數(shù)列型不等式的證明

.\數(shù)列型不等式證明的常用方法一．放縮法數(shù)列型不等式證明是前見年高考中的一個熱點，在多省試題中常常作為壓軸題出現(xiàn)。放縮法是數(shù)列不等式證明的謝謝閱讀一個重要方法，它具有很強(qiáng)的技巧性的特點，學(xué)生往往無從謝謝閱讀下手，下面總結(jié)放縮法證明的一些常用技巧，例如歸一技巧、精品文檔放心下載抓大放小技巧、回頭追溯技巧、利用函數(shù)性質(zhì)技巧，僅供參感謝閱讀考.歸一技巧歸一技巧，指的是將不容易求和的和式中的所有項或若干項全部轉(zhuǎn)化為同一項，或是將和式的通項中的一部分轉(zhuǎn)化為同一個式子（或數(shù)值），既達(dá)到放縮的目的，使新的和式容易求和.歸一技巧有整體歸一、分段歸一。精品文檔放心下載例如設(shè)是正整數(shù)，求證11111．n2n1n22n【證明】11L111111.n1n22n2n2n2n2n214444244443n個12n11111另外：1L1nnnn1.n1n22n144424443n個1n11【說明】在這個證明中，第一次我們把n1、n2、感謝閱讀.\112n這些含n的式子都“歸一”為2n，此時式子同時變小，感謝閱讀11L11順利把不易求和的n1n22n變成了n個2n的和，既將式子縮小，同時也使縮小后的式子非常容易求和，這就是“歸一”所達(dá)到的效果。而不等式右邊的證明也類似.精品文檔放心下載1.1整體歸一放縮法中，如果通過將所有項轉(zhuǎn)化為同一項而達(dá)到放縮目的的，稱之為“整體歸一”.精品文檔放心下載例1.數(shù)列的各項均為正數(shù)，S為其前n項和，對于任ann意nN*，總有a,S,a2成等差數(shù)列.nnn(Ⅰ)求數(shù)列a的通項公式；n(Ⅱ)設(shè)數(shù)列b的前n項和為T，且blnnx，求證:對nnna2任意實數(shù)x1,e（n是常數(shù)，e＝2.71828）和任意正e整數(shù)n，總有Tn2；（Ⅰ）解：由已知：對于nN*，總有2Saa2①成立nnn∴2Saa2（n≥2）②n1n1n1①--②得2aaa2aa2∴aanananan1an1nn1nn1nn1∵a,a均為正數(shù)，∴aa1（n≥2）nn1nn1∴數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列.\又n=1時，2S1a1a12，解得a1=1謝謝閱讀ann.(nN*)（Ⅱ）證明：∵對任意實數(shù)x1,e和任意正整數(shù)n，總有感謝閱讀blnnx≤1.（放縮通項，整體歸一）a2n2nnT1111111∴n1222n21223n1n（放縮通項，裂項求和）1111111212223n1nn例2.已知數(shù)列aa，a是關(guān)于x的方程n中的相鄰兩項2k12kx2(3k2k)x3k2k0的兩個根，且a≤a(k1，2，3，L)．2k12k，a，a（I）求a，a7；123（II）求數(shù)列a的前2n項和S2n；n1sinn（Ⅲ）記f(n)3，2sinnT(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)(1)f(n1)…，naaaaaaaa1234562n12n求證：1≤T≤5(nN*)6n24.\【分析】（1）略.a2；a4；a8時；a12．13573n23n2．（II）略.S2n12n2（III）本題應(yīng)注意到以下三點，f(n){1,2}，且f(n)具有周期性.f(n){1,2}，這就有(1)f(n){1,1}，f(n)雖有周期性，可周期為2.謝謝閱讀(1)f(n1)這就使當(dāng)n很大時，和式通項aa的符號增加了不確定2n12n性.②很顯然，當(dāng)n4時，a3n，a2n；當(dāng)2n12n3時，a2n12n，a2n3n.縱然沒有符號的問題，通謝謝閱讀1項3n2n如何求和？也需要解決.③T11，T115，本題相當(dāng)于證1aa62aaaa24121234明T≤T≤T(nN*)．1 n 2基于以上三點，我們可以看到：T≤T等價于從第二精品文檔放心下載1 n項開始的項之和為非負(fù)數(shù)，可否考慮將第三項開始的項縮小，此時可以做兩方面的“歸一”，一是符號“歸一”，二是分母的部分“歸一”，兩者都是要達(dá)到容易求和的目的.謝謝閱讀【解答】當(dāng)n≥3時，T111L(1)f(n1)，n6aaaaaa3 4 5 6 2n1 2n.\≥111L1a從第三項起“歸6aaaaa34562n12n一”為負(fù)=11(111)64623934243n2n=111(111)6466322423n2n1111111L(3,4,5,…,n“歸6622623242n一”為2)11662n16，至于不等式右邊原理一樣：T511L(1)f(n1)an24aaaaa56782n12n≤5111La(從第四項起“歸一”24aaaaa2n56782n1為正5111L124923342435253n2n511119L(4,5,…,n“歸一”為24923242n3).\512492n524．又T111aa612

，T2115aaaa24，原結(jié)論成立12341.2分段歸一放縮法中，如果我們把和式分為若干段，每一段中的各個項都轉(zhuǎn)化為同一項而達(dá)到放縮并容易求和的目的的，稱感謝閱讀之為“分段歸一”.例3已知數(shù)列{a}和滿足nna2,a1a(a1)，ba1，數(shù)列的前n和為1nnn1nnnSn.（1）求數(shù)列的通項公式；n（2）求證：對任意的nN有1nS1n成立．22n2分析：（1）略.b1．n n（2）此問可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以用“分段歸一”精品文檔放心下載的放縮法解答.【解答】左邊證明.\S11112n232n11(11)(1111)(11)(11)23456789162n112n11(11)(1111)(11)(11)2448888162n2n164243142438個12n1個1162n112121212謝謝閱讀144424443n個12=1+n211111這里我們以2，22，23，24，……，2n為界，將和式111分為段，每段11……n2i11232n2i1211（i1,2,3,,n），每段中的數(shù)對縮小歸一為2i，這就2i1使每一段的數(shù)縮小后和為2，從而得證.至于不等號右邊，原理類似：S11112n232n.\1(11)(1111)(111)(111)123456789152n12n112n12n1111111111)(1111()()()()22444488162n12n12n142431642431442443112n1個18個16個8162n11111111444244432nn個1n12nn12【說明】本題我們需要關(guān)注到不等號兩邊的性質(zhì)：一方1+n111面，222，接著我們把不等式中間的和式除114243n個12外的部分拆分成n段，每段都不小于1；另一方面，2111n1112142432，接著我們把不等式中間的和式除2nn個1外的部分拆分成n段，每段都不大于1；在歸一放縮時，我們需要注意到題設(shè)的條件和式子的性質(zhì)，它是我們考慮如何歸一、往哪個地方歸一的關(guān)鍵..\2抓大放小在將和式通項中，我們保留式子主要的、數(shù)值較大的部分，去掉次要的、數(shù)值相對較小的部分，以便達(dá)到放縮和容感謝閱讀易求和的目的，這種放縮技巧，我們稱之為“抓大放小”技感謝閱讀巧.例如求證:123n2212222332nn通項放縮為nn，求和即證。2nn2n2.1直接抓大放小例4設(shè)數(shù)列an項和為S，對任意的正整數(shù)n，都n的前n有a5S1成立，記b4a(nN).1an*nnn（I）求數(shù)列b的通項公式；nnc的前n（II）記cbb(nN*)，設(shè)數(shù)列項和為n2n2n1nT，求證：對任意正整數(shù)n都有T3.nn2【解答】（Ⅰ）略.b4n1(1)nn4n(1)n（Ⅱ）由（Ⅰ）知b45(4)n1ncbb552542nn2n2n142n142n11(42n1)(42n4).\2542n2542n2544n342n444n16n（分母直接抓大放?。゜3,b13,c4又12313當(dāng)n1時，T312當(dāng)n2時，T425(11K1)n316216316n41[1(1)n1]251621631116142693251613116482【說明】這里的分母44n342n4阻礙了式子的求和，式子44n342n4中，最大的是44n，他起到了決定整個這個式子數(shù)值大小的作用，342n4相比它來說小很多，由此，我們能把44n留在，去掉342n4，這里既能起到放大式子的要求，也能使通項轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，使和式容精品文檔放心下載易求和.就象整棵大樹，我們留下了主干，把枝梢末節(jié)的地方去掉了。謝謝閱讀.\2.2拆大抵小“拆”大“抵”小指的是通項中有一兩個數(shù)值在放縮時無法直接消去，只能從主要的數(shù)值中拆出一部分出來與之相謝謝閱讀抵，達(dá)到放縮的效果.例5設(shè)數(shù)列a的前n項和為S，滿足2San1,nN，且a，an成等差數(shù)列.nnn13，a123（1）求a，a，a的值；123（2）求數(shù)列a的通項公式；n1113（3）證明：對一切正整數(shù)n，有aaLa2.12n分析（1）略.a1，a=4，a=131231（2）略.an2(3n1)12（3）由（2）知a3n1n2如果將通項{3n1}分母中的1消去，通項將轉(zhuǎn)化為等精品文檔放心下載2比數(shù)列{3n}，可這個轉(zhuǎn)化是一個縮小的放縮，與和式放大矛盾，因而不能直接去掉1.精品文檔放心下載我們可以從通項{321}分母中的3n中拆出一部分出謝謝閱讀n來與1相抵，為了達(dá)到放大的目的，拆出來的部分必須比1大.感謝閱讀【解答】.\12221（3）由a3n123n13n1123n13n1，n（拆大抵?。?1L1111故有：aaa33n112n1131331n223n1213【說明】抓大放小的技巧在于留住式子中主要的部分，既保留了式子的數(shù)值，也達(dá)到了放縮和容易求和的目的.又例如求證:精品文檔放心下載11115212212312n13如果2n122n112n12n112n1，謝謝閱讀11那么2n12n1，則放大過頭！因為2n142n2132n22n2132n2(n2)感謝閱讀所以通項放縮為111(n2)，求和即證。2n132n2111134如果求證:212212312n121，則上述放大過頭！可以用.\2n182n3172n32n3172n3(n3)精品文檔放心下載所以第一、二項不變，通項從第三項放大為謝謝閱讀111(n3)，求和即證。2n172n3回頭追溯技巧許多的時候，我們在不等式放縮時，往往會因為式子放的過大，步子邁得太開，而得到一個比原題設(shè)證明更弱的命題，從而導(dǎo)致對題目的證明失敗.此時我們往往只能回頭追溯我們原來的放縮，修改它，或者是保留若干項，這就是回頭追溯技巧.精品文檔放心下載3.1 保留若干項的回溯例6已知數(shù)列{a}滿足a2，a2(11)2a(nN*).n1n1nna（1）求證數(shù)列{nn2}是等比數(shù)列，并求其通項公式；謝謝閱讀（2）設(shè)cn，求證：cccc7.na123n10n分析：（1）略.ann22n（2）cn10nan2nn這{cn}的通項，其分母由n與2n的乘積組成，不易感謝閱讀.\求和，能否用歸一技巧，將分母部分歸一？如：cccLc123n1111L112222323424n2n111112222n12n這里顯然是放得太大了，不合題意。此時我們想能否回頭追溯我們原來的放縮，修改它，或者是保留若干項，這就是回頭追溯技巧，這道題我們可以保留若干項：感謝閱讀【解答】（3）設(shè)TcccLc，n123n則TTTT1234當(dāng)n≥4時，T1111L1n12222323424n2n1111111L（從第四項開始放2824424252n縮）21121217342333233010綜上：cccLc7123n10aaacos(n)例7．已知數(shù)列{a}滿足：2annn1nn1.\114（1）求數(shù)列{a}的通項公式；n（*2）設(shè)basin(2n1)，記數(shù)列的前n項和為T．求nn2nn證：對任意的n∈N*有T<4成立．72aaaacos(n)(1)aannn1nn1nn121(1)n，12所以aaaa(1)n，n1nnn1a1(1)n2[a1 (1)n1]感謝閱讀n n11(1)3所以{1a(1)n}是以3為首項，以-2a1n為公比的等比數(shù)列11a(1)n3(2)n1，所以an3(2)n1(1)nn（2）sin(2n1)(1)n1，2b(1)n1132n11．n3(2)n1(1)n當(dāng)n3時，則T1111n31321322132n11.\11111111[1(1)n2]1224732232332n12811（從第三項開始放大，分母減去1）2111[1(1)n2]11147484．286228684847TTT，123對任意的nN，Tn4．73.2 修改放縮的回溯剛剛我們提到修改我們的放縮，那我們看看以下這道題：例8.已知數(shù)列a滿足a1，a2a1(nN*).n1n1n（I）求數(shù)列a的通項公式；nn1aa...an(nN).（II）證明：12n*23aaa223n1分析（I）略.a2n1(nN*).n（II）證明：Qa2k12k11,k1,2,...,n,kk12(2k)2aaan∴a1a2...an2.23n1在不等號左邊的證明中，可能有部分人利用抓大放小，這樣證明：謝謝閱讀.\a2k12k111,k1,2,...,n,2k1aaan1111∴a1a2...an22(222...2n)23n1n1(11)n1.222n22這里在放縮的過程中想當(dāng)然的就將分母中的-1去掉，使謝謝閱讀分母變大，通項變小，但這樣的放縮放得太大了，我們不得謝謝閱讀不放棄，必須回頭去，看看原來的放縮能不能修改，能不能謝謝閱讀讓放縮腳步邁得小一些，不要放得那么多.以下是修改后的謝謝閱讀放縮：【解答】（2）Qa2k1111111.1,k1,2,...n,,k21)a122(223.222232k1k1kkkk1aaan1111n11n1a1a2...an23(222...2n)23(12n)23,23n1n1aaan23a1a2...an2(nN*).23n1回溯技巧的使用更多的是在山窮水盡之時，彌補(bǔ)原有失誤的技巧，其中保留若干項的方法最常見.感謝閱讀利用函數(shù)的性質(zhì)放縮.\例9.已知函數(shù)f(x)xln1x,數(shù)列a滿足0a1,n1a;數(shù)列b滿足b1,b1(n1)b,fa12n12nn1nnnN*.求證:（Ⅰ）0an1a1;n（Ⅱ）an1a2;n2（Ⅲ）若a2,則當(dāng)n≥2時,ban!.12nn分析：可以考慮用：若x1,xln(x1)x來證明。x1解析：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0a1,nN*.n（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即0a1.k則當(dāng)n=k+1時,1 x因為0<x<1時,f(x)1x1x10,謝謝閱讀所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).（函數(shù)性質(zhì)）又f(x)在0,1上連續(xù),所以f(0)<f(精品文檔放心下載

ak)<f(1),即0<a1ln21.k1故當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.即0a1對于一切正整數(shù)都成立.n又由0a1,得naaaln1aaln(1a)0,n1nnnnn從而aa.n1n綜上可知0aa1.n1n(Ⅱ)要證an1a2.a2fa>0n即證n22n.\構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2-f(x)=x22ln(1x)x,0<x<1,22g(x)1x0,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).感謝閱讀g(x)在0,1上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.感謝閱讀0a1a2fa因為,所以g0,即n>0,na2nn從而an1a22n(Ⅲ)因為b1,b1(n1)b,所以b12n12nn1bn1,0b2nnbbb1bLbn!nn12所以nbbb12n————①,n11n21下面只需證明2na>n（逐步轉(zhuǎn)化）由(Ⅱ)an1a2,知:aann1n2a2,annaaaaaa=aaLa22L2,23n12n1112n1因為a2,n≥2,0aa1.12n1n所以aaaan2a2111an22L2<=2n————②.212n1由①②兩式可知:bnann!..\例10.已知等差數(shù)列a滿足a12，且aaa42．357（Ⅰ）求ann的通項公式；*（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b滿足ban1，并記nnabbbnTb，n123n求證：a32T3(nN*)．nn解：（1）由aaa3a42，解得a14，35755aa142故公差d5143，得4aa(n1)d2(n1)33n1．n1（2）證法一：an32T3即an32Tn31（目標(biāo)不等式變n形）ban13nna3n1；nTbbb363n從而n12n253n1．故T0，又a33n20nn因此2T3363n32．na3253n13n2n.\363n32f(n)253n13n2，（構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)謝謝閱讀性）f(n1)3n23n33(3n3)2則f(n)．3n53n2(3n5)(3n2)2(3n3)3(3n5)(3n2)29n70，精品文檔放心下載f(n1)f(n)．特別地f(n)≥f(1)2712T31．，從而an203a32T3n即．nn證法二：同證法一求得bn及Tn，由二項式定理知，c0時，不等式(1c)313c成立．由此不等式有感謝閱讀2T321n

1313L1321513n133321215L13n1（放縮通項）2583n23n2a3．253n1n證法三：同證法一求得bn及T．n2T321n

1313L1321513n1.\令B473n1，C583n2．n363nn473n13n3n13n2因3n13n3n1．因此T3TBC3n+2．（局部放縮）nnnn2從而2T32TBC3n+2a3．nnnnn證法四：同證法一求得bn及T，易得T0，a30．nnn下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：an3n1時，a135，2T13274，因此a132T13，結(jié)論成立．精品文檔放心下載假設(shè)結(jié)論當(dāng)nk時成立，即ak3

2T3，nN．n2T3，kN．k則當(dāng)nk1時，2T32T3b3(3k2)(3k3)3(3k3)3k1kk1(3k2)3a33k5(3k5)(3k5)(3k2)2k1(3k3)3(3k5)(3k2)29k70．精品文檔放心下載(3k3)31．故(3k5)(3k2)2從而a32T2．這就是說，當(dāng)nk1時結(jié)論也成k1k1立．綜上an32Tn2對任何nN+成立．精品文檔放心下載.\例11.已知函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)1.f(1x)2（1）求1)和1)f(n1)(nN*)的值；f(f(n2n（2）若af(0)f(1)f(2)f(n1)f(1)，求數(shù)列{a}的nnnnn通項公式；*（3）若數(shù)列滿足ab1,Sbbbbbbbb，nnn4n122334nn1則實數(shù)k為何值時，不等式2kSb恒成立.nn解（1）令x1，則1)f(11)111，f(22,f()2224x1n，則f(n1)f(1n1)12,即f(n1)f(nn1)12謝謝閱讀（2）af(0)f(1)f(2)f(n1)f(1)，①nnnnaf(1)f(n1)f(n2)f(1)f(0)，②nnnn由（1），知f(1)f(n1)1，nn2①+②，得2a(n1)1,an1n2n4作差構(gòu)造函數(shù)（3）an1,ab1,b1,n4nn4nn1Sbbbbbbbb11111111n122334nn1233445n1n2=(11)(11)(11)(11)11n233445n1n22n22(n2)2kSnbnkn1kn2(1k)n2。n2n1(n1)(n2)由條件，可知當(dāng)kn2(1k)n20恒成立時即可滿足條件。設(shè)f(n)kn2(1k)n2，當(dāng)k0時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知感謝閱讀.\kn2(1k)n20 不可能恒成立；感謝閱讀當(dāng)k0時，f(n)n20恒成立；當(dāng)k0時，由于對稱軸直線n(1k)1112k2k22f(n)在[1，+)上為單調(diào)遞減函數(shù)只要f(1)0即可滿足kn2(1k)n20恒成立謝謝閱讀由f(1)k(1k)20，得k32，又k0，k0精品文檔放心下載綜上知：k0時，不等式2kSb恒成立謝謝閱讀n n例12.已知數(shù)列{an}滿足：a11且感謝閱讀2a3a1(n2).nn12n2（1）求數(shù)列{a}的通項公式；n（2）設(shè)mN*，且mn2，證明：感謝閱讀11m21(mn1)(an2n)mm.解析：（1）不妨設(shè)ax3(ax)(n2)，n2n2n12n1a3ax，n2n12n1與a3a1比較系數(shù)得：x1.n2n12n1∴a13(a1)n2n2n12n1又a13,故{an1}是首項為3公比為1222n2.\32 的等比數(shù)列，故a1(3)n，a(3)n1.n2n2n22n（2）由（1）知，題目結(jié)論等價于證明(mn1)(3)mnm21，謝謝閱讀2 mmn時顯然成立，易驗證當(dāng)且僅當(dāng)mn2時，等號成立。感謝閱讀nbn(mn1)(2)m下面先研究其單調(diào)性。bmn131131當(dāng)>n時，n()()m(1mn)(2)m，mbmn21(b)(11)(3)2(1m14，nmmnm1)1b23m31bbn n1即數(shù)列是遞減數(shù)列.n因為n2，故只須證b(m1)(3)m2m21，22m(32m1)mm.即證2利用二項式定理，事實上，(m1)m1C11C21519.mmmmm222m4.\綜上，原不等式成立.需要指出的是，在許多的數(shù)列型不等式放縮中，往往不是一個技巧的使用，而是多個技巧，多種放縮方式的綜合使感謝閱讀用.二．構(gòu)造新數(shù)列，比較兩個數(shù)列的通項11113572n＋1*【解析】構(gòu)造數(shù)列｛a｝且它的前n項和為s=ln(n＋nn1)，則可得a=lnn1nn下面只需證明lnk＋11k2k＋1*)212令h(x)＝lnx＋x＋1－1，∴h′(x)＝x－(x＋1)2＝x＋1>0，2x(x＋1)2∴函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù).當(dāng)x＞1時，h(x)>h(1)＝0，2x－1即lnx＋x＋1>1，即lnx>x＋1.令x＝k＋1，則有l(wèi)nk＋1>1.kk2k＋1.\nn∴l(xiāng)nk＋1>l21k＝1kk＋1k＝1n∵ln(n＋1)＝lnk＋1，k＝1k111∴l(xiāng)n(n＋1)＞3＋5＋…＋2n＋1.點評：本題是構(gòu)造數(shù)列以及換元方法。三．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與積分法14．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，精品文檔放心下載其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)令

g(x)＝g(x)，g

(x)＝g(g

(x))，n∈N

，求

g(x)1

n＋1

n

＋

n的表達(dá)式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；謝謝閱讀(3)設(shè)n∈N，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)感謝閱讀＋的大小，并加以證明．x【解析】：由題設(shè)得，g(x)＝1＋x(x≥0)．