2023-2024學年湖北省天門市三校高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2023-2024學年湖北省天門市三校高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數，則（）A. B.C.0 D.12．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.3．若“”是“”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為A. B.或C. D.4．若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個5．直線的傾斜角為（）A B.C. D.6．若圓與圓相切，則實數a的值為（）A.或0 B.0C. D.或7．對于函數，下列說法正確的是（）A.的單調減區(qū)間為B.設，若對，使得成立，則C.當時，D.若方程有4個不等的實根，則8．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.9．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結論中，正確結論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④10．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-211．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則______14．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅總結表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴宣告，在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅取得了全面勝利.在脫貧攻堅過程中，為了解某地農村經濟情況，工作人員對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下列結論中所存確結論的序號是____________①該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%；②該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%；③估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是圓上一個動點，且線段的中點在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________16．如圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A，B，C，D是展開圖上的四點，BD則在正方體盒子中，AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列是遞增的等比數列，滿足，（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前n項和18．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為，且，，成等比數列(1)求的通項公式(2)求數列的前n項和19．（12分）如圖，在長方體中，，點E在棱上運動（1）證明：；（2）當E為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時，二面角的大小為？20．（12分）已知數列和中，，且，.（1）寫出，，，，猜想數列和的通項公式并證明；（2）若對于任意都有，求的取值范圍.21．（12分）已知首項為1的數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前n項和.22．（10分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構造函數，再用積的求導法則求導計算得解.【詳解】令，則，求導得：，所以.故選：A2、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.3、D【解析】“”是“”的充分不必要條件，結合集合的包含關系，即可求出的取值范圍.【詳解】∵“”是“”的充分不必要條件∴或∴故選：D.【點睛】本題考查充分必要條件，根據充要條件求解參數的范圍時，可把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合間的關系，由此得到不等式（組）后再求范圍.解題時要注意，在利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.4、C【解析】由條件，可得，利用不等式的性質和基本不等式可判斷①、②、③、④中不等式的正誤，得出答案.【詳解】因為，所以.因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得、均為正數，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.5、C【解析】設直線傾斜角為，則，再結合直線的斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C6、D【解析】根據給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點不可能在圓內，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實數a的值為或.故選：D7、B【解析】函數，，，,，利用導數研究函數的單調性以及極值，畫出圖象A.結合圖象可判斷出正誤；B.設函數的值域為，函數，的值域為．若對，，使得成立，可得．分別求出，，即可判斷出正誤C.由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，由此即可判斷出正誤；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，由圖象即可判斷出正誤；【詳解】函數，，，，可得函數在上單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增,當時，，由此作出函數的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結合圖象，可得A不正確B.設函數的值域為，函數，的值域為，對，，．，，由，若對，，使得成立，則，所以，因此B正確C．由函數在單調遞減，可得函數在單調遞增，因此當時，，即，因此C不正確；D.方程有4個不等的實根，則，且時，有2個不等的實根，結合圖象可知，因此D不正確故選：B8、C【解析】設直線l傾斜角為，根據題意得到，即可求解.【詳解】設直線l的傾斜角為，因為直線的斜率是，可得，又因為，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.9、C【解析】根據平面展開圖可得原正方體，根據各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【點睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應關系，本題屬于容易題.10、B【解析】根據拋物線和橢圓焦點與其各自標準方程的關系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.11、B【解析】根據雙曲線的幾何性質和平行四邊形的性質可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進而轉化為，的不等式，結合可得離心率的取值范圍【詳解】解：因為經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因為，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故選：B12、D【解析】由于BF⊥x軸，故，設，由得，選D.考點：橢圓的簡單性質二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##25【解析】根據正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結果.【詳解】，，又，，.故答案為：.14、①②④【解析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項①，②，④，利用平均值的計算方法，即可判斷選項③【詳解】解：對于①，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率為，故選項①正確；對于②，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率為，故選項②正確；對于③，估計該地農戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項③錯誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于45萬元至8.5萬元之間，故選項④正確故答案為：①②④15、【解析】設，，因為點是線段中點，所以有，代入坐標求出點的軌跡為圓，因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，利用點到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數形結合求出有公共點時漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設，，因為點是線段的中點，所以有，即有，因為點在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，當兩條漸近線與圓恰好相切時為臨界點，則：圓心到漸近線的距離為，因為，所以，即，且，所以，此時，，當時，漸近線與圓有公共點，.故答案為：.16、##【解析】先復原正方體，再構造線面角后可求正弦值.【詳解】復原后的正方體如圖所示，設所在面的正方形的余下的一個頂點為，連接，則平面，故為AD與平面ABC所成角，而，故為AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由等比數列的通項公式計算基本量從而得出的通項公式；（2）由(1)可得，再由裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設等比數列的公比為q，所以有，，聯立兩式解得或又因為數列是遞增的等比數列，所以，所以數列的通項公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴18、（1）；（2）【解析】（1）根據等差數列的通項公式，分別表示出與，由等比中項定義即可求得首項，進而求得的通項公式（2）根據等差數列的首項與公差，求出的前n項和，進而可知，再用裂項法可求得【詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【點睛】本題考查了等差數列通項公式的應用，等比中項的定義，裂項法求數列前n項和的簡單應用，屬于基礎題19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質有、，再根據線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長方體的性質及勾股定理構造方程求即可.【小問1詳解】由題設，連接、，又長方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長方體性質知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時，二面角的大小為.20、（1），，，證明見解析（2）【解析】（1）已知兩式相加化簡可得是首項為2，公比為2的等比數列，則，兩式相減化簡可得是首項為2，公差為2的等差數列，則，（2）由題意可得只需要，令，由和解不等式可求出的最小值，從而可求得的取值范圍【小問1詳解】由已知得，猜想，，由題得，所以易知，即所以是首項為2，公比為2的等比數列，故，由題得，所以，即，所以是首項為2，公差為2的等差數列，所以.【小問2詳解】因為任意都有，即，只需要，記，易知，故，當時，，解得或，當時，，解得，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）由，構造是以為首項，為公比等比數列，利用等比數列的通項公式可得結果；（2）由（1）得，利用裂項相消可求.【小問1詳解】由，得，又，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，則