2024屆江蘇省南通市通州區(qū)、海安縣高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆江蘇省南通市通州區(qū)、海安縣高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或62．如圖，在四面體中，，分別是，的中點，則（）A. B.C. D.3．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．在數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.15．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學用七巧板拼成了一個“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.6．已知五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，則該樣本標準差為（）A.1 B.C. D.27．已知直線在兩個坐標軸上的截距之和為7，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.58．已知命題對任意，總有；是方程的根則下列命題為真命題的是A. B.C. D.9．正三棱錐的側面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．如果在一實驗中，測得的四組數(shù)值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.11．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.612．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項和，滿足，則當取得最大值時，______16．已知橢圓：的右焦點為，且經(jīng)過點（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）若直線與橢圓相切于點，與直線相交于點．在軸是否存在定點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓,直線（1）判斷直線與圓的位置關系；（2）若直線與圓交于不同兩點,且,求直線的方程18．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當m=0時，求曲線在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)m的值.19．（12分）設四邊形為矩形，點為平面外一點，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大??；（2）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若點是的中點，在內(nèi)確定一點，使的值最小，并求此時的值.20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補，直線BD與圓O相切，設直線BD的斜率為．當時，求k21．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若，求直線的方程22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)求出c，進而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.2、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中，，分別是，的中點，故選：A3、C【解析】由，且，可得，再結合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進行取舍.4、A【解析】利用條件可得數(shù)列為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.【詳解】∵∴，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故選：A.5、C【解析】設正方形邊長為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計算概率【詳解】設正方形邊長為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長為，面積為，所以概率為故選：C6、B【解析】先求出的值，然后利用標準差公式求解即可【詳解】解：因為五個數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的平均數(shù)是x，所以，解得，所以標準差，故選：B7、C【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C8、A【解析】由絕對值的意義可知命題p為真命題；由于，所以命題q為假命題；因此為假命題，為真命題，“且”字聯(lián)結的命題只有當兩命題都真時才是真命題，所以答案選A9、C【解析】以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設平面PEF的法向量，則，取，得，設PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.10、B【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求樣本中心點，由樣本中心點在回歸直線上，將其代入各選項的回歸方程驗證即可.【詳解】由題設，，因為回歸直線方程過樣本點中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B11、C【解析】設，，，利用結合數(shù)量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C12、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以它們的關系是互斥但不對立.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將雙曲線的方程化為標準式，可得出、，由此可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標準方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.14、【解析】由題意建立空間直角坐標系，然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用，點面距離的計算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、9或10【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或1016、（1），；（2）存在定點，為【解析】（1）利用，，求解方程（2）設直線方程為，與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得，并求得切點坐標及，假設存在點，利用化簡求值【詳解】（1）由已知得，，，，橢圓的方程為，離心率為；（2）在軸存在定點，為使，證明：設直線方程為代入得，化簡得由，得，，設，則，，則，設，則，則假設存在點解得所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，考查切線的應用，利用判別式等于0得坐標是解決問題的關鍵,考查計算能力,是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線與圓相交；（2）或【解析】（1）通過比較圓心到直線的距離與半徑的關系，不難發(fā)現(xiàn)直線和圓相交．（2）根據(jù)垂徑定理，得到圓心與直線的距離，進而列方程求解即可試題解析：（1）將圓方程化為標準方程,所以圓的圓心,半徑,圓心到直線的距離,因此直線與圓相交（2）設圓心到直線的距離為,則,又,解得所求直線為或考點：直線與圓的位置關系18、（1）（2）【解析】（1）求導，利用導函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進而求出切線方程；（2）對導函數(shù)再次求導，判斷其單調(diào)性，結合隱零點求出其最小值，列出方程，求出實數(shù)m的值.【小問1詳解】當時，因為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】因為，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，；當實數(shù)時，，所以總存在一個，使得，且當時，；當時，，所以，令，因為，所以單調(diào)遞減，又，所以時，所以，即.19、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見解析，【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，然后由線面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關系求解即可.（2）假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，不放設，則，再根據(jù)得，進而得答案.（3）延長CB到C'，使得C'B=CB，連結C'E，過E作于E'，利用三點共線，兩線段和最小，得到，過H作于H'，連結HB，在中，求解HB即可.【小問1詳解】解：因為平面，平面，所以，又因為底面是矩形，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因為，，所以故直線PC與平面PAD所成角的大小為；【小問2詳解】解：假設BC邊上存在一點G滿足題設條件，不妨設，則因為平面，到平面的距離為所以，即因為代入數(shù)據(jù)解得，即，故存在點G，當時，使得點D到平面PAG的距離為；【小問3詳解】解：延長CB到C'，使得C'B=CB，連結C'E，過E作于E'，則，當且僅當三點共線時等號成立，故，過H作于H'，連結HB，在中，，，所以.20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據(jù)對稱性設B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理并結合已知條件可得，直線與圓相切可得，進而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補，根據(jù)對稱性得由條件可設B的坐標為，設D，的縱坐標分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點睛】關鍵點點睛：將已知線段的長度關系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標的數(shù)量關系，設直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關系，進而求參數(shù)即可.21、（1）（2）【解析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質(zhì)列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理得出點坐標，最后由距離公式得出直線的方程【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設，，直線為由，得顯然，由韋達定理有