2024屆甘肅省白銀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆甘肅省白銀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.2．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段與互相平分，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的值有A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)3．某中學(xué)為了解高三男生的體能情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了200名男生的100米體能測(cè)試成績(jī)（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績(jī)低于13秒為優(yōu)，成績(jī)高于14.8秒為不達(dá)標(biāo).由直方圖推斷，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計(jì)本校高三男生100米體能測(cè)試成績(jī)?yōu)椴贿_(dá)標(biāo)的人數(shù)為184．已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.255．1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，西方人稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1446．過(guò)拋物線(xiàn)C：的準(zhǔn)線(xiàn)上任意一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，若在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知集合，從集合A中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿(mǎn)足約束條件的概率為（）A. B.C. D.8．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里9．函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.10．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥011．已知點(diǎn)在平面α上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面α上的是（）A. B.C. D.12．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，若，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側(cè)面積為_(kāi)_______14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)__________.15．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)AB是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）18．（12分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍19．（12分）已知三角形內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.20．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線(xiàn)，，分別交拋物線(xiàn)于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，試求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)（為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線(xiàn)，因?yàn)椋橄议L(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線(xiàn)的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系.2、C【解析】因?yàn)榫€(xiàn)段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線(xiàn)段C1D1上時(shí)，Q一定在線(xiàn)段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意若P在線(xiàn)段C1B1與線(xiàn)段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線(xiàn)段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線(xiàn)段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.3、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項(xiàng)正確.眾數(shù)為，B選項(xiàng)正確.成績(jī)低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項(xiàng)正確.成績(jī)高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D4、A【解析】由題意可得焦點(diǎn)在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，∴，∴，故選：A5、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A6、D【解析】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意點(diǎn)恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)由題意，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)，且由，得，則直線(xiàn)的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對(duì)任意點(diǎn)恒成立，也就是對(duì)任意點(diǎn)恒成立因?yàn)椋?，則，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】一般表示拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)可將拋物線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)斜率，再代入計(jì)算.7、C【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系、幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線(xiàn)互相垂直，且交點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)可知：點(diǎn)P滿(mǎn)足約束條件的概率為，故選：C8、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B9、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)方程為：，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為.故選：D10、C【解析】利用全稱(chēng)命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱(chēng)命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.11、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于B：記,則.因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面α上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于D：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)不在平面α上.故選：D12、B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，然后根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃的幾何意義求得答案.【詳解】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的可行域如圖三角形陰影部分，平行移動(dòng)直線(xiàn)直線(xiàn)，可以看到當(dāng)移動(dòng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小,聯(lián)立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)即過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)l，而側(cè)面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)l＝＝5，∴側(cè)面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項(xiàng)和公差，得出前項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，因此，所以，所以?shù)列的前2022項(xiàng)的和為.故答案：.15、【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：由，得，則，即當(dāng)時(shí)，，所以切線(xiàn)方程為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的求法，屬基礎(chǔ)題.16、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的定義，即可得到的長(zhǎng)，同理可得的長(zhǎng)，兩式相乘即可證明；【小問(wèn)1詳解】證明：由題意設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入，可得，所以；【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn),垂足為M,N,由拋物線(xiàn)的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，同理可證明，故.18、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，利用直線(xiàn)與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問(wèn)1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)MN斜率為0時(shí)，不妨取直線(xiàn)MN為??=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線(xiàn)MN斜率不存在，不妨取直線(xiàn)MN為x=，則，此時(shí)，則；當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，，因?yàn)橹本€(xiàn)MN與圓相切，所以，即，又因?yàn)橹本€(xiàn)MN與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)：由，得，則，所以MN中點(diǎn)T坐標(biāo)為，則，，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].19、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得面積【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得因?yàn)?，所?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以小問(wèn)2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線(xiàn)面角定義進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問(wèn)2詳解】∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算作答.(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和22、（1）（2）證明見(jiàn)解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；（2）首先設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，得到，坐標(biāo)，令，可得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，再證明當(dāng)，，