16345-數(shù)學(xué)建模-培訓(xùn)課件-第10組森林管理問題

PAGEPAGE22007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模模擬競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽的題目是：森林管理問題 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：第10組所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜褐心洗髮W(xué) 參賽隊員(打印并簽名)：1.魯偉2.高全3.蘇又指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：數(shù)學(xué)院全體數(shù)模老師日期：2007年8森林管理問題摘要本文根據(jù)森林具有可更新這一特點，在保證森林中樹木的總數(shù)保持不變的情況下，對其進行砍伐?？紤]砍伐的樹木所得的收獲的時間貼現(xiàn)，然后分別在不考慮維持森林的基本管理費用時對單株樹木和考慮維持森林的基本管理費用時對整片森林的最優(yōu)砍伐時間提出問題，然后建立模型并求解，從而實現(xiàn)模型的最優(yōu)化。首先，以單株樹木的最大價值為目標(biāo)，并列出式子。然后將式子微分，運用求導(dǎo)公式，對其進行最大值求解。得到的結(jié)果是關(guān)于單株樹木的最優(yōu)砍伐時間的函數(shù)式子v’(T)=r*v(T),在這期間，我們需要考慮樹木在當(dāng)前的貼現(xiàn)率r，列出實際的樹木價值。接著，我們就所給的各年齡段樹木的價值，用軟件將其擬合，得到一近似的函數(shù)式。然后運用1題中的關(guān)于最優(yōu)砍伐時間的函數(shù)關(guān)系式具體的將T計算出來。其次，在已知貼現(xiàn)率r和11組離散的各年齡樹木對應(yīng)的價值的情況下，運用matlab6.5對數(shù)據(jù)進行擬合，得到樹木價值與年齡的關(guān)系。同樣以砍伐單株樹木所獲價值為目標(biāo)，得到在目標(biāo)函數(shù)取最大值時對應(yīng)的時間即為單株樹木的最優(yōu)砍伐時間。最后，我們運用了萊斯利模型，將樹木的年齡進行等級分段。考慮森林的基本管理費用，在維持每個砍伐周期都有收獲的前提下，每砍伐掉一棵樹木，就在原地補種上一棵幼苗，保持森林中樹木的總數(shù)保持不變。①無砍伐情況下，每個周期中樹木各年齡段的分布關(guān)系：=(為一中間矩陣)。②每次砍伐樹木的棵樹矩陣分布：。③每次看法后補種的樹木數(shù)量的矩陣分布情況：=。三方面得一等式：=-+,進而得出與的關(guān)系。然后以各周期相同為條件，樹木未來收獲總現(xiàn)值最大為目標(biāo)，為了實現(xiàn)最大化，T必要滿足一個關(guān)系式，由這個關(guān)系式我們便可簡單易行的得出最優(yōu)砍伐周期T。一.問題重述森林與人類息息相關(guān)，是人類的親密伙伴，是全球生態(tài)系統(tǒng)的重要組成部分。森林就像大自然的“調(diào)度師”，它調(diào)節(jié)著自然界中空氣和水的循環(huán)，影響著氣候的變化，保護著土壤不受風(fēng)雨的侵犯，減輕環(huán)境污染給人們帶來的危害。因此在砍伐樹木的同時，我們不僅需要考慮資金的最大化，還需要兼顧森林樹木的平衡性。否則肆意的濫砍亂伐，將導(dǎo)致不堪設(shè)想的后果。于是，為了使這片森林不被耗盡而且每個時間周期內(nèi)都有所收獲，規(guī)定：每當(dāng)砍伐掉一棵樹木，就在原地補種上一棵幼苗，從而使得森林中樹木的總數(shù)保持不變，現(xiàn)在，我們就一片年齡很長的樹種（100-200年）森林為例進行討論。已知森林中各年齡樹木的數(shù)量分布。為了維持森林的基本管理費用，森林中的樹木在一定的時間周期內(nèi)需要一批被砍伐出售。設(shè)v(t)表示年齡為t的樹木的價值，由于該片森林是年齡很長的樹種，所以在考慮樹木的價值時同時需要考慮到現(xiàn)金的時間貼現(xiàn)，稱r為貼現(xiàn)率，即時間t的單位現(xiàn)金只相當(dāng)于當(dāng)前的e-rt，同時也需要考慮管理成本等經(jīng)濟問題。下面就幾個問題進行討論研究：第1.問若已知各年齡樹木的價值，列出單株樹木最優(yōu)砍伐的時間式子。（T滿足V’(T)/V(T)=r）；第2.問如果已知v(ti)i=1,2,…,n及r，試給出最優(yōu)砍伐的時間的計算公式；第3.問某種樹木價值如下表：年齡i2030405060708090100110120價值vi004314330349765080591310001075如果貼現(xiàn)率r=0.1，計算該種樹木的最優(yōu)砍伐時間第4.問在保證森林中樹木的總數(shù)保持不變的情況下。如果各砍伐周期T相同，試確定最優(yōu)砍伐周期，并給出一種方案，使得在維持每個砍伐周期都有收獲的前提下，去砍伐樹木，使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟效益。二.模型假設(shè)1.被出售的樹木,其價值取決于樹木的年齡,因此,將樹木按年齡來分級[(i-1)T,iT)不同年齡級的樹木對應(yīng)著不同的價值,下表給出各確定的年齡區(qū)域價值之間的關(guān)系對應(yīng)關(guān)系:樹木價值與年齡區(qū)間級別價值年齡區(qū)域1V(t)[0,T)2V(t)[T,2T)3V(t)[2T,3T)………NV(t)[(n-1)T,∞)用x表示第i級的樹木數(shù),V(t)表示第i級的樹木的價值,用y表示收獲第i級的樹木數(shù),因此,表示森林群體,表示收獲群體.2.對森林收獲時,要求砍一棵種一棵,因此森林中樹木的總數(shù)為一固定值,記為s,即x+x+…+x=s.s可以由占有土地的總面積和每棵樹所需要的空間大小而預(yù)定給定.3.除砍伐外,樹木不會死掉,即認(rèn)為每一棵幼苗都可以生長到被收獲.4.貼現(xiàn)率r為一不變的常數(shù),每個收獲周期內(nèi)整片樹林的管理等費用為常數(shù)C.三.模型建立與求解第1.問已知表示年齡為t的樹木的價值，由于此時忽略了管理成本等經(jīng)濟問題，為了求得單株樹木的最優(yōu)砍伐時間，必須已知單株樹木的實際價值?？紤]到現(xiàn)金的時間貼現(xiàn)，那么設(shè)函數(shù)表示一棵年齡為t樹木折算到當(dāng)前的價值，即＝×而最優(yōu)砍伐時間T就是取最大值時對應(yīng)的時間。對取導(dǎo)數(shù)：令＝0，可知最優(yōu)砍伐時間T滿足即得到單株樹木的最優(yōu)砍伐時間T的函數(shù)關(guān)系為：第2.問在第一問中我們得到了一個關(guān)于最優(yōu)砍伐時間T的函數(shù)關(guān)系，那怎么才可以精確地計算出T的確切值呢？問題已知了各年齡段的樹木價值v(ti)i=1,2,…,n及貼現(xiàn)率r。那我們便可以利用各年齡段的價值分布，以軟件分析的形式，將各年齡段的樹木價值用相應(yīng)的曲線來表示，然后得出該曲線的大致函數(shù)式，并將其求微分，最后檢驗數(shù)據(jù)，看所求得的數(shù)是否最優(yōu)，如果是，我們就把所得的T稱為最優(yōu)砍伐時間，如果不是，說明我們在曲線擬合的時候發(fā)生較大的偏差，需要再重新進行曲線擬合，最終得到最優(yōu)解。第3.問將已知表格中的數(shù)據(jù)編成代碼，用matlab6.5求解，如下可知：>>x=[2030405060708090100110120]';>>y=[004314330349765080591310001075]';>>plot(x,y,'g-');holdon;>>p=polyfit(x,y,3)p=-0.00250.5518-23.3022262.8485>>x=30:120;>>y=polyval(p,x);>>plot(x,y)>>clear;>>symsx;>>A1=solve('-0.00025*x^3+0.06268*x^2-3.43382*x+49.58705','x')A1=[23.795744412399894876302835035649][46.095919421699614093319886109399][180.82833616590049103037727885495]得到的T有三個T1=23.8T2=46.1T3=180.8現(xiàn)在對著三個值進行檢驗：對函數(shù)Y（X）=-0.00025*x^3+0.06268*x^2-3.43382*x+49.58705進行二階求導(dǎo)得：Y“=-0.015*X+1.136然后將T1，T2，T3帶入上式：得到Y(jié)（T1），Y（T2）>0，Y（T3）<0故最優(yōu)砍伐時間為T3=180(注:下圖中,綠色曲線為所給數(shù)據(jù)連線,藍(lán)色曲線為擬合曲線.)第4.問為了使這片森利不被耗盡而且每個時間周期內(nèi)都有所收獲，要求：每當(dāng)砍伐掉一棵樹木，就在原地補種上一棵幼苗，從而使得森林中樹木的總數(shù)保持不變。各砍伐周期相同，在被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟效益的時候可以求得最優(yōu)砍伐周期.即使得森林達(dá)到平衡狀態(tài),則樹木價值與年齡區(qū)間級別價值年齡區(qū)域1V(t)[0,T)2V(t)[T,2T)3V(t)[2T,3T)………NV(t)[(n-1)T,∞)第K個周期森林的n組樹木的棵數(shù)的向量為第K個周期森林砍伐的n組樹木的棵數(shù)的向量為；其中表示第K個周期森林第i組的樹木數(shù)。表示第K個周期森林第i組被砍伐的樹木數(shù)。對森林進行收獲時，要求是砍一棵，種一棵，因此森林中的樹木的總數(shù)為一固定值，記為S，即＝S.(i=1,2,3,……n)在無砍伐的情況下,與的關(guān)系為:=0,=，……，＝，＝+.用矩陣表示為:=.=(為一中間矩陣);考慮砍伐時，.補種的樹木棵數(shù)的向量為===(R為一替代矩陣)故=-+如果要保證對森林進行持續(xù)收獲的話，就相當(dāng)于要求Y是常向量，即定常收獲。即存在X，使=.可以得到;由于,可得由于砍伐周期相同,則有t=kt,而每個周期內(nèi)砍伐樹木價值所得均為q=則未來收獲總現(xiàn)值為P=e(q-C)=e(q-C)/(1-e)要實現(xiàn)P最大,那么t要滿足如下條件:P’=0即q’/(q-C)=r/(1-e)當(dāng)r較小且趨向于0時,上式可近似為q’/(q-C)=1/t由上式即可確定最優(yōu)周期T.四.誤差分析第2問中求得的結(jié)果存在一定的誤差,誤差來源有兩個:①曲線擬合帶來的誤差:用三次多項式對所給數(shù)據(jù)進行擬合,有些數(shù)據(jù)勢必存在偏差②用MATLAB軟件求解后對結(jié)果的近似五.模型的推廣第1問中,如果不考慮管理成本等費用,以收益值最大為目標(biāo),則可建立如下模型y=v(t)*e/t,求這個函數(shù)的最大值為目標(biāo),同理用微分法求解.第1問中,現(xiàn)在我們考慮存在管理成本等費用的情況下建立以收益最大為目標(biāo)的