2023-2024學(xué)年福建省羅源縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省羅源縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或2．在試驗(yàn)“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機(jī)事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機(jī)事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機(jī)事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機(jī)事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對(duì)立事件 D.B與D是對(duì)立事件3．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．過(guò)兩點(diǎn)、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.5．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．根據(jù)安排，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)“相似橢圓”（離心率相同的兩個(gè)橢圓我們稱(chēng)為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.28．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e10．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.11．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.12．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.14．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______15．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P在C的右支上，則的最小值是______16．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實(shí)數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍18．（12分）已知圓與（1）過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)19．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.20．（12分）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長(zhǎng)為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，求m的取值范圍21．（12分）一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無(wú)暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過(guò)小島中心東北方向處補(bǔ)水，求的最小值.22．（10分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交曲線C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為，解得或.故選：C.2、C【解析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)锳與C，B與C可能同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)A、B不正確；B與D不可能同時(shí)發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)D不正確；A與D不可能同時(shí)發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項(xiàng)C正確故選：C.3、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的性質(zhì)：在拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長(zhǎng)，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.4、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.5、C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因?yàn)閮?nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線的方程為，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.6、A【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得，最后計(jì)算，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時(shí)，取最小值為-10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，難點(diǎn)在于三點(diǎn)共線，審清題干，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得，所以.故選：B8、B【解析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來(lái)確定點(diǎn)在圓上，然后求出過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，解得.故選：B.9、D【解析】求導(dǎo)，由得出.【詳解】，故選：D10、B【解析】求出函數(shù)的定義域，解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可?因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.11、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出等邊的邊長(zhǎng)，畫(huà)出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點(diǎn)M為的重心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在平面上的射影為時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，，點(diǎn)M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運(yùn)算能力，屬于中檔題.14、【解析】根據(jù)題干求得圓的圓心及半徑，再利用圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上確定圓的圓心及半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為由圓心在直線上，可設(shè)因?yàn)榕c軸相切，與圓外切，于是圓的半徑為，從而，解得因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．兩圓相切注意討論內(nèi)切外切兩種情況.15、【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設(shè)，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.16、3【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進(jìn)而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、或【解析】先假設(shè)命題、為真，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實(shí)數(shù)的取值范圍或其補(bǔ)集，最終確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當(dāng)p真q假時(shí)，∴；②當(dāng)p假q真時(shí)，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.18、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯(lián)立兩圓方程可得公共弦方程，進(jìn)而可得弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立兩圓方程得：，消去二次項(xiàng)得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.19、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離為解得此時(shí)，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.20、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點(diǎn)在雙曲線上及得到關(guān)于、、的方程組，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，利用A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上得到，再利用向量的數(shù)量積為0得到、的關(guān)系，進(jìn)而消去得到的不等式進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長(zhǎng)為，所以點(diǎn)在雙曲線上，由題意，得，解得，，，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以且，即且，設(shè)，，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，所以，即，因?yàn)?，，所以，即，將代入，得，解得或，即m的取值范圍為或.21、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得；（2）先求補(bǔ)水點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線過(guò)該點(diǎn)，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，以小島中