有限集合的群的有限群的快速檢驗(yàn)

有限集合的群的有限群的快速檢驗(yàn)

在半群理論和群論的研究中，有必要構(gòu)建反例，以支持研究。在確定集合，尤其是有限組中規(guī)定的代際操作是否滿足半組或組的條件下，有必要驗(yàn)證組合的規(guī)律，尤其是結(jié)合法的驗(yàn)證。對(duì)于包含n個(gè)元的集合，結(jié)合法需要測(cè)試每個(gè)方程，每個(gè)方程需要執(zhí)行四個(gè)二次計(jì)算。階數(shù)小于20的群體的數(shù)量和類型已經(jīng)完全確定。但在實(shí)際構(gòu)建階數(shù)不大于20的群時(shí),仍需與已知的群建立同構(gòu)映射;因而可借助編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速檢驗(yàn);本文通過用數(shù)字字符代替字母字符,將文最多可檢驗(yàn)含有65536個(gè)元的有限集合擴(kuò)展為任意有限集合。1、、結(jié)合律的成立定義2.1群的第二定義一個(gè)不空集合G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群,假如I,G對(duì)于乘法來說是封閉的;II,結(jié)合律成立:a(bc)=(ab)c對(duì)于G的任意三個(gè)元a,b,c都對(duì);III,G里至少存在一個(gè)左單位元e,能讓對(duì)于G中的任何元a都成立;IV,對(duì)于G的每一個(gè)元a,在G里至少存在一個(gè)左逆元,能讓定義2.2有限群的另一定義一個(gè)有乘法的有限不空集合G作成一個(gè)群,假如Ⅰ、G對(duì)于這個(gè)乘法來說是閉的;Ⅱ、結(jié)合律成立:對(duì)于G的任意三個(gè)元、、都成立;Ⅲ、消去律成立:2結(jié)合律的驗(yàn)證對(duì)于一個(gè)有限集合來說:如果利用有限群的另一定義來判斷所給的有限集合及其代數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成群:封閉性的檢驗(yàn)很簡單,只需觀察所給的運(yùn)算表中沒有新元素出現(xiàn)即可,如果有新元素出現(xiàn)則不滿足封閉性,反之則滿足封閉性;對(duì)于消去律的驗(yàn)證,只需觀察集合A中的所有元素都出現(xiàn)在所給的運(yùn)算表中每行每列,因而只需檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立;但對(duì)于一個(gè)給定的階數(shù)很大的群,在判斷消去律的時(shí)候就會(huì)顯得麻煩。這時(shí)依據(jù)群的第二定義檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否構(gòu)成群,可利用計(jì)算機(jī)的方法檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立及左單位元,左逆元的存在性。下面,筆者給出利用C語言編制的檢驗(yàn)程序。2.1結(jié)合規(guī)則和左單位元測(cè)試程序2.2左逆元測(cè)試方案在檢驗(yàn)過程中,需將運(yùn)算表輸入,輸入的過程即可檢驗(yàn)封閉性,因而本程序沒有對(duì)封閉性檢驗(yàn)的過程。3用新的方法構(gòu)造分類設(shè)集合A中包含e,a,b,c,d,f六個(gè)元.A的乘法由下表規(guī)定:試驗(yàn)證集合A對(duì)于該乘法來說是否作成群.說明:由于本文中的程序僅對(duì)所給有限集A中的元為數(shù)字時(shí)能正常運(yùn)行.若對(duì)于所給有限集A中的元為其外的字母或符號(hào)時(shí),須先對(duì)其做一個(gè)替換。在利用程序檢驗(yàn)前,先做如下替換:分別用1,2,3,4,5,6代替字母e,a,b,c,d,f.則A的乘法表為利用結(jié)合律和左單位元的檢驗(yàn)程序進(jìn)行檢驗(yàn),其運(yùn)行過程如下:說明:替換e,a,b,c,d,f的字母只要是數(shù)字即可,但替換后的數(shù)字不能重復(fù)(集合中元素具有互異性).YES!說明所給運(yùn)算結(jié)合律成立,“1111116”表示有六個(gè)1即單位元為1。利用左逆元的檢驗(yàn)程序進(jìn)行檢驗(yàn),其運(yùn)行過程如下:說明:結(jié)果表明此六元集合及所給運(yùn)算滿足:以”1”為單位元,每一個(gè)元都有左逆元;因而此六元集合及其上定義的運(yùn)算構(gòu)成群。設(shè)集合A中包含四個(gè)元.A的乘法由下表規(guī)定:利用程序進(jìn)行檢驗(yàn),其運(yùn)行過程如下:說明:結(jié)果表示該運(yùn)算結(jié)合律成立,但是左單位元不存在,因?yàn)檩敵龅氖?234四個(gè)不同的數(shù)字,顯示有4個(gè)左單位元,這與群有唯一左單位元矛盾,因而左逆元的檢驗(yàn)程序就沒有必要執(zhí)行,所以A對(duì)于該運(yùn)算不構(gòu)成群。4基于有限元的二元運(yùn)算利用上述C語言程序運(yùn)行時(shí),輸入乘法表,運(yùn)行結(jié)果與實(shí)際情況完全相同;對(duì)于任意一個(gè)有限集合及其上二元運(yùn)算,利用上面的程序大大節(jié)省了