關于enordalsvenkeesan的進一步研究

關于enordalsvenkeesan的進一步研究

正交*-半組的概念由t.e.nordahl和h.e.scheiblih給出，m.yama和t.imarka進行了進一步研究。左后半組和左后半組由p.s.ventisan研究。本文給出了π*-半群的概念,證明了π*-半群是正則半群;π*-半群可以不是純正半群,當然,可以不是右逆半群;π*-半群可以不是弱正則*-半群,當然,可以不是正則*-半群;證明了存在π*-半群無法重新定義*運算使之成為弱正則*-半群.本文未給出的概念、符號見文獻1正則型半群設S是半群,E(S)為S的冪等元集,V(a)為a的逆元集.定義1.1正則半群S稱為右逆半群(左逆半群),如果E(S)是左正則帶(右正則帶)即?e、f∈E(S)滿足efe=ef(efe=fe).定義1.2如果一個半群S上有一個一元運算*:S→S,對?a、b∈S,它滿足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.則稱S是正則*-半群.在正則*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.因而a*是a的一個逆元、S是正則半群.定義1.3設S是一個半群,S上有一個一元運算*:S→S,對?a、b∈S,它滿足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(aa*bb*)*=bb*aa*.則稱S是一個弱正則*-半群.正則*-半群是一個弱正則*-半群.因為當S是正則*-半群時,對?a、b∈S有(aa*bb*)*=(bb*)*(aa*)*=bb*aa*.定義1.4S是正則半群,E(S)為S的冪等元集.若E(S)為S的子半群,則稱S是一個純正半群.S是一個正則半群.S的冪等元可以交換當且僅當S是逆半群.若S是逆半群,則?e、f∈E(S)滿足efe=ef(efe=fe).所以,一個逆半群是右逆半群.又因為,S是逆半群當且僅當S的每個元素的逆元唯一即可.若S是逆半群,可以令a*=a′,滿足定義1.2.S是正則*-半群.定義1.5設S是一個半群,S上有一個一元運算*:S→S,對?a、b∈S,它滿足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=a*b*.則稱S是π*-半群.2特定型各行定義s為弱正則型半群定理2.1一個π*-半群是正則半群;π*-半群可以不是純正半群,;π*-半群可以不是弱正則*-半群;存在π*-半群無法重新定義*運算使之成為弱正則*-半群.證明:設S是一個π*-半群,則對?a∈S有aa*a=a.(a*)*=a.而a*∈S所以a*(a*)*a*=a*a*aa*=a*,S是一個正則半群.令S={(1100)?(1-100)?(-1100)?(-1-100)?(0011)?(001-1)?(00-11)?(00-1-1)}S={(1100)?(1?100)?(?1100)?(?1?100)?(0011)?(001?1)?(00?11)?(00?1?1)},容易驗證S關于矩陣的乘法是封閉的.又因為矩陣的乘法滿足結合律,所以,S關于矩陣的乘法構成一個半群.下面觀察每個元素的逆元.V((1100))={(1100)?(1-100)?(0011)?(001-1)}V((0011))={(1100)?(-1100)?(0011)?(00-11)}V((1-100))={(1100)?(1-100)?(00-11)?(00-1-1)}V((001-1))={(1100)?(-1100)?(001-1)?(00-1-1)}V((-1-100))={(-1100)?(-1-100)?(00-11)?(00-1-1)}V((-1100),)={(-1100)?(-1-100)?(0011)?(001-1)}V((00-1-1))={(1-100)?(-1-100)?(001-1)?(00-1-1)}V((00-11))={(1-100)?(-1-100)?(0011)?(00-11)}V((1100))={(1100)?(1?100)?(0011)?(001?1)}V((0011))={(1100)?(?1100)?(0011)?(00?11)}V((1?100))={(1100)?(1?100)?(00?11)?(00?1?1)}V((001?1))={(1100)?(?1100)?(001?1)?(00?1?1)}V((?1?100))={(?1100)?(?1?100)?(00?11)?(00?1?1)}V((?1100),)={(?1100)?(?1?100)?(0011)?(001?1)}V((00?1?1))={(1?100)?(?1?100)?(001?1)?(00?1?1)}V((00?11))={(1?100)?(?1?100)?(0011)?(00?11)}注意到每個元素都是自己的逆元.令*:a*=aa∈S,則aa*a=a.(a*)*=a.(ab)*=a*b*由定義1.5可知S是π*-半群.又因為(1100)(00-11)=(-1100)(1100)(00?11)=(?1100),兩個冪等元的積不是冪等元.由定義1.4可知,S不是純正半群.((1100)(1100)(00-11)(00-11))*=(-1100)?(00-11)(00-11)(1100)(1100)=(00-1-1)((1100)(1100)(00?11)(00?11))*=(?1100)?(00?11)(00?11)(1100)(1100)=(00?1?1),不滿足定義1.3的(3),S不是弱正則*-半群.下面證明在這個半群S上不能重新定義一個*運算使之成為弱正則*-半群.假設有一個*運算使S成為弱正則*-半群,滿足定義1.3.對?a、b∈S有(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(aa*bb*)*=bb*aa*.令a=b則(aa*)*=aa*,(a*a)*=a*a.若a的第1行元素為0,aa*的第1行元素必為0,若b的第2行元素為0,則bb*的第2行元素必為0,則aa*=(1100)aa*=(1100)或(1-100)?bb*=(0011)(1?100)?bb*=(0011)或(00-11)(00?11)當aa*=(1100)?bb*=(0011)aa*=(1100)?bb*=(0011)時,(aa*bb*)*=aa*≠bb*aa*=bb*;當aa*=(1100)?bb*=(00-11)aa*=(1100)?bb*=(00?11)時,(aa*bb*)*=((-1100))*≠bb*aa*=bb*(aa*bb*)*=((?1100))*≠bb*aa*=bb*;當aa*=(1-100)?bb*=(00-11)aa*=(1?100)?bb*=(00?11)時,(aa*bb*)*=aa*≠(00-11)(aa*bb*)*=aa*≠(00?11);當aa*=(1-100)?bb*=(0011