2024版新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2指數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念導學案新人教A版必修第一冊

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念【學習目標】(1)理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解底數(shù)的限制條件．(2)了解指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型在實際問題中的應用．題型1指數(shù)函數(shù)的概念【問題探究1】問題1：某種細胞分裂時，每次每個細胞分裂為2個細胞，則1個這樣的細胞第1次分裂后變?yōu)?個細胞，第2次分裂后變?yōu)?個細胞，第3次分裂后變?yōu)?個細胞……設第x次分裂后變?yōu)閥個細胞．問題2：質(zhì)量為1的一種放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過1年剩余的質(zhì)量約是原來的60%，設經(jīng)過x年后剩余的質(zhì)量為y.(1)以上兩個問題中，y關于x的函數(shù)解析式分別是什么？(2)以上兩個函數(shù)解析式的共同特征是什么？例1(1)下列函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()①y＝2·3x②y＝3x＋1③y＝3x④y＝(2a－1)x(a為常數(shù)，a>12，a≠1)⑤y＝x3⑥y＝-4x⑦y＝(A．1B．2C．3D．4(2)若函數(shù)y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，1)∪C．(12，1)∪(1，學霸筆記：指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)中為指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2·3xB．y＝－3xC．y＝3－xD．y＝1x(2)若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________．題型2求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值例2設f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其圖象經(jīng)過點(12，(1)求f(x)的解析式；(2)若f(2m)＝4，f(n)＝25，求2m＋n的值．學霸筆記：(1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時，一般采用待定系數(shù)法，即先設出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的關鍵．(2)求指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的關鍵是求出指數(shù)函數(shù)的解析式．跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且f(－32)＝39，則f(－2)＝題型3指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應用【問題探究2】將一張報紙連續(xù)對折，折疊次數(shù)x與對應的層數(shù)y之間存在什么關系？對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數(shù)有怎樣的關系？例3光線通過一塊玻璃，強度要損失10%，設光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強度為y．(1)寫出y關于x的函數(shù)解析式；(2)通過20塊這樣的玻璃后，光線強度約為多少？(參考數(shù)據(jù)：0.920≈0.12)學霸筆記：關于函數(shù)y＝kax在實際問題中的應用(1)解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內(nèi)比它在“前單位時間”內(nèi)的增長(衰減)率．(2)主要解法用待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定出解析式中的系數(shù)后，利用指數(shù)運算解題．跟蹤訓練3春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．隨堂練習1.下列是指數(shù)函數(shù)的是()A．y＝－3xB．y＝2x2－1C．y＝axD．y＝πx2．若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2)＝2，則f(x)＝()A．(2)xB．2xC．(12)xD．(223．若y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，則有()A．a(chǎn)＝1或2B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝2D．a(chǎn)>0且a≠14．某地為了保持水土資源，實行退耕還林，如果2018年退耕8萬公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕________．課堂小結(jié)1.判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法．2．求指數(shù)函數(shù)解析式．3．指數(shù)函數(shù)在實際問題中的應用．4．2.1指數(shù)函數(shù)的概念問題探究1提示：(1)問題1中y＝2x；問題2中y＝0.6x.(2)函數(shù)的解析式是冪的形式，底數(shù)是常數(shù)，未知數(shù)x出現(xiàn)在指數(shù)位置上．例1解析：(1)對①：指數(shù)式的系數(shù)為2，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對②：其指數(shù)為x＋1，不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；對③④：滿足指數(shù)函數(shù)的定義，故都是指數(shù)函數(shù)；對⑤：是冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；對⑥：指數(shù)式的系數(shù)為－1，不是1，故不是指數(shù)函數(shù)；對⑦：指數(shù)的底數(shù)為－4，不滿足底數(shù)大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數(shù)函數(shù)的只有③④.故選B.(2)依題意得2a－1＞0且2a－1≠1，解得a＞12，且a≠答案：(1)B(2)C跟蹤訓練1解析：(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，y＝ax(a>0，a≠1)，可得函數(shù)y＝2·3x不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝－3x不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝3－x是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝1x不是指數(shù)函數(shù)．故選C.(2)因為函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，所以a2-3=1a答案：(1)C(2)2例2解析：(1)因為f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象經(jīng)過點(12，所以10＝a12，所以a＝10，所以f(x)＝10(2)因為f(2m)＝4，f(n)＝25，所以102m＝4，10n＝25，所以102m·10n＝100，所以102m＋n＝102，所以2m＋n＝2.跟蹤訓練2解析：∵函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，設f(x)＝ax(a>0，且a≠1),由f(－32)＝3得a-32＝39＝31232＝3-32，所以a∴f(－2)＝3－2＝19答案：1問題探究2提示：折疊次數(shù)對應層數(shù)對折后的面積Sx＝1y＝2＝21S＝1x＝2y＝4＝22S＝14＝(12x＝3y＝8＝23S＝18＝(12………由上面的對應關系，我們可以歸納出第x次折疊后對應的層數(shù)為y＝2x(x∈N*)，對折后的面積S＝(12)x(x∈N*)例3解析：(1)光線經(jīng)過1塊玻璃后強度為(1－10%)k＝0.9k，光線經(jīng)過2塊玻璃后強度為(1－10%)·0.9k＝0.92k，光線經(jīng)過3塊玻璃后強度為(1－10%)·0.92k＝0.93k，……光線經(jīng)過x塊玻璃后強度為0.9xk，∴y＝0.9xk(x∈N*)．(2)將x＝20代入函數(shù)解析式，∵0.920≈0.12，∴y＝0.920k≈0.12k，即光線強度約為0.12k.跟蹤訓練3解析：設荷葉覆蓋水面的初始面積為a，則x天后荷葉覆蓋水面的面積y＝a·2x(x∈N*)．根據(jù)題意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.答案：19[隨堂練習]1．解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征：系數(shù)為1，底數(shù)滿足a>0且a≠1，自變量在指數(shù)位置可知，A，B，C不滿足，D滿足．故選D.答案：D2．解析：由題意，設f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因為f(2)＝2，所以a2＝2，解得a＝2.所以f(x)＝(2)x.故選A.答案：A3．解析：因為y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，所以a2-3