2022-2023學年山東省新高三第三次畢業(yè)診斷及模擬測試數學試題

2022-2023學年山東省新高三第三次畢業(yè)診斷及模擬測試數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，，其中為自然對數的底數，若存在實數，使成立，則實數的值為（）A． B． C． D．2．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．3．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．以下關于的命題，正確的是A．函數在區(qū)間上單調遞增B．直線需是函數圖象的一條對稱軸C．點是函數圖象的一個對稱中心D．將函數圖象向左平移需個單位，可得到的圖象5．函數在的圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．7．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數為（）A． B． C． D．8．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．9．已知集合，則()A． B． C． D．10．已知各項都為正的等差數列中，，若，，成等比數列，則（）A． B． C． D．11．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．7212．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為虛數單位），則復數________．14．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.15．若、滿足約束條件，則的最小值為______.16．在中，點在邊上，且，設，，則________（用，表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，分別交直線于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點？若是，寫出所有定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.20．（12分）記無窮數列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數列”仍是；（3）求證：若數列是等差數列，則數列也是等差數列.21．（12分）已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關于點對稱.（1）求和的標準方程；（2）過點的直線與交于，與交于，求證：.22．（10分）如圖，在平面四邊形中，，，.（1）求；（2）求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數，（﹣1，+∞）上是增函數，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當等號同時成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．2、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．3、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．4、D【解析】

利用輔助角公式化簡函數得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數先增后減，錯誤B選項，不是函數對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用，其中化簡三角函數是解題的關鍵.5、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數圖象的判斷，屬于常考題.6、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解：∵,,∴,故選：C.【點睛】本題主要考查了對數的定義域與指數不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎題.7、B【解析】

因為時針經過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經過2小時，時針所轉過的弧度數為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.8、B【解析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【點睛】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．9、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．10、A【解析】試題分析：設公差為或（舍），故選A.考點：等差數列及其性質.11、C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.12、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：故答案為：【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題.14、（或寫成）【解析】

設與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題主要考查向量的數量積運算，向量垂直轉化為數量積為0是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力.15、【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標函數取得最小時對應的最優(yōu)解，代入目標函數計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當直線經過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數的最值問題，考查數形結合思想的應用，屬于基礎題.16、【解析】

結合圖形及向量的線性運算將轉化為用向量表示，即可得到結果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉化．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數，且時為增函數，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結論．【詳解】解：（1）法一：（當且僅當時取等號），又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數，且時為增函數，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．18、（1）；（2）是，定點坐標為或【解析】

（1）根據相切得到，根據離心率得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，聯(lián)立方程得到，，計算點的坐標為，點的坐標為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據題意：，因為，所以，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，點、的坐標分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因為直線的斜率，所以直線的方程，所以點的坐標為，同理，點的坐標為，故以為直徑的圓的方程為，又因為，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程，圓過定點問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點A到平面的距離，然后根據棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點，得N也是的中點，因為點M是的中點，所以，因為，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過A作交于點O，因為平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，由平面，得，從而側面為矩形，所以.【點睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.20、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數列”仍是.（3）證當數列是等差數列時，設其公差為，，是一個單調遞增數列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數列是等差數列，則數列也是等差數列.【詳解】（1）解：∵無窮數列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數列”仍是（3）證明：當數列是等差數列時，設其公差為，，根據，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調遞增數列，∴，，∴，∴，∴是等差數列，當時，則必有，∴，∴是一個單調遞減數列，∴，，∴，∴.∴是等差數列，當時，，∵，中必有一個為0，根據上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數列是常數數列，則數列是等差數列.綜上，若數列是等差數列，則數列也是等差數列.【點睛】本小題主要考查新定義數列的理解和運用，考查等差數列的證明，考查數列的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.21、（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設的標準方程為，由題意可設．結合中點坐標公式計算可得的標準方程為．半徑，則的標準方程為．（2）設的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設，利用韋達定理結合弦長公式可得．則．即．詳解：（1）設的標準方程為，則．已知在直線上，故可設．因為關于對稱，所以解得所以的標準方程為．因為與軸相切，故半徑，所以的標準方程為．（2）設的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以．由消去并整理得：．設，則，那么．所以．所以，即．點睛：(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋