2023-2024學(xué)年河南省商丘市夏邑一中八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

河南省商丘市夏邑縣一中聯(lián)考2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（10月份）一、選擇題（每小題3分，共30分）1．以下列各組長度的線段為邊，能構(gòu)成三角形的是（）A．3，4，5 B．7，3，4 C．5，6，12 D．1，2，32．下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們在作△ABC中AC邊上的高時，共畫出下列四種圖形，其中正確的是（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個全等圖形形狀一定相同 C．兩個周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個正三角形一定是全等圖形5．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，則∠A＝（）A．40° B．100° C．90° D．80°6．如圖，AB＝AC，DB＝DC則直接由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不對7．適合條件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形8．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，5），則線段DE的長為（）A．4 B．6 C．6.5 D．79．如圖，N，C，A三點(diǎn)在同一直線上，N，B，M三點(diǎn)在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°10．如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2二、填空題（每小題3分，共15分）11．七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是．12．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件，使△ABF≌△DCE．13．如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣7，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．15．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為．三、解答題（共8題，共75分）16．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，且∠B＝36°，∠C＝76，求∠EAD的度數(shù)．17．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．18．已知一個多邊形的邊數(shù)為n．（1）若這個多邊形的內(nèi)角和的比一個四邊形的外角和多90°，求n的值．（2）若這個多邊形是正n邊形，且一個內(nèi)角與一個外角的比是13：2，求n的值．19．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．（1）若a，b，c滿足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值及最小值．20．如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝BE，BC＝DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．21．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝15，AF＝8，試求DE的長．22．如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在線段OM、ON上（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．（1）若∠BAO＝60°，求∠ABC和∠D的度數(shù)；（2）若∠BAO＝x°，求∠ABC和∠D的度數(shù)．（無法求出準(zhǔn)確數(shù)值的，可以用含x的代數(shù)式表示）；（3）若△ABD中有一個角是另一個角的3倍，則∠ABC＝°（直接寫出答案）．23．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC邊上的動點(diǎn)，連接BD，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DE⊥DF．（1）如圖1，若D為AC邊上的中點(diǎn)．①填空：∠C＝，∠DBC＝；②求證：△BDE≌△CDF．（2）如圖2，D從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動，過點(diǎn)B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，點(diǎn)E在PD上，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為t秒（0≤t≤4）在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，圖中能否出現(xiàn)全等三角形？若能，請直接寫出t的值以及所對應(yīng)的全等三角形的對數(shù)，若不能，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1．以下列各組長度的線段為邊，能構(gòu)成三角形的是（）A．3，4，5 B．7，3，4 C．5，6，12 D．1，2，3【分析】根據(jù)三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊進(jìn)行判斷即可．解：A、3+4＞5，可以構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)正確；B、3+4＝7，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯誤；C、5+6＜11，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯誤；D、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯誤；故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．2．下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：設(shè)所求多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：（n﹣2）?180°＝360°，解得n＝4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關(guān)鍵．3．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們在作△ABC中AC邊上的高時，共畫出下列四種圖形，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．解：A、BE是△ABC中AC邊上的高，符合題意；B、BE不是△ABC中AC邊上的高，不符合題意；C、BE不是△ABC中AC邊上的高，不符合題意；D、AE是△EAC中AC邊上的高，不是△ABC中AC邊上的高，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．4．下列說法正確的是（）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個全等圖形形狀一定相同 C．兩個周長相等的圖形一定是全等圖形 D．兩個正三角形一定是全等圖形【分析】根據(jù)全等圖形的定義進(jìn)行判斷即可．解：A：兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤，不符合題意；B：兩個全等圖形形狀一定相同，故B正確，符合題意；C：兩個周長相等的圖形不一定是全等圖形，故C錯誤，不符合題意；D：兩個正三角形不一定是全等圖形，故D錯誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等圖形，熟練運(yùn)用“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形”是本題的關(guān)鍵．5．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，則∠A＝（）A．40° B．100° C．90° D．80°【分析】由角平分線的定義可得∠ACD＝120°，再利用三角形外角性質(zhì)即可求∠A的度數(shù)．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣30°＝90°，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．6．如圖，AB＝AC，DB＝DC則直接由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不對【分析】本題已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共邊，具備了三組邊對應(yīng)相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．解：在△ABD與△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．故選：A．【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．7．適合條件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】此題隱含的條件是三角形的內(nèi)角和為180°，列方程，根據(jù)已知中角的關(guān)系求解，再判斷三角形的形狀．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．8．如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，分別過點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為D、E，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，5），則線段DE的長為（）A．4 B．6 C．6.5 D．7【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA＝BO，∠AOB＝90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，則可得出答案．解：∵A（﹣2，5），AD⊥x軸，∴AD＝5，OD＝2，∵△ABO為等腰直角三角形，∴OA＝BO，∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，∴∠DAO＝∠BOE，在△ADO和△OEB中，，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，∴DE＝OD+OE＝5+2＝7．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，N，C，A三點(diǎn)在同一直線上，N，B，M三點(diǎn)在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，求出∠NBC＝∠N＝50°，求出∠BCN的度數(shù)即可．解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，∵△MNC≌△ABC，∴∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，∴∠NBC＝∠N＝50°，∴∠BCN＝180°﹣∠N﹣∠NBC＝80°，∴∠BCM＝∠ACB﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．10．如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2） C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A′＝∠A，根據(jù)平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠2與∠A′表示出∠3，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得解．解：∵△A′DE是△ADE沿DE折疊得到，∴∠A′＝∠A，又∵∠ADA′＝180°﹣∠1，∠3＝∠A′+∠2，∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°，即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°，整理得，2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2），即2∠A＝∠1﹣∠2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，平角的定義以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，把∠1、∠2、∠A轉(zhuǎn)化到同一個三角形中是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是900°．【分析】根據(jù)n邊形內(nèi)角和公式即可得到答案．解：由n邊形內(nèi)角和度數(shù)為（n﹣2）?180°，n＝7得：七邊形內(nèi)角和的度數(shù)是（7﹣2）×180°＝900°，故答案為：900°．【點(diǎn)評】本題考查多邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和度數(shù)為（n﹣2）?180°．12．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．請?zhí)砑右粋€條件∠B＝∠C（答案不唯一），使△ABF≌△DCE．【分析】求出BF＝CE，再根據(jù)全等三角形的判定定理判斷即可．解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，添加∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是2．【分析】由題意可得CE是△ACD的中線，則有S△ACD＝2S△AEC＝2，再由AD是△ABC的中線，則有S△ABD＝S△ACD，即得解．解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴CE是△ACD的中線，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面積是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積，解答的關(guān)鍵是明確三角形的中線把原三角形分成面積相等的兩部分．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣7，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，5）．【分析】先證明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD＝CE，DC＝EB，然后再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣7，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．解：作AD⊥x軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示，則∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，DC＝EB，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣7，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴OD＝7，AD＝3，OC＝2，∴CE＝3，BE＝OD﹣OC＝7﹣2＝5，∴OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），故答案為：（1，5）．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為40°或10°．【分析】當(dāng)△ACD為直角三角形時，存在兩種情況：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．解：分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠ADC＝90°時，∵∠B＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；②如圖2，當(dāng)∠ACD＝90°時，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，綜上，則∠BCD的度數(shù)為40°或10°；故答案為：40°或10°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，分情況討論是本題的關(guān)鍵．三、解答題（共8題，共75分）16．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，且∠B＝36°，∠C＝76，求∠EAD的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，最后根據(jù)∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣76°＝68°，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°，∵∠B＝39°，AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣34°＝56°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝56°﹣34°＝12°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理并準(zhǔn)確識圖，觀察出∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE是解題的關(guān)鍵．17．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．【分析】先根據(jù)AF＝CE得出AE＝CF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論．解：∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，∵BE∥DF，∴∠DFE＝∠FEB，在△ABE與△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF．【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的判定，判定兩個三角形全等，先根據(jù)求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．18．已知一個多邊形的邊數(shù)為n．（1）若這個多邊形的內(nèi)角和的比一個四邊形的外角和多90°，求n的值．（2）若這個多邊形是正n邊形，且一個內(nèi)角與一個外角的比是13：2，求n的值．【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列式計(jì)算即可解答；（2）正多邊形的內(nèi)角都相等，因而每個外角也分別相等，每個相鄰的外角，與內(nèi)角一定互補(bǔ)，就可以求出一個外角的度數(shù)．根據(jù)多邊形的外角和是360°，就可以求出多邊形的邊數(shù)．．解：（1）由題意，多邊形的內(nèi)角和的比一個四邊形的外角和多90°得，解得n＝12；（2）一個內(nèi)角與一個外角的比是13：2，得解得n＝15．【點(diǎn)評】考查了鄰補(bǔ)角的定義，多邊形的內(nèi)角和的特征，掌握多邊形的內(nèi)角和的特征是解題的關(guān)鍵．19．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．（1）若a，b，c滿足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值及最小值．【分析】（1）直接根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出c的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴當(dāng)c＝4時，△ABC周長的最小值＝5+2+4＝11；當(dāng)c＝6時，△ABC周長的最大值＝5+2+6＝13．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB＝BE，BC＝DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．【分析】（1）在兩個直角三角形中，已知的條件有：AB＝BE、BC＝DE、∠ABC＝∠E＝90°，即可由SAS判定兩個三角形全等．（2）根據(jù)（1）題證得的全等三角形，可得到∠DBE＝∠A，由于∠A、∠BCF互余，所以∠FBC、∠BCF互余，即∠BFC是直角．【解答】（1）證明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC＝∠BED＝90°，在△ABC和△BED中，∴△ABC≌△BED（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△BED，∴∠DBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°．∴∠DBE+∠ACB＝90°．∴在△BFC中，∠BFC＝90°．【點(diǎn)評】此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)；在證明三角形全等時，首先要看已知了哪些條件，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．21．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝15，AF＝8，試求DE的長．【分析】（1）利用中點(diǎn)性質(zhì)可得BD＝CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE＝∠DCF，再由對頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝7，再由全等三角形性質(zhì)可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝15，AF＝8，∴EF＝AE﹣AF＝15﹣8＝7，∵△BDE≌△CDF∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝7，∴DE＝．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．如圖，∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在線段OM、ON上（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．（1）若∠BAO＝60°，求∠ABC和∠D的度數(shù)；（2）若∠BAO＝x°，求∠ABC和∠D的度數(shù)．（無法求出準(zhǔn)確數(shù)值的，可以用含x的代數(shù)式表示）；（3）若△ABD中有一個角是另一個角的3倍，則∠ABC＝60或78.75°（直接寫出答案）．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠OBA，再求出∠ABC，最后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠D；（2）利用三角形的內(nèi)角和定理用含x的代數(shù)式表示出∠OBA，再表示出∠ABC，最后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠D；（3）利用三角形的內(nèi)角和定理分類討論得結(jié)論．解：∵BC是∠ABN的平分線，∴∠ABC＝∠CBN＝∠ABN．∵BD是∠BAO的平分線，∴∠OAD＝∠DAB＝∠OAB．（1）∵∠BAO＝60°，∠MON＝90°，∴∠OBA＝30°，∠BAD＝×60°＝30°．∴∠ABN＝180°﹣∠OBA＝150°．∴∠ABC＝×150°＝75°．∵∠ABC＝∠D+∠BAD，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．（2）∵∠BAO＝x°，∠MON＝90°，∴∠OBA＝90°﹣x°，∠BAD＝×x°＝x°．∴∠A