2023-2024學(xué)年山東省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線(xiàn)C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為13．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.4．若直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（）A. B.C. D.5．已知拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線(xiàn)PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|＝()A. B.C.3 D.26．已知函數(shù)(且，)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則的最小值為（）A. B.C. D.77．已知雙曲線(xiàn)C：(a>0，b>0)，斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為P(2，4)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.8．觀(guān)察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A. B.C. D.9．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-1010．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.11．關(guān)于x的方程在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.12．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，－3)且斜率為2的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程是________.14．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______15．寫(xiě)出直線(xiàn)一個(gè)方向向量______16．已知，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿(mǎn)足(且)，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）經(jīng)觀(guān)測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間有函數(shù)關(guān)系：（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到）（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）20．（12分）撫州市為了了解學(xué)生的體能情況，從全市所有高一學(xué)生中按80：1的比例隨機(jī)抽取200人進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，分為組畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)一，二兩組數(shù)據(jù)丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍（1）若次數(shù)在以上含次為優(yōu)秀，試估計(jì)全市高一學(xué)生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù)約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該全市高一學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)？21．（12分）某高校在今年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名考生的筆試成績(jī)，分為5組制出頻率分布表如圖所示.組號(hào)分組頻數(shù)頻率150052350.35330b4cd5100.1（1）求b，c，d的值；（2）該校決定在成績(jī)較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試，則每組應(yīng)各抽多少名學(xué)生？（3）在（2）的前提下，從抽到6名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名被甲考官面試，求這2名學(xué)生來(lái)自同一組的概率.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線(xiàn)上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線(xiàn)AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A2、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對(duì)稱(chēng)軸、零點(diǎn)、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，，，不是對(duì)稱(chēng)軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D3、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿(mǎn)足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立4、D【解析】利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線(xiàn)與圓相切，所以.故選：D5、C【解析】過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，利用拋物線(xiàn)定義以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′，因?yàn)?，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)的定義應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點(diǎn)可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則，此時(shí)，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負(fù)，2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則有，又，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：B7、C【解析】設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程相減后可求得，從而得漸近線(xiàn)方程【詳解】設(shè)，則，相減得，∴，又線(xiàn)段的中點(diǎn)為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線(xiàn)方程為故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，已知弦的中點(diǎn)（或涉及到中點(diǎn)），可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程后作差，作差后式子中有直線(xiàn)的斜率，弦中點(diǎn)坐標(biāo)，有．這種方法叫點(diǎn)差法8、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D9、C【解析】根據(jù)向量共線(xiàn)可得滿(mǎn)足的關(guān)系，從而可求它們的值，據(jù)此可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故存在常?shù)，使得，所以，故，所以，故選：C.10、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A11、A【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，分離變量，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，可得顯然不成立；當(dāng)時(shí)，由于方程可轉(zhuǎn)化為，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.故選：A.12、A【解析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為2，所以直線(xiàn)的方程為，即，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出所求直線(xiàn)方程，利用待定系數(shù)法求解即得.【詳解】設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，而點(diǎn)在直線(xiàn)上，于是得，解得，所以所求的直線(xiàn)的方程為.故答案為：14、【解析】根據(jù)給定條件求出正項(xiàng)等比數(shù)列的公比即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15、【解析】本題可先將直線(xiàn)的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線(xiàn)的一個(gè)方向向量.【詳解】由題意可知，直線(xiàn)可以化為，所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量可以寫(xiě)為.故答案為：.16、【解析】表示出、，根據(jù)題意，列出等式，化簡(jiǎn)整理即可得答案.【詳解】，由題意得，所以整理可得，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求該數(shù)列前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，.18、（1）當(dāng)（千米/小時(shí)）時(shí)，車(chē)流量最大，最大值約為千輛/小時(shí)；（2）汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)（單位：千米/小時(shí)）.【解析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其對(duì)應(yīng)的值，即可得出結(jié)論；（2）解不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：，（千輛/小時(shí)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)（千米/小時(shí)）時(shí)，車(chē)流量最大，最大值約為千輛/小時(shí).【小問(wèn)2詳解】解：據(jù)題意有，即，即，解得，所以汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在這個(gè)范圍內(nèi)（單位：千米/小時(shí)）.19、答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.20、（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見(jiàn)解析；（3）中位數(shù)為，均值為121.9【解析】（1）求出優(yōu)秀的頻率，計(jì)算出抽取的人員中優(yōu)秀學(xué)生數(shù)后可得全體優(yōu)秀學(xué)生數(shù)；（2）由頻率和為1求得第一組、第二組頻率，然后可補(bǔ)齊頻率分布直方圖；（3）在頻率分布直方圖中計(jì)算出頻率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)，用各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以頻率后相加得均值【詳解】（1）由頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學(xué)生有（人）；（2）設(shè)第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為頻率分布直方圖如下：（3）前3組數(shù)據(jù)的頻率和為，中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，均值為21、（1），，（2）第三組應(yīng)抽人，第四組應(yīng)抽人，第五組應(yīng)抽人（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布表的數(shù)據(jù)求出b，c，d的值；（2）三個(gè)組共有60人，從而利用分層抽樣抽樣方法抽取6名學(xué)生第三組應(yīng)抽3人，第四組應(yīng)抽2人，第五組應(yīng)抽1人；（3）記第三組抽出的3人分別為，第四組抽出的2人分別為，第五組抽出的1人為，利用列舉法結(jié)合概率公式得出答