《角平分線及其畫法》教學設計(安徽省市級優(yōu)課)x-八年級數(shù)學教案

15.4角的平分線（第一課時）--------角平分線的畫法教學目標會用尺規(guī)作已知角的平分線會用尺規(guī)過一點作已知直線的垂線教學重點：用尺規(guī)作角的平分線教學難點：尺規(guī)作圖方法的探究，作法的正確性的證明教學準備：學生學案、圓規(guī)、直尺、多媒體課件教學設計一、復習引入我們已經(jīng)學習了怎樣作出線段的垂直平分線，還記得是哪些方法嗎？我們今天來研究角的平分線的作法.提出問題1問題1已知∠AOB，你有哪些辦法可以畫出它的平分線？動手試一試，和小伙伴分享.引導學生嘗試折紙法和度量法.那么我們是否也能用尺規(guī)的辦法來作出角的平分線呢？問題2什么是尺規(guī)作圖？尺規(guī)作圖：利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖的方法二、課堂探究1、如何用尺規(guī)作出一個角的平分線呢？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線OP避免簡單的技能的模仿，通過一些問題引導學生開動腦筋，自己籌劃解決問題的辦法，問題1∠AOB的平分線是什么圖形？問題2怎么確定一條射線？問題3這條射線有什么特別的性質(zhì)？問題4根據(jù)我們的經(jīng)驗，在怎樣的條件下會出現(xiàn)兩個相等的角？學生獨立思考，討論怎樣創(chuàng)造條件把∠AOB分成兩個相等的角：∠AOP和∠BOP，教師指導學生小組討論并根據(jù)討論嘗試尺規(guī)畫圖并最終鎖定方法，并寫出作法作法：（1）以O為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA、OB于點M、N；分別以點M、N為圓心，以大于長為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點P；作射線OP，則OP為所要求作的∠AOB的平分線.注意：（1）“以大于長為半徑”的原因；保留作圖痕跡；結論的合理性的證明.三、問題解決：例1已知△ABC，用尺規(guī)作出△ABC的三個內(nèi)角平分線. 例2已知平角∠AOB，用尺規(guī)作出∠AOB的平分線OF.深入思考，這其實就是過點O作直線AB的垂線，那么接下來我們探究如何經(jīng)過一點作已知直線的的垂線.四、問題延伸如何經(jīng)過一點作已知直線的的垂線呢？經(jīng)過一點作已知直線的的垂線，由于這一點可能在直線上或直線外，所以作圖分兩種情況：情況1過已知直線AB上一點O作AB的垂線OF.作法：作平角∠AOB的平分線即可情況2過已知直線AB外一點O作AB的垂線OC通過問題引導學生自己籌劃解決問題的辦法問題1我們尺規(guī)作圖可以與垂線相關的線嗎？問題2可否將要作的垂線OC轉化為某個線段DE的中垂線？問題3點O在線段DE的中垂線上，O需要滿足的條件是什么？學生獨立思考，討論怎樣創(chuàng)造線段DE，并使點O在線段DE的中垂線上，教師指導學生小組討論并根據(jù)討論嘗試尺規(guī)畫圖并最終鎖定方法，并寫出作法.作法：（1）以O為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧與直線AB交于點D、E；（2）分別以點D、E為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（3）作射線OC.則直線OC就是所要求作的垂線.注意：（1）適當?shù)陌霃街甘裁?？為什么？對比課本作法描述體會；（2）保留作圖痕跡；（3）結論的合理性的證明.五、練習提升利用尺規(guī)作圖完成下面的作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）（1）把∠AOB四等分；（2）已知線段AB，作直線BC垂直AB；六、課堂小結我們學會了什么？在解決問題時，我們積極的思考，大膽的嘗試，最終成功解決了問題。我們還用到了類比和轉化兩種數(shù)學思想。七、課后思索已知：線段m，n求作（1）等腰三角形，使其底邊長為m，底邊上的高為n；（2）直角三角形，使其一直角邊長為m，斜邊長為n；板書設計15.4角的平分線第一課時尺規(guī)作圖作已知角的平分線已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線OP作法：（1）以O為圓心，任意長為半徑畫弧分別交OA、OB于點M、N；（2）分別以點M、N為圓心，以大于長為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點P；（3）作射線OP，則OP為所要求作的∠AOB的平分線.二、經(jīng)過一點作已知直線的垂線情況1過已知直線AB上一點O作AB的垂線OF.作法：作平角∠AOB的平分線即可情況2過已知直線AB外一點O作AB的垂線OC作法：（1）以O為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧與直線AB交于點D、E；（2）分別以點D、E為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點C；（3）作射線OC.則直線OC就是所要求作的垂線.知識鏈接在公元前465年左右，希臘的天文學家數(shù)學家，伊諾皮迪斯明確提出了只能用直尺和圓規(guī)來作圖，他給出了兩個著名的命題：由給定直線外一點做已知直線的垂線和做一個角等于已知角。后來尺規(guī)作圖逐漸成為一種公約，最后總結在《幾何原本》之中。

尺規(guī)作圖里面有一個著名的問題，就是用尺規(guī)作正多邊形，在作正七邊形正九邊形時，都遇到了很大的困難。后來偉大的數(shù)學家高斯在大學二年級時給出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并且給出了哪些正