光波導(dǎo)的光纖光柵耦合系數(shù)的研究

光波導(dǎo)的光纖光柵耦合系數(shù)的研究

0光纖光柵耦合模理論的發(fā)展作為一種重要的光學(xué)無源器，它在光和傳感器技術(shù)中得到了廣泛應(yīng)用。聯(lián)合激勵(lì)理論是分析光中光各種傳播模式之間的耦合現(xiàn)象的理論，主要包括聯(lián)合激勵(lì)理論、傅立葉變換理論和傳輸矩陣?yán)碚?。?lián)合模型理論可以準(zhǔn)確分析光纖中光的各種傳播模式之間的耦合現(xiàn)象，通常用于分析均勻周期的布柵。然而，關(guān)于光纖中的聯(lián)合模型理論的描述則不同。1973年，yariv介紹了云的耦合模型理論。這是光學(xué)中微干擾模型理論的基礎(chǔ)。1981年，lam和garrisil提出了一種新的聯(lián)合模型理論來比較單模型光纖濾波器的特性。他們忽視了光的正交門之間的正交門之間的差異，而直接使用了云的正交門之間的正交門。因此，耦合系數(shù)是錯(cuò)誤的。1998年，y和dong在討論光的zeitram方面提出了新的集群模型理論。該理論類似于芯徑變化的聯(lián)合模型理論，不適用于芯徑變化但不太可變的光的光。kashyap在1999年的理論中解釋了云的分離模型，但也存在許多錯(cuò)誤。2002年，廖幫泉等人提出的光學(xué)約束模型理論僅考慮了紫外輻射后纖芯干燥周期的變化，而不考慮折射的線性增加。為了簡(jiǎn)化這項(xiàng)工作中的光纖和電纜耦合理論，已經(jīng)進(jìn)行了一些新的分析，并得出了一些新的結(jié)論。1微擾極化的原理從麥克斯韋方程組出發(fā)可得光纖內(nèi)寫入光柵后的波動(dòng)方程為?2Et(r,t)-με(r)?2Et(r,t)?t2=μ?2?t2[Ρ微擾(r,t)]t.(1)其中,P微擾(r,t)為光纖折射率發(fā)生變化引起的微擾極化,ε(r)=ε0n2是光纖介質(zhì)的介電常數(shù),Et(r,t)是光纖內(nèi)電場(chǎng)的橫向分量,μ是光纖的磁導(dǎo)率,其近似為真空中的磁導(dǎo)率μ0.光纖中傳播的波、場(chǎng)矢量可以表示為一系列分離的導(dǎo)模和連續(xù)的輻射模的疊加.對(duì)于弱導(dǎo)光纖,可忽略導(dǎo)模和連續(xù)輻射模之間的耦合,只考慮分離理想導(dǎo)模的疊加,把光纖中的橫向電場(chǎng)表示為Et(r,t)=∑vavξvt(r)ei(ωt-βvz).(2)其中,βv是電場(chǎng)的傳播常數(shù),av是電場(chǎng)的疊加系數(shù),ξvt(r)ei(ωt-βvz)是折射率未受微擾的光纖的第v個(gè)不連續(xù)本征模的橫場(chǎng)部分,它滿足理想波導(dǎo)方程.將式(2)代入式(1)可得∑v[2?av?z(-iβv)ξvt(r)ei(ωt-βvz)]=μ?2?t2[Ρ微擾(r,t)]t.(3)式(3)中對(duì)v的求和包含和ξvt(r)有關(guān)的兩項(xiàng),一項(xiàng)由(+)號(hào)表示,代表沿z軸正方向傳播;另一項(xiàng)由(-)號(hào)表示,代表沿z軸負(fù)向傳播.我們把式(3)兩邊矢乘以h*ut,然后取其結(jié)果與z方向的單位矢量的標(biāo)積,再對(duì)幅角取從0到2π,對(duì)半徑從0到∞積分,并利用光纖中場(chǎng)的本征矢量解滿足的正交關(guān)系式,可得da(-)udzei(ωt+βuz)-da(+)udzei(ωt-βuz)=-iμ4βuΡu?2?t2∫∞0∫2π0ez?{[Ρ微擾(r,t)]t×h*ut}rdrd?.(4)其中,h*ut是光纖中磁場(chǎng)強(qiáng)度的本征矢量解的復(fù)共軛.光柵的折射率變化假定為余弦調(diào)制函數(shù),可表示為Δn=Δn0(r,?)+Δn1(r,?,z)cos[2πΛz+φ(z)],(-L/2<z<L/2)(5)其中,Δn0是光致折射率變化的直流分量,Δn1是光致折射率變化的振幅,L為光柵長(zhǎng)度.φ(z)用來描述沿光纖軸向光柵周期的變化情況.一般情況下光柵的光致折射率變化Δn0和Δn1是r和z的函數(shù),很難得到方程的解析解.只有對(duì)均勻周期光柵,光柵的光致折射率變化Δn0,Δn1和φ(z)均為常數(shù).為討論方便,φ(z)可取為0,把折射率變化表示為Δn=Δn0+12Δn1[eiθ(z)+eiθ(z)],(6)其中,θ(z)=2πΛz.這樣當(dāng)光纖中折射率沿軸向有微小變化后,微擾極化強(qiáng)度可以表示為P微擾(r)=2nε0ΔnE=2nε0[Δn0+12Δn1(eiθ(z)+e-iθ(z))]E.(7)對(duì)于單模光纖中的布拉格光柵,它的主要光學(xué)特性表現(xiàn)為正、反向基模之間的耦合,而基模與包層輻射模之間的耦合可忽略.因此光柵區(qū)域的光場(chǎng)可以簡(jiǎn)單地表示為正、反向傳播基模的疊加:Eu=a(+)uξutei(ωt-βuz)+a(-)uξutei(ωt+βuz).(8)將式(7),(8)代入式(4)可得da(-)udzei(ωt+βuz)-da(+)udzei(ωt-βuz)=iμω2ε02βuΡu?∫∞0∫2π0n[Δn0+12Δn1(eiθ(z)+e-iθ(z))]ez?{[a(+)uξutei(ωt-βuz)+a(-)uξutei(ωt+βuz)]×h*ut}rdrd?.(9)式(9)左邊的兩項(xiàng)分別是光纖中沿z軸正向和負(fù)向傳播的基模,這兩項(xiàng)只能受到右邊對(duì)z含有近似相同位相的項(xiàng)的影響.我們首先看左邊第一項(xiàng),若θ(z)-βuz≈βuz,而右邊共有兩項(xiàng)包含相位因子βu,因此有如下關(guān)系式:da(-)udz=iuε0ω22βuΡua(-)u∫2π0∫∞0nΔn0|ξut×h*ut|zrdrd?+iuε0ω24βuΡua(+)uei[θ(z)-2βuz]∫2π0∫∞0nΔn1|ξut×h*ut|zrdrd?,(10)令k=uε0ω24βuΡu∫2π0∫∞0nΔn1|ξut×h*ut|zrdrd?,(11)Δβ1=uε0ω22βuΡu∫2π0∫∞0nΔn0|ξut×h*ut|zrdrd?,(12)Δβ2=θ(z)2z-βu,(13)其中,k為正反向基模之間的耦合系數(shù);Δβ1為紫外光照射后基模傳播常數(shù)的增加;Δβ2為正、反向基模的相位失配.則式(10)可簡(jiǎn)記為da(-)udz=iΔβ1a(-)u+ika(+)uei2Δβ2z.(14)同理可得da(+)udz=-iΔβ1a(+)u-ika(-)ue-i2Δβ2z.(15)以上兩式即為均勻周期光纖光柵中兩個(gè)相向傳播的基模之間的耦合方程.2均勻周期光柵令:a(+)u(z)=W(z)e-i[g(z)+Δβ1z],(16)a(-)u(z)=S(z)ei[g(z)+Δβ1z].(17)則基模耦合方程可變?yōu)閃′(z)-iδW(z)=-ikS(z);(18)S′(z)+iδS(z)=ikW(z).(19)其中,g(z)=πΛ-(βμ+Δβ1)z=δz,(20)δ=πΛ-(βu+Δβ1).(21)光柵的光學(xué)特性需要在W和S特定的邊界條件下通過求解耦合方程來確定.若忽略纖芯折射率n的變化,對(duì)均勻周期光柵,基模傳輸常數(shù)增量、基模耦合系數(shù)及δ可表示為:其中,Γ=1Ρu∫2π0∫∞0|ξut×h*ut|zrdrd?.(25)Γ為在光纖纖芯內(nèi)傳輸?shù)幕挝还夤β?又稱為基模的光限制因子.單模光纖的Γ可以表示為Γ=Ρ芯Ρ≈1-e-2a2w2.(26)其中,a為光纖芯徑,w=β2-(2πλ)2n22?n2為光纖包層折射率.對(duì)不同的光纖結(jié)構(gòu)及不同傳輸波長(zhǎng),Γ取不同數(shù)值.可見對(duì)均勻光柵,其基模傳輸常數(shù)增量、基模耦合系數(shù)及δ均與z無關(guān).假定W(z)和S(Z)滿足邊界條件W(-L/2)=1;S(L/2)=0,則方程(18),(19)的解為:(1)當(dāng)k>δ時(shí),令Q=√k2-δ2,{W(z)=-Qcosh[Q(z-L2)]-iδsinh[Q(z-L2)]-Qcosh(QL)+iδsinh(QL),S(z)=-iksinh[Q(z-L2)]-Qcosh(QL)+iδsinh(QL);(27)(2)當(dāng)k<δ時(shí),令Μ=√δ2-k2,{W(z)=-iδsin[Μ(z-L2)]-Μcos[Μ(z-L2)]iδsin(LΜ)-Μcos(LΜ),S(z)=-iksin[Μ(z-12)]iδsin(LΜ)-Μcos(LΜ).(28)根據(jù)a(+)u(z)及a(-)u(z)與W(z)及S(z)的關(guān)系式(16),(17),可求得耦合模方程(14),(15)的解.在假定的W和S的邊界條件下,可以證明入射到光柵的總能量為1,光柵的反射譜可表示為R(λ)=|a(-)u(-L2)|2=|S(-L2)|2={k2sinh2(QL)Q2cosh2(QL)+δ2sinh(QL)(δ＜k)?k2sin2(ΜL)Μ2cos2(ΜL)+δ2sin(ΜL)(δ＞k).(29)易知,當(dāng)δ=0時(shí),光柵的反射系數(shù)最大.顯然此時(shí)光纖內(nèi)兩相向傳播的基模耦合作用最強(qiáng),對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為光柵布拉格波長(zhǎng),又稱為光柵中心波長(zhǎng).由δ=0,所以可得光柵的布拉格波長(zhǎng)為λB=2(nnef+Δnnef)Λ.(32)其中,nnef為單模光纖未寫入光柵時(shí)基模的有效折射率,Δnnef為光纖在經(jīng)過紫外光照射后所引起的基模有效折射率的增加量.由于在光纖的寫入過程中Δnnef是逐漸增加的,因此在光柵制作過程中,其布拉格波長(zhǎng)將逐漸向長(zhǎng)波長(zhǎng)方向漂移.這與文獻(xiàn)中的敘