2024屆新教材一輪復習人教A版 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用 課件（49張）

第四講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用

第六章

數(shù)列考法幫·解題能力提升考法1數(shù)列求和考法2等差、等比數(shù)列的綜合問題考法3數(shù)列與其他知識綜合考法4數(shù)列的實際應用高分幫·“雙一流”名校沖刺提素養(yǎng)?數(shù)學文化提能力?數(shù)學探索數(shù)學探索數(shù)列的新定義問題數(shù)學文化

數(shù)列與數(shù)學文化

考情解讀考點內(nèi)容課標要求考題取樣情境載體對應考法預測熱度核心素養(yǎng)1.數(shù)列求和掌握2020全國Ⅰ,T17課程學習考法1★★★數(shù)學運算2.等差、等比數(shù)列的綜合應用掌握2020江蘇,T11探索創(chuàng)新考法2★★★邏輯推理數(shù)學運算3.數(shù)列的綜合應用掌握2017全國Ⅰ,T12生活實踐考法4★★☆邏輯推理數(shù)學運算

考情解讀命題分析預測

從近幾年的高考情況來看,本講是高考的熱點,其中等差、等比數(shù)列的通項與求和,數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合,以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題是高考命題的熱點,多以解答題的形式呈現(xiàn),難度中等.在2022年的高考備考中,既要注重常規(guī)考法,也要注重數(shù)列與其他知識的綜合創(chuàng)新,對于2020年的高考中出現(xiàn)的結構不良試題,復習備考的過程中也要注意訓練.考法1數(shù)列求和考法2等差、等比數(shù)列的綜合問題考法3數(shù)列與其他知識綜合考法4數(shù)列的實際應用考法幫·解題能力提升

考法1

等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

命題角度2用錯位相減法求和示例2[2020全國卷Ⅰ,17,12分][理]設{an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項和.解析(1)設{an}的公比為q(q≠1),由題設得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=-2.故{an}的公比為-2.

考法1

等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

方法技巧1.用錯位相減法求和的策略和技巧(1)適用的數(shù)列類型:{anbn},其中數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列.(2)求解思路:設Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

①,則qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1

②,①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,進而可利用公式法求和.

考法1

等比數(shù)列求和

2.注意解題“3關鍵”(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.(3)在應用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應分公比q=1和q≠1兩種情況求解.3.謹防解題“2失誤”(1)兩式相減時最后一項忘記變號.(2)對相減后的和式的結構認識模糊,錯把中間的(n-1)項和當作n項和.

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等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

方法技巧1.利用裂項相消法求和的基本步驟2.裂項原則:一般是前邊裂幾項,后邊就裂幾項,直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.3.消項規(guī)律:消項后前邊剩幾項,后邊就剩幾項,前邊剩第幾項,后邊就剩倒數(shù)第幾項.

考法1

等比數(shù)列求和

注意

利用裂項相消法求和時,既要注意檢驗裂項前后是否等價,又要注意求和時正負項相消后消去了哪些項,保留了哪些項,切不可漏寫未被消去的項.4.常見數(shù)列的裂項方法數(shù)列(n為正整數(shù))裂項方法

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

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等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

考法1

等比數(shù)列求和

方法技巧

用并項求和法求數(shù)列的前n項和一般是指把數(shù)列的一些項合并組成我們熟悉的等差數(shù)列或等比數(shù)列來求和.可用并項求和法的常見類型:一是數(shù)列的通項公式中含有絕對值符號;二是數(shù)列的通項公式中含有符號因子“(-1)n”,如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050,可采用兩項合并求解;三是數(shù)列{an}是周期數(shù)列.

考法2

等差、等比數(shù)列的綜合問題示例6數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通項公式;(2)等差數(shù)列{bn}的各項為正,其前n項和為Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列,求Tn.思維導引(1)根據(jù)已知的遞推關系求{an}的通項公式;(2)根據(jù)等比關系列方程求公差,則前n項和Tn易求..

考法2

等差、等比數(shù)列的綜合問題

考法2

等差、等比數(shù)列的綜合問題

考法3

數(shù)列與其他知識綜合命題角度1數(shù)列與函數(shù)綜合示例7[2020大慶二模]設函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當x∈[0,1)時,f(x)=sinπx.當x∈[0,+∞)時,將函數(shù)f(x)的極大值點從小到大依次記為a1,a2,a3,…,an,…,并記相應的極大值為b1,b2,b3,…,bn,…,則數(shù)列{an+bn}的前9項和為

.

思維導引正確理解類周期函數(shù)所滿足的關系式f(x+1)=2f(x)的意義,求出x∈[1,2)時f(x)的解析式,從而推出x∈[n-1,n)時f(x)的解析式,進而得解.

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法3

數(shù)列與其他知識綜合方法技巧

數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解題策略(1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,一般利用函數(shù)的性質、圖象等進行研究.(2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,一般要充分利用數(shù)列的有關公式對式子化簡變形.(3)解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,靈活運用函數(shù)的思想方法求解.注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù).

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法3

數(shù)列與其他知識綜合方法技巧1.數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關系,可以利用數(shù)列的單調性或者是借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調性求解.(2)對于與數(shù)列有關的不等式的證明問題,則要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等,有時需構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性,最值來證明.

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法3

數(shù)列與其他知識綜合

考法4

數(shù)列的實際應用示例9實施“二孩”政策后,專家估計某地區(qū)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2021年開始到2030年,每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人,從2031年開始到2040年,每年人口總數(shù)為上一年的99%.已知該地區(qū)2020年人口總數(shù)為45萬.(1)求實施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位:萬人)的表達式(記2021年為第一年);(2)若“二孩”政策實施后,2021年到2040年人口平均值超過49萬,則需調整政策,否則繼續(xù)實施,問到2040年結束后是否需要調整政策?(參考數(shù)據(jù):0.9910≈0.9)

考法4

數(shù)列的實際應用

考法4

數(shù)列的實際應用

考法4

數(shù)列的實際應用

考法4

數(shù)列的實際應用方法技巧1.數(shù)列在實際應用中的常見模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù),則該模型是等差模型,這個固定的數(shù)就是公差.(2)等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數(shù),則該模型是等比模型,這個固定的數(shù)就是公比.(3)遞推數(shù)列模型:如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定,隨項的變化而變化,則應考慮考查的是第n項an與第(n+1)項an+1(或者相鄰三項等)之間的遞推關系還是前n項和Sn與前(n+1)項和Sn+1之間的遞推關系.

考法4

數(shù)列的實際應用2.解答數(shù)列實際應用題的步驟(1)審題:仔細閱讀題目,認真理解題意.(2)建模:將已知條件翻譯成數(shù)列語言,將實際問題轉化成數(shù)學問題,分清數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列,還是遞推數(shù)列,是求通項還是求前n項和.(3)求解:求出該問題的數(shù)學解.(4)還原:將所求結果還原到實際問題中.

考法4

數(shù)列的實際應用素養(yǎng)提升

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).有關數(shù)列的應用問題,是為了讓學生能夠在實際情境中,用數(shù)學的思想分析數(shù)列問題,用數(shù)學的語言表達數(shù)列問題,用數(shù)學的知識構建數(shù)列模型,用數(shù)列的方法得出結論,并驗證數(shù)學結論與實際問題是否相符合,最終得到符合實際規(guī)律的結果.高分幫·“雙一流”名校沖刺提能力?數(shù)學探索數(shù)學探索互嵌式數(shù)列組問題的解題策略提素養(yǎng)?數(shù)學文化數(shù)學文化數(shù)列與數(shù)學文化數(shù)學探索數(shù)列的新定義問題

示例10[2016全國卷Ⅱ,17,12分][理]Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列{bn}的前1000項和.思維導引關鍵信息信息轉化Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a1=1,S7=28可以求得數(shù)列{an}的通項公式bn=[lgan],[x]的定義可以分別求解b1,b2,b3,…,b1000數(shù)列{bn}的前1000項和分組求和數(shù)學探索數(shù)列的新定義問題

解析

(1)設{an}的公差為d,據(jù)已知有7+21d=28,解得d=1