安徽省合肥市巢湖市匯文實驗學校2023年高二數(shù)學第一學期期末調研試題含解析

安徽省合肥市巢湖市匯文實驗學校2023年高二數(shù)學第一學期期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A. B.C. D.2．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.3．若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到一個橢圓，且該橢圓與矩形ABCD的四邊都相切.設橢圓的方程為，則下列滿足題意的方程為（）A. B.C. D.4．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓5．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.156．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.7．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當x增大時，θ先增大后減小 B.當x增大時，θ先減小后增大C.當d增大時，θ先增大后減小 D.當d增大時，θ先減小后增大8．在空間直角坐標系下，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.9．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.10．若在1和16中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則公比為（）A. B.2C. D.411．函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.12．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若向量與向量平行，則實數(shù)______14．等差數(shù)列的公差，是其前n項和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項；給定n，對于一些，都有；存在使和同號；.其中正確命題的序號為___________.15．如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；16．已知平面的一個法向量為，點為內一點，則點到平面的距離為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率18．（12分）設a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過橢圓E的上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：20．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.21．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由22．（10分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得到，即得的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點.當，即時，，解之得.故選：C.【點睛】本題主要考查直線和雙曲線的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、D【解析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.3、A【解析】由橢圓與矩形ABCD的四邊都相切得到再逐項判斷即可.【詳解】由于橢圓與矩形ABCD的四邊都相切，所以矩形兩邊長分別為，由矩形面積為48，得，對于選項B，D由于，不符合條件，不正確.對于選項A，，滿足題意.對于選項C，不正確.故選：A.4、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：5、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D6、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達點B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B7、C【解析】以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數(shù)的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.8、C【解析】由空間中關于坐標軸對稱點坐標的特征可直接得到結果.【詳解】關于軸對稱的點的坐標不變，坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，關于軸對稱的點為.故選：C.9、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C10、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項得：，，故選：A.11、D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.12、B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】先求出的坐標，進而根據(jù)空間向量平行的坐標運算求得答案.【詳解】由題意，，因為，所以存在實數(shù)使得.故答案為：2.14、【解析】對，根據(jù)數(shù)列的單調性和可判斷；對和，利用等差數(shù)列的通項公式可直接推導；對，利用等差數(shù)列的前項和可直接推導.【詳解】不妨設等差數(shù)列的首項為對，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項均為正數(shù)，所以和都是中的最大項，故正確；對，，故有：，故正確；對，，又，則，說明不存在使和同號，故錯誤；對，有：故并不是恒成立的，故錯誤故答案為：15、①④【解析】畫出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯誤，根據(jù)，與相交得到③錯誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點共面，即在平面內，不成立，②錯誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點共面，在平面內，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.16、1【解析】利用空間向量求點到平面的距離即可.【詳解】，，∴則點P到平面的距離為.故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進而可得的漸近線方程（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關于的一元二次方程，由韋達定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.18、（1）；（2）過定點，坐標為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【小問1詳解】因為橢圓離心率為，所以有.橢圓過點，所以，由可解：，所以該橢圓方程為：；【小問2詳解】由（1）可知：，設直線的方程為：，若，由橢圓的對稱性可知：，不符合題意，當時，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，設，，，因為，所以，把代入得：，所以有或，解得：或，當時，直線，直線恒過定點，此時與點重合，不符合題意，當時，，直線恒過點，當直線不存在斜率時，此時，，因為，所以，兩點不在橢圓上，不符合題意，綜上所述：過C，D兩點的直線過定點，定點坐標為.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.19、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數(shù)可求得在上單調遞增，從而得到，由此可得結論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉化為函數(shù)最值的求解問題；通過構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結論.20、（1）；（2）.【解析】（1）設圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.21、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設