安徽省銅陵市樅陽縣樅陽縣浮山中學2023-2024學年高二上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題含解析

安徽省銅陵市樅陽縣樅陽縣浮山中學2023-2024學年高二上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.412．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣23．是雙曲線：上一點，已知，則的值（）A. B.C.或 D.4．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.86．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.7．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.38．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．某中學為了解高三男生的體能情況，通過隨機抽樣，獲得了200名男生的100米體能測試成績（單位：秒），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定成績低于13秒為優(yōu)，成績高于14.8秒為不達標.由直方圖推斷，下列選項錯誤的是（）A.直方圖中a的值為0.40B.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績的眾數(shù)為13.75秒C.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)閮?yōu)的人數(shù)為54D.由直方圖估計本校高三男生100米體能測試成績?yōu)椴贿_標的人數(shù)為1810．下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是A. B.C. D.11．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.12．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過點，，的圓的方程為______.14．設函數(shù)的導函數(shù)為，已知函數(shù)，則______.15．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.16．曲線在點處的切線的方程為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點為，上頂點為，直線與橢圓的另一個交點為A（1）求點A的坐標；（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點（均與A，不重合），過點與軸垂直的直線分別交直線，于點，，證明：點，關(guān)于軸對稱18．（12分）命題p：直線l：與圓C：有公共點，命題q：雙曲線的離心率（1）若p，q均為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若為真，為假，求實數(shù)m的取值范圍19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點是棱的中點（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值20．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.21．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學生進行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在9米到11米之間(1)求實數(shù)的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生自不同組的概率22．（10分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點，D為上一點（1）求證：；（2）當D為中點時，求平面ADC與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.2、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.3、B【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點，，，或，又，.故選：B4、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎題.5、B【解析】求出樣本的中心點，再利用回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【詳解】依題意，，則這個樣本的中心點為，因此，，解得，所以實數(shù)m的值為6.故選：B6、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標系，將線面角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個法向量為；設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.7、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.8、D【解析】根據(jù)題意和直線的點方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D9、D【解析】根據(jù)頻率之和為求得，結(jié)合眾數(shù)、頻率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，解得，A選項正確.眾數(shù)為，B選項正確.成績低于秒的頻率為，人數(shù)為，所以C選項正確.成績高于的頻率為，人數(shù)為人，D選項錯誤.故選：D10、C【解析】焦點在軸上的是C和D，漸近線方程為，故選C考點：1．雙曲線的標準方程；2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)11、C【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C12、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設所求圓的方程為，然后將三個點的坐標代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【詳解】設所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：14、【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再令代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，解得；故答案為：15、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.16、【解析】求出導函數(shù)，得切線斜率后可得切線方程【詳解】，∴切線斜率為，切線方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點坐標；（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點的縱坐標，證明出，即可證明關(guān)于軸對稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當時，，所以【小問2詳解】設，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設，則，直線的方程為，設，則，因為，即，所以點，關(guān)于軸對稱18、（1），；（2）.【解析】(1)求出，成立的等價條件，即可求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”為假命題，“”為真命題，則、一真一假，當真假時，求出的取值范圍，當假真時，求出的取值范圍，然后取并集即可得答案【小問1詳解】若命題為真命題，則，解得：，若命題為真命題，則且，，解得，∴，均為真命題，實數(shù)的取值范圍是，；【小問2詳解】若為真，為假，則、一真一假；①當真假時，即“”且“或”，則此時的取值范圍是；當假真時，即“或”且“”，則此時的取值范圍是；綜上,的取值范圍是19、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可證得平面，以及求得直線與平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面所成夾角的余弦值【小問1詳解】解：因為平面，四邊形為矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、、，，，，，所以，，，所以，，，又因為，因此，平面.所以，平面的一個法向量為，，平面，平面，則平面，所以，直線到平面的距離為.【小問2詳解】解：若，則、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，設平面的法向量為，，，則，取，可得，.因此，平面與平面所成夾角的余弦值為.20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標準方程為【小問2詳解】設直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直線也過點，綜上：直線過定點解法二：設方程，得若直線斜率存在時斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過定點.若直線斜率不存在時，直線方程為所以P點坐標為，M點坐標為此時直線方程為過點綜上：直線過定點.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題21、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因為由頻率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因為若此次測試成績最好的共有4名同學.成績最差的共有2名同學.所以從6名同學中抽取2名同學共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機抽