新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理本章總結(jié)提升課件新人教A版選擇性必修第三冊

第六章本章總結(jié)提升知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用1.利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理進行計數(shù)時,常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解,因此在解題中既要保證類與類的互斥性,又要關(guān)注總數(shù)的完備性.2.掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其區(qū)別和聯(lián)系,有助于提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例1】

從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中,任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中,若有1和3時,3必須排在1的前面;若只有1和3中的一個時,它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面,這樣不同的三位數(shù)共有

個.(用數(shù)字作答)

60規(guī)律方法

應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.變式訓(xùn)練1(1)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一顏色,且綠色卡片至多1張,則不同的取法種數(shù)為(

)A.484 B.472

C.252

D.232B(2)車間有11名工人,其中5名男工是鉗工,4名女工是車工,另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工,現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工,4名車工修理一臺機床,則有多少種選派方法?專題二排列與組合的綜合應(yīng)用1.排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式,在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用,解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排,特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則.2.對于排列和組合的運算,有助于提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例2】

[2023山東濟南期中]某校高二級部組織全體同學(xué)進行了知識競賽,并選出了4名女生和3名男生共7名優(yōu)勝者.賽后,7名同學(xué)站成一排,照相留念.(1)女生必須站在一起的站隊方式有多少種?(2)男生甲不與其他男生相鄰的站隊方式有多少種?(3)現(xiàn)在要求這7名同學(xué)分成三個宣講小組分別去給高一、高二、高三三個年級的同學(xué)做學(xué)習(xí)成果匯報,要求每個小組必須既有男生又有女生,問有多少種安排方案?規(guī)律方法

解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點:(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題.(2)對于含有多個限制條件的復(fù)雜問題,應(yīng)認真分析每個限制條件,再考慮是分類還是分步,分類時要不重不漏,分步時要步步相接.(3)對于含有“至多”“至少”的問題,常采用間接法,此時要考慮全面,排除干凈.變式訓(xùn)練26個女生(其中有1個領(lǐng)唱)和2個男生分成兩排表演.(1)若每排4人,共有多少種不同的排法?(2)領(lǐng)唱站在前排,男生站在后排,每排4人,有多少種不同的排法?專題三二項式定理及其應(yīng)用1.二項式定理有比較廣泛的應(yīng)用,可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等,其原理可以用于二項式相應(yīng)展開式項的系數(shù)求解.2.二項式定理有助于提升數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).角度1.二項展開式的“賦值問題”【例3】

(1)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+a3+…+an=31,則自然數(shù)n=(

)A.6 B.5 C.4 D.3B解析

令x=0,則a0=1n=1,令x=1,則a0+a1+a2+…+an=(1+1)n=2n,所以a1+a2+…+an=2n-1=31,解得n=5,故選B.(2)若(3x2-2x+1)5=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0,求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.解

令x=1,得a0+a1+…+a10=25,①令x=-1,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)-(a1+a3+a5+a7+a9)=65.②①②式相乘,得(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=25×65=125=248

832.規(guī)律方法

“賦值法”在二項展開式中的應(yīng)用(1)觀察:先觀察二項展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征.(2)賦值:結(jié)合待求和上述特征,對變量x賦值,常見的賦值有x=-1,x=0,x=1等等,具體視情況而定.(3)解方程:賦值后結(jié)合待求建立方程(組),求解便可.變式訓(xùn)練3若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為(

)A.-1 B.0 C.1 D.2C角度2.二項展開式的特定項問題【例4】

若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,則a6=(

)A.-448 B.-112 C.112

D.448C解析

由已知可得a6為(1+x)6的系數(shù),又二項式(1-x)8可以化為[2-(1+x)]8,則此二項展開式的含(1+x)6的項為

·22·[-(1+x)]6=112(1+x)6,則a6=112,故選C.【例5】

已知在

的展開式中,第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項;(2)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項;規(guī)律方法

二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關(guān)元素:一般是根據(jù)已知條件,列出等式,從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素.(2)確定二項展開式中的常數(shù)項:先寫出其通項公式,令未知數(shù)的指數(shù)為零,從而確定項數(shù),然后代入通項公式,即可確定常數(shù)項.(3)求二項展開式中條件項的系數(shù):先寫出其通項公式,再由條件確定項數(shù),然后代入通項公式求出此項的系數(shù).變式訓(xùn)練4(多選題)[2023安徽合肥期中]關(guān)于(-2x)7的二項展開式,下列說法正確的是(

)A.二項式系數(shù)和為128B.各項系數(shù)和為-7C.x-1項的系數(shù)為-