2023屆江蘇省泰州等四市高三下學(xué)期四模數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁(yè)
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2023屆江蘇省泰州等四市高三下學(xué)期四模數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時(shí),則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.3.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則()A.或 B.或C.或 D.或4.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知集合的所有三個(gè)元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.7.已知過點(diǎn)且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.38.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過15萬元將該設(shè)備報(bào)廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年9.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),過的直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.10.已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.12.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好D.總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,,且,則的最小值為___________.14.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________15.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積是_____;最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是_____.16.已知,橢圓的方程為,雙曲線方程為,與的離心率之積為,則的漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.19.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.20.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為且,求的值.21.(12分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于點(diǎn),曲線與曲線交于點(diǎn),求的面積.22.(10分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動(dòng)了我國(guó)經(jīng)濟(jì)的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計(jì),在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機(jī)出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)乘坐高鐵乘坐飛機(jī)10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個(gè),求這個(gè)出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機(jī)選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機(jī)?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn),可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因?yàn)?,則,而,所以.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.3、C【解析】

簡(jiǎn)單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計(jì)算,結(jié)合對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí),,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.4、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.5、B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個(gè)元素子集的個(gè)數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個(gè)元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個(gè);最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計(jì)數(shù)原理,分類討論,分別求解.6、D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍遥远x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選D.7、C【解析】

設(shè)切點(diǎn)為,則,由于直線經(jīng)過點(diǎn),可得切線的斜率,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率,建立關(guān)于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點(diǎn),則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計(jì)第年維修費(fèi)用超過15萬元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

作出圖象,取AB中點(diǎn)E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進(jìn)而得到e的值【詳解】解:取AB中點(diǎn)E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對(duì)于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個(gè)量的方程,有時(shí)還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對(duì)方程進(jìn)行整理,從而求出離心率.10、C【解析】

將圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心為.因?yàn)殡p曲線,所以其漸近線方程為,又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱,則圓心在漸近線上,所以.所以.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱性,還有雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.12、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由,先將變形為,運(yùn)用基本不等式可得最小值,再求的最小值,運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解:因?yàn)?,,,且,所以因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以所以則所求最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,注意變形和滿足的條件:一正二定三相等,考查利用單調(diào)性求最值,考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力,屬于中檔題.14、0.35【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個(gè)對(duì)立事件的概率,抽到的不是一等品的對(duì)立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了求互斥事件與對(duì)立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由三視圖還原原幾何體,該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,由棱錐體積公式求棱錐體積,由勾股定理求最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度.【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示:該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,則該幾何體的體積為,,,因此,該棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長(zhǎng),關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,是中檔題.16、【解析】

求出橢圓與雙曲線的離心率,根據(jù)離心率之積的關(guān)系,然后推出關(guān)系,即可求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】,橢圓的方程為,的離心率為:,雙曲線方程為,的離心率:,與的離心率之積為,,,的漸近線方程為:,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),掌握橢圓、雙曲線的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)28種;(2)分布見解析,.【解析】

(1)分這名女教師分別來自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3.,,,.故X的概率分布為:X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差,相對(duì)不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由可得到,代入,結(jié)合正弦定理可得到,再利用余弦定理可求出的值,即可求出角;(Ⅱ)由,并結(jié)合正弦定理可得到,利用,,可得到,進(jìn)而可求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解:(Ⅰ)由可知,∴.由正弦定理得.由余弦定理得,∴.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴,.的周長(zhǎng)為.∵,∴,∴,∴的周長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運(yùn)用,考查了三角形的面積公式,考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)答案見解析.(2)答案見解析【解析】

(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

(1)由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,可得,根據(jù)題意,得到,解得,得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得的值,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值.【詳解】(1)由題意,根據(jù)正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因?yàn)?,則,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1).(2)【解析】

(1)根據(jù)題意代入公式化簡(jiǎn)即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過極坐標(biāo)的幾何意義求解,再求點(diǎn)到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1

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