人教版高中物理新教材同步講義 必修第一冊(cè)第2章　專題強(qiáng)化　追及相遇問(wèn)題（含解析）

專題強(qiáng)化追及相遇問(wèn)題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.進(jìn)一步熟練掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式的應(yīng)用(重點(diǎn))。2.會(huì)分析追及相遇問(wèn)題中物體速度、位移變化，會(huì)根據(jù)位移關(guān)系及速度關(guān)系列方程(難點(diǎn))。兩物體在同一直線上一前一后運(yùn)動(dòng)，速度相同時(shí)它們之間可能出現(xiàn)距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，這類問(wèn)題稱為追及相遇問(wèn)題。一、初速度小者追初速度大者——最大距離問(wèn)題例1一輛值勤的警車停在公路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)在警車前面x0＝13m遠(yuǎn)處以v0＝8m/s的速度勻速向前行駛的貨車有違章行為時(shí)，決定前去追趕，經(jīng)t0＝2.5s，警車發(fā)動(dòng)起來(lái)，以加速度a＝2m/s2做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求：(1)警車發(fā)動(dòng)后追上違章的貨車所用的時(shí)間t；(2)在警車追上貨車之前，兩車間的最大距離Δxm。答案(1)11s(2)49m解析(1)警車開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，貨車在它前面Δx＝x0＋v0t0＝13m＋8×2.5m＝33m警車運(yùn)動(dòng)位移：x1＝eq\f(1,2)at2貨車運(yùn)動(dòng)位移：x2＝v0t警車要追上貨車需滿足：x1＝x2＋Δx聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：t＝11s(t＝－3s舍去)(2)警車與貨車速度相同時(shí)，相距最遠(yuǎn)，對(duì)警車有：v0＝at′，x1′＝eq\f(1,2)at′2對(duì)貨車有：x2′＝v0t′最大距離：Δxm＝x2′－x1′＋Δx＝49m。針對(duì)訓(xùn)練(多選)(2023·平羅中學(xué)高一期中)甲、乙兩輛汽車在平直的公路上從同一地點(diǎn)開始做直線運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的v－t圖像如圖所示。關(guān)于甲、乙兩車在0～20s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是()A．甲、乙兩輛汽車的運(yùn)動(dòng)方向相反B．在t＝20s時(shí)，兩車相遇C．在t＝10s時(shí)，兩車相距最遠(yuǎn)，距離為25mD．在t＝15s時(shí)，乙車的加速度大小為0.5m/s2答案BCD解析由圖像可知，甲、乙兩輛汽車的速度時(shí)間圖線都在時(shí)間軸的上方，速度均為正，故甲、乙兩輛汽車的運(yùn)動(dòng)方向相同，A錯(cuò)誤；在0～20s內(nèi)，甲的位移為x甲＝5×20m＝100m，乙的位移為x乙＝eq\f(1,2)×10×20m＝100m，所以在t＝20s時(shí)，兩車相遇，B正確；在t＝10s時(shí)，甲、乙兩車速度相同，兩車距離最遠(yuǎn)，此時(shí)甲離出發(fā)點(diǎn)的距離為x甲′＝5×10m＝50m，此時(shí)乙離出發(fā)點(diǎn)的距離為x乙′＝eq\f(1,2)×(10＋5)×10m＝75m，此時(shí)甲、乙兩車之間的距離為Δxm/s2，D正確。1．討論追及、相遇問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在同一時(shí)刻能否到達(dá)相同的空間位置。2．解題技巧(1)一個(gè)條件：即速度相等，它往往是物體間能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)。(2)兩個(gè)關(guān)系：即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系，這兩個(gè)關(guān)系可通過(guò)畫運(yùn)動(dòng)示意圖得到。(3)常用解題方法有：臨界分析法、數(shù)學(xué)解析法、v－t圖像法。3．初速度小者追初速度大者常見情形分析實(shí)物圖情景圖勻加速追勻速勻速追勻減速勻加速追勻減速注意：勻速(或勻加速)追勻減速問(wèn)題中需要對(duì)勻減速運(yùn)動(dòng)的物體是否已經(jīng)停止進(jìn)行討論t＝t0以前(v2＜v1)兩物體距離增大t＝t0時(shí)(v1＝v2)相距最遠(yuǎn)t＝t0以后(v2＞v1)兩物體距離減小追及情況只能追上一次二、初速度大者追初速度小者——能否追上及最小距離問(wèn)題例2一輛客車從靜止開始以a＝1m/s2做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，在車的后面s＝20m處有一乘客騎自行車以6m/s的速度勻速追趕這輛車，判斷乘客能否追上這輛客車？若不能，二者間的最小距離為多少？答案見解析解析由臨界條件知當(dāng)v車＝v人時(shí)乘客如果能追上就可以追上即at＝v人解得t＝6sx車＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×1×62m＝18mx人＝v人t＝6×6m＝36m如圖所示x人＜x車＋20m故追不上最小距離Δx＝(18＋20－36)m＝2m。初速度大者追初速度小者的常見情形分析實(shí)物圖情景圖勻減速追勻速勻速追勻加速勻減速追勻加速t0時(shí)刻以前(v2＞v1)兩物體距離減小(甲未追上乙時(shí))t0時(shí)刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次若Δx＜x0，追不上，有最小距離若Δx＞x0，相遇兩次三、有條件限制的追及問(wèn)題例3(2022·西安市高一期末)在一條平直公路上，某時(shí)刻有兩輛車相距L＝10m同向行駛，甲車在前，正以初速度v0＝20m/s、加速度a1大小為5m/s2緊急剎車，可視為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，乙車在后，正以v2＝10m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)。求：(1)甲車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間停下；(2)甲、乙兩車相遇前最大距離；(3)甲、乙兩車經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間相遇。答案(1)4s(2)20m(3)5s解析(1)以初速度方向?yàn)檎较?，甲車從開始剎車到停下所經(jīng)歷的時(shí)間：t1＝eq\f(0－v0,－a1)＝4s。(2)當(dāng)兩車的速度相同時(shí)兩車間的距離最大，經(jīng)歷的時(shí)間：t2＝eq\f(v2－v0,－a1)＝2s甲車的位移：x1＝eq\f(v0＋v2,2)t2＝30m乙車的位移：x2＝v2t2＝10×2m＝20m兩車的最大距離：xm＝L＋x1－x2＝20m(3)2s末兩車之間的距離是20m，再經(jīng)過(guò)2s甲車停止，所以可知甲車停止時(shí)，乙車還未追上甲車，則有：v2t3＝L＋eq\f(0－v02,－2a1)代入數(shù)據(jù)解得：t3＝5s。如遇剎車問(wèn)題，要判定是運(yùn)動(dòng)停止前相遇，還是運(yùn)動(dòng)停止后相遇。例4一輛摩托車能達(dá)到的最大速度為30m/s，要想在3min內(nèi)由靜止起沿一條平直公路追上前面1000m處正以20m/s的速度勻速行駛的汽車。(1)判斷在追趕過(guò)程中摩托車能一直加速嗎？(2)如果在3min內(nèi)摩托車能追上汽車，摩托車至少以多大加速度啟動(dòng)？(計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)答案見解析解析(1)t0＝3min＝180s，假設(shè)摩托車在180s內(nèi)一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)追上汽車時(shí)，摩托車的速度為v。由v汽t0＋1000m＝eq\f(v,2)t0代入數(shù)據(jù)得v≈51.1m/s>30m/s，超過(guò)了摩托車所能達(dá)到的最大速度，所以摩托車先做加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值后做勻速運(yùn)動(dòng)。(2)設(shè)摩托車加速時(shí)間為t1，加速度為a,3min內(nèi)摩托車恰好能追上汽車時(shí)，加速度最小，則有at1＝v1＝30m/seq\f(1,2)at12＋v1(t0－t1)＝v汽t0＋1000m代入數(shù)據(jù)得a≈0.56m/s2。如果車輛有最大速度的限制，要注意車輛達(dá)到最大速度前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同。專題強(qiáng)化練1．(多選)(2023·深圳市新安中學(xué)高一期中)甲、乙兩車在同一直道上從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們運(yùn)動(dòng)的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示，已知甲車由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圖線在5s末時(shí)相交，則下列說(shuō)法正確的是()A．前5s內(nèi)平均速度相同B．甲車速度一直大于乙車速度C．5s末甲車和乙車相遇D．t＝2.5s時(shí)兩車相距最遠(yuǎn)答案ACD解析根據(jù)eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)可知，前5s內(nèi)位移相同，則平均速度相同，故A正確；x－t圖像斜率表示速度，故甲車速度先小于乙車速度，后大于乙車速度，故B錯(cuò)誤；5s末甲車和乙車處于同一位置，因此兩車相遇，故C正確；對(duì)于甲車有x＝eq\f(1,2)at2代入數(shù)據(jù)解得a＝eq\f(2×20,52)m/s2＝1.6m/s2當(dāng)兩車共速時(shí)相距最遠(yuǎn)，故v＝eq\f(20,5)m/s＝at解得t＝2.5s，故D正確。2．(多選)A、B兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示，已知在第4s末兩物體相遇，則下列說(shuō)法正確的是()A．兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)B．出發(fā)時(shí)A在B前方4m處C．兩物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A的加速度小于B的加速度D．第4s末兩物體相遇之后，兩物體可能再相遇答案BC解析由速度—時(shí)間圖像與t軸所圍的“面積”表示位移大小可知，兩物體在0～4s內(nèi)的位＝12m，已知在第4s末相遇，則出發(fā)時(shí)A在B前方4m處，B正確；由于A圖線的斜率小于B圖線的斜率，可知A的加速度小于B的加速度，C正確；相遇后A的速度始終小于B的速度，所以兩物體不會(huì)再次相遇，D錯(cuò)誤。3．(多選)(2023·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中)甲、乙兩個(gè)物體在同一條公路上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在t＝0時(shí)刻，二者相距15m，甲在后，乙在前，它們運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．t＝2s時(shí)刻，甲物體剛好趕上乙物體B．t＝4s時(shí)刻，甲和乙相距15mC．0～4s內(nèi)，甲、乙兩物體之間距離先減小后增大D．乙物體的加速度大小大于甲物體的加速度大小答案ABC解析t＝2s時(shí)刻，甲、乙位移差為Δx＝eq\f(20－5×2,2)m＝15m，在t＝0時(shí)刻，二者相距15m，說(shuō)明甲物體剛好趕上乙物體，A正確；在t＝4s時(shí)刻，甲、乙位移差為Δx′＝eq\f(20×4,2)m－eq\f(5＋15×4,2)m＝0則甲和乙相距15m，B正確；由A選項(xiàng)可知，t＝2s時(shí)刻，甲物體剛好趕上乙物體，接下來(lái)甲速度小于乙的速度，說(shuō)明0～4s內(nèi)，甲、乙兩物體之間的距離先減小后增大，C正確；甲、乙的加速度大小分別為a1＝eq\f(20,4)m/s2＝5m/s2a2＝eq\f(15－5,4)m/s2＝2.5m/s2，D錯(cuò)誤。4．(2022·重慶市高一期末)大霧天氣會(huì)影響駕駛員安全駕駛，因此開車在路上時(shí)如遇大霧應(yīng)該保持車距、控制車速。某大霧天，一輛小汽車在水平直線公路上以72km/h速度勻速行駛，突然發(fā)現(xiàn)前方一貨車正以36km/h速度勻速行駛。小汽車駕駛員經(jīng)過(guò)1s反應(yīng)時(shí)間后開始剎車(假設(shè)在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)汽車的車速不變)，剎車的加速度大小為2m/s2，小汽車恰好沒(méi)撞上貨車，那么小汽車駕駛員剛發(fā)現(xiàn)貨車時(shí)距貨車的距離為()A．30m B．35mC．40m D．45m答案B解析兩車共速時(shí)：v0－at＝v貨，解得：t＝5s小汽車駕駛員剛發(fā)現(xiàn)貨車時(shí)距貨車的距離為Δx＝v0Δt＋v0t－eq\f(1,2)at2－v貨(t＋Δt)，解得Δx＝35m，故選B。5．平直公路上有甲、乙兩輛汽車，甲以0.5m/s2的加速度由靜止開始勻加速行駛，乙在甲的前方200m處以5m/s的速度做同方向的勻速運(yùn)動(dòng)，求：(1)甲何時(shí)追上乙？甲追上乙時(shí)的速度為多大？此時(shí)甲離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？(2)在追趕過(guò)程中，甲、乙之間何時(shí)有最大距離？這個(gè)距離為多少？答案(1)40s20m/s400m(2)10s225m解析(1)設(shè)甲經(jīng)過(guò)時(shí)間t追上乙，則有x甲＝eq\f(1,2)a甲t2，x乙＝v乙t，根據(jù)追及條件，有eq\f(1,2)a甲t2＝x0＋v乙t，代入數(shù)據(jù)解得t＝40s(t＝－20s舍去)這時(shí)甲的速度v甲＝a甲t＝0.5×40m/s＝20m/s甲離出發(fā)點(diǎn)的位移x甲＝eq\f(1,2)a甲t2＝eq\f(1,2)×0.5×402m＝400m。(2)當(dāng)v甲＝v乙時(shí)，甲、乙之間的距離有最大值。由a甲t′＝v乙，得t′＝eq\f(v乙,a甲)＝eq\f(5,0.5)s＝10s，即甲在10s末離乙的距離最大，xmax＝x0＋v乙t′－eq\f(1,2)a甲t′2＝225m。6．(多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，它們的v－t圖像如圖所示。已知兩車在t＝3s時(shí)并排行駛，則()A．在t＝1s時(shí)，甲車在乙車后B．在t＝0時(shí)，甲車在乙車前7.5mC．兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是t＝2sD．甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m答案BD解析因v－t圖像與t軸圍成的面積表示位移大小，根據(jù)v－t圖像可知在1～3s內(nèi)兩車位移相等，可以判斷在t＝1s時(shí)，甲、乙車并排行駛，故A、C錯(cuò)誤；在t＝0時(shí)，甲車在乙車前的Δx＝eq\f(10＋5×1,2)m＝7.5m處，故B正確；甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離也就是從第1s末到第3s末兩車運(yùn)動(dòng)的位移，即Δx′＝eq\f(10＋30×2,2)m＝40m，故D正確。7．(2023·重慶市綦江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高一期中)行車安全無(wú)小事，特別是特殊天氣情況下。在遭遇持續(xù)強(qiáng)降雨天氣的情況下，某高速公路同一直線車道上同向勻速行駛的轎車和貨車速度大小分別為v1＝35m/s、v2＝20m/s，轎車在與貨車距離x0＝22m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有貨車，若此時(shí)轎車只是立即剎車，則轎車要經(jīng)過(guò)x＝122.5m停下來(lái)。兩車可視為質(zhì)點(diǎn)。(1)求轎車剎車后減速運(yùn)動(dòng)的加速度大?。?2)若轎車剎車時(shí)貨車以v2勻速行駛，通過(guò)計(jì)算分析兩車是否會(huì)相撞？(3)若轎車在剎車的同時(shí)給貨車發(fā)信號(hào)，貨車司機(jī)經(jīng)t0＝2s收到信號(hào)，立即以大小a2＝2.5m/s2的加速度加速前進(jìn)，通過(guò)計(jì)算分析兩車會(huì)不會(huì)相撞？答案(1)5m/s2(2)會(huì)相撞(3)不會(huì)相撞解析(1)轎車經(jīng)過(guò)x＝122.5m才停下來(lái)，由v12＝2a1x得轎車剎車過(guò)程的加速度大小a1＝5m/s2(2)恰好不相撞時(shí)兩車的速度相同，即v1－a1t1＝v2得t1＝eq\f(v1－v2,a1)＝3s轎車前進(jìn)的距離s1＝eq\f(v1＋v2,2)t1＝82.5m，貨車前進(jìn)的距離s2＝v2t1＝60m因?yàn)閟1－s2＝22.5m>x0即兩車會(huì)相撞。(3)假設(shè)兩車的速度相同，即v1－a1t＝v2＋a2(t－t0)解得t＝eq\f(8,3)s轎車前進(jìn)的距離s1′＝v1t－eq\f(1,2)a1t2貨車前進(jìn)的距離s2′＝v2t0＋v2(t－t0)＋eq\f(1,2)a2(t－t0)2解得s1′＝eq\f(680,9)ms2′＝eq\f(485,9)m因?yàn)閟1′－s2′≈21.7m<x0兩車不會(huì)相撞。8．(2022·安徽天柱山學(xué)校高一階段練習(xí))一輛值勤的警車停在公路邊，當(dāng)交警發(fā)現(xiàn)從他旁邊以v1＝36