼情況下桁架的響應(yīng),當(dāng)e=0時(shí),由于結(jié)構(gòu)阻尼的作用,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)最終衰減到0;當(dāng)e≠0時(shí),間隙導(dǎo)致的自由運(yùn)動(dòng)使結(jié)構(gòu)位移很難衰減到0,而是保持在一定的位移值。3.1.2幅值和力頻率下的振動(dòng)特性對(duì)于圖6所示的平面桁架,設(shè)e=1mm,在0～0.01s內(nèi)對(duì)平面桁架節(jié)點(diǎn)5進(jìn)行y方向激振,得到不同力幅值和力頻率下節(jié)點(diǎn)5在y方向的位移-時(shí)間曲線,如圖8所示。激振力的幅值使振動(dòng)進(jìn)入了不同剛度的區(qū)域,結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著初始激振力和激振頻率的增大而變大。由于鉸鏈剛度值的分段特性與硬彈簧的剛度特性相似,即隨著位移的增大剛度增大,因此含鉸結(jié)構(gòu)的固有頻率隨著激振力幅值的增大而增大的特性與硬彈簧的特性也應(yīng)該是一致的。4固有頻率仿真為了驗(yàn)證本文提出的含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法,對(duì)一個(gè)7單元桁架伸展臂進(jìn)行了強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)。在第2單元與第3單元的交界處進(jìn)行正弦激振,激振頻率為2Hz,激振力幅值分別為15N和40N,利用2個(gè)加速度傳感器進(jìn)行端部加速度采集。試驗(yàn)獲得的前2階固有頻率如圖13所示,可以看到在激振力由小到大變化時(shí),一階固有頻率由18.31Hz降低到18.07Hz,二階固有頻率由26.64Hz降低到26.33Hz,這主要是由于鉸鏈存在的摩擦間隙等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率出現(xiàn)了非線性特性。利用本文提出的動(dòng)力學(xué)模型和附加力分析方法,對(duì)試驗(yàn)所用的7單元桁架進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真。假設(shè)鉸鏈中摩擦力為1N,間隙為0.05mm,激振頻率為2Hz,對(duì)端部節(jié)點(diǎn)的z向位移進(jìn)行快速傅里葉變換,結(jié)果如圖14所示,當(dāng)激振力幅值由15N提高到40N時(shí),一階固有頻率由23.65Hz降低到22.13Hz,二階固有頻率由30.52Hz降低到29.37Hz,頻率變化幅值的大小和趨勢(shì)與試驗(yàn)結(jié)果相近,驗(yàn)證了本文含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的正確性。5中心差分法的數(shù)值分析(1)本文考慮鉸鏈的非線性剛度、阻尼和摩擦力,將鉸鏈的線性和非線性項(xiàng)進(jìn)行分離,建立了較完整的鉸鏈非線性動(dòng)力學(xué)模型,并將該模型引入到空間可展桁架中,建立了含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。(2)基于中心差分法,提出了求解非線性系統(tǒng)的附加力方法,實(shí)現(xiàn)了非線性多自由度系統(tǒng)的數(shù)值分析,得到了不同條件下多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。分析了鉸鏈間隙、摩擦力以及外部激振力對(duì)桁架位移和固有頻率的影響,發(fā)現(xiàn)隨著鉸鏈間隙和外部激振力的增大,結(jié)構(gòu)的固有頻率降低,響應(yīng)幅值增大,而摩擦力的增大使其固有頻率提高,說明鉸鏈對(duì)桁架的非線性動(dòng)力學(xué)影響是不可忽視的。(3)進(jìn)行了多自由度可展桁架的振動(dòng)試驗(yàn),通過改變激振力幅值,得到了含間隙可展桁架的固有頻率隨著激振力幅值的增大而減小的結(jié)果。仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)相同,驗(yàn)證了本文提出的含鉸可展桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型的正確性。3.2空間中包含的傾斜結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)分析3.2.1成對(duì)拉拔結(jié)構(gòu)的影響以圖9所示一維伸展臂為例,伸展臂參數(shù)如下:彈性模量E=7×1010Pa;材料密度ρ=2.7×103kg/m3;桿件截面面積A=47.12mm2;索截面面積A1=1.77mm2;伸展臂高度H=373.75mm;伸展臂寬度W=373.75mm;伸展臂單元長(zhǎng)度L=364.75mm。桁架左端固定為懸臂支撐,通過改變結(jié)構(gòu)中所有鉸鏈間隙值的大小,分析鉸鏈間隙對(duì)伸展臂動(dòng)力學(xué)特性的影響。對(duì)結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)44進(jìn)行z方向正弦激勵(lì),幅值為800N,頻率為20Hz,不考慮摩擦力,計(jì)算不同鉸鏈間隙對(duì)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的影響,并給出節(jié)點(diǎn)39和40在z方向的位移響應(yīng)曲線,如圖10所示。由圖中可以看出,當(dāng)結(jié)構(gòu)所有鉸鏈間隙由0增大到2mm時(shí),結(jié)構(gòu)的響應(yīng)幅值增大了36mm,表明隨著鉸鏈間隙的增大,桁架的位移幅值相應(yīng)增大。3.2.2激振力的影響設(shè)桁架結(jié)構(gòu)中鉸鏈的間隙為0.01mm,摩擦力為1N,對(duì)結(jié)構(gòu)端部進(jìn)行正弦激勵(lì),激振力為Fcos(2πft),激振頻率f=20Hz。隨著激振力幅值F的變化,得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng);對(duì)節(jié)點(diǎn)40在z方向的位移進(jìn)行傅里葉變換,得到對(duì)應(yīng)的幅頻曲線,如圖11所示。由于桁架結(jié)構(gòu)中存在摩擦力,使結(jié)構(gòu)部件產(chǎn)生靜摩擦或滑動(dòng)摩擦,阻礙部件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng),其作用與間隙的作用相反。因此,在不同激振力的作用下,空間