2024屆福建省廈門市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆福建省廈門市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.2．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.4．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解5．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.96．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.7．已知線段AB的端點B在直線l：y=-x+5上，端點A在圓C1：上運動，線段AB的中點M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個公共點，則點B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）8．在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準(zhǔn)線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.10．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.11．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標(biāo)原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.12．函數(shù)在的最大值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等軸（實軸長與虛軸長相等）雙曲線的離心率_______14．向量，，若，且，則的值為______.15．如圖，將一個正方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.16．已知數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，則__________，的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時，有極大值3（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在C上（1）求p的值及F的坐標(biāo)；（2）過F且斜率為的直線l與C交于A，B兩點（A在第一象限），求20．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間(1)求實數(shù)的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.22．（10分）已知直線，以點為圓心的圓C與直線l相切（1）求圓C的標(biāo)方程；（2）過點的直線交圓C于A，B兩點，且，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時,周長最小值為故選：C2、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進(jìn)而得到雙曲線方程為.故選：D.3、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p的值，進(jìn)而求出焦點坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點坐標(biāo)為，故選：C.4、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對選項進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.5、B【解析】先求得直線過定點，再根據(jù)當(dāng)點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內(nèi)部，當(dāng)點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B6、B【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B7、D【解析】設(shè)，AB的中點，由中點坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點點M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點，則，所以，又因為端點A在圓C1：上運動，所以，即，因為曲線C2與圓C1有兩個公共點，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.8、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，化簡，代入數(shù)值求解.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由題意，所以.故選：D9、A【解析】求出點坐標(biāo)，做出關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，到準(zhǔn)線的距離為2，故點縱坐標(biāo)為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題10、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域為令，解得故選：D【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.11、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.12、C【解析】利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】解：因為函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知，，由，化簡可求離心率.【詳解】由題意可知，，兩邊同時平方，得，即，，所以離心率，故答案為：.14、【解析】根據(jù)可求出，再根據(jù)向量垂直即可求出，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，解得，又因為，所以，解得，所以.故答案為：.15、2【解析】根據(jù)體積公式直接計算即可.【詳解】設(shè)正方體邊長為，則，解得.故答案為：16、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；；，當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時，；綜上所述：.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項和的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號項，從而以變號項為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項和；求解數(shù)列中的最值問題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進(jìn)行求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以的最小值為.18、（1）；（2）0【解析】（1）由題意得，則可得到關(guān)于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極小值.【詳解】（1），當(dāng)時，有極大值3，所以，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以；（2）由（1）得，則，令，得或，列表得極小值極大值易知是函數(shù)的極小值點，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值0【點睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，考查了學(xué)生對極值概念的理解與運算求解能力.19、（1），（2）4【解析】（1）將M坐標(biāo)代入方程即可；（2）聯(lián)立直線l與拋物線方程得到A、B的橫坐標(biāo)，再利用焦半徑公式求出即可.【小問1詳解】將代入，得，解得，所以【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，直線l的方程為，聯(lián)立消y得，解得或，因為A在第一象限，所以，所以，，所以20、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因為由頻率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因為若此次測試成績最好的共有4名同學(xué).成績最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點：1.頻率分布直方圖.2.概率問題.3.列舉分類的思想.21、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；（2）設(shè)點，，進(jìn)而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理得，再的中點為，證明，進(jìn)而得，，故，綜合即可得證明.【小問1詳解】解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)點，則點,所以聯(lián)立方程得，所以有，解得，因為，故或設(shè)，所以設(shè)向量，所以，所以，即，設(shè)