2023-2024學(xué)年河北深州市長江中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年河北深州市長江中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.2．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.83．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.5．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.6．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定7．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.8．是等差數(shù)列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.1019．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③10．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離11．?dāng)?shù)列滿足，且，是函數(shù)的極值點，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.512．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.14．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.15．命題“，”的否定是____________.16．已知函數(shù)f(x)=x3－3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數(shù)列的前項和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實數(shù)a的取值范圍；若命題q為假時，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.20．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足：且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記為數(shù)列的前n項和，求證是等差數(shù)列21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達(dá)20%以上.2021年，某集團(tuán)以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據(jù)專家預(yù)測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團(tuán)能否通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利？（實現(xiàn)盈利即銷售利潤超過總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性.（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當(dāng)為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當(dāng)為鈍角時，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當(dāng)時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.2、D【解析】由等比中項轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項公式即得解【詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D3、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.4、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列各項，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項為正數(shù)，BD中求出第一項均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C5、C【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：因為拋物線方程為，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點到準(zhǔn)線的距離為；故選：C6、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點睛：集合的交集即為由兩個集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.7、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標(biāo)原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.8、C【解析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數(shù)列的第100項【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個數(shù)列的第100項故選：C9、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.10、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.11、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】由，得，因為，是函數(shù)的極值點，所以，是方程兩個實根，所以，因為數(shù)列滿足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故選：C12、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因為直線與垂直，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故答案為：.14、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：15、，【解析】根據(jù)全稱命題量詞的否定即可得出結(jié)果.【詳解】命題“”的否定是“，”故答案為：16、2【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)的極大值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)計算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.小問1詳解】由，當(dāng)時，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數(shù)列等差數(shù)列，所以.18、（1）p為真時或，q為假時；（2）{或}.【解析】（1）p為真應(yīng)用判別式求參數(shù)范圍；q為真，根據(jù)恒成立求參數(shù)范圍，再判斷q為假對應(yīng)的參數(shù)范圍.（2）由題設(shè)易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結(jié)合（1）的結(jié)果求a的取值范圍【小問1詳解】若p真，則有實數(shù)根，∴，解得或若q為真，則，即故q為假時，實數(shù)a的取值范圍為【小問2詳解】∵命題真命題，命題為假命題，∴p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，，可得當(dāng)p假q真時，，可得綜上，實數(shù)a取值范圍為或.19、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時，知與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，知與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在，即時，與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在，即時，與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，即，圓心到直線距離，，解得：或，直線的方程為或.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)等比中項的應(yīng)用可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和求出公差，進(jìn)而得出通項公式；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式可得，結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為()，由成等比數(shù)列，得，又，所以，解得，所以；【小問2詳解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列.21、（1）億元（2）該集團(tuán)能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設(shè)第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構(gòu)成首項為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設(shè)第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構(gòu)成首項為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所以，記第n年的銷售利潤為，則萬元；即第n年的銷售利潤為億元【小問2詳解】到2027年年底，設(shè)銷售利潤總和為S億元，則①，②，①﹣②得億元，而總投資為億元，因為，則到2027年年底，該集團(tuán)能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利22、（1）在R上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析