概率論前六章

§3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性一.二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義：意義：對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，隨機(jī)事件{X≤x}與

隨機(jī)事件{Y≤y}相互獨(dú)立.設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),相互獨(dú)立.與成立，稱YX{}{}{}yY≤PxX≤PY≤y,X≤xP=例3.2.1例3.2.2判斷隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)條件()()().yFxFyxFYXYX=

,相互獨(dú)立與1.2.(離散型)X與Y相互獨(dú)立

{}{}{}jijiyYPxXPyYxXP=====,3.(連續(xù)型)X與Y相互獨(dú)立

()()()yfxfyxfYX=,在平面上除去“面積”為0的集合外成立例3.2.3例3.2.4二.多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定義

設(shè)

n維隨機(jī)變量（X1,X2,…Xn

)的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(x1,x2,…,xn

)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn均有稱X1,X2,…Xn

相互獨(dú)立.

定理

若n維隨機(jī)變量（X1,X2,…，Xn

)

相互獨(dú)立，則1)

任意k個(gè)隨機(jī)變量(2

k

n)也相互獨(dú)立.2)隨機(jī)變量

g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互獨(dú)立.3).

(X1,X2,…,Xm)與（Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互獨(dú)立.且隨機(jī)變量

h(X1,X2,…,Xm)與

g(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互獨(dú)立.隨機(jī)變量的獨(dú)立性本質(zhì)上是事件的獨(dú)立性例：3維隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，則X12,X22,X32

也相互獨(dú)立.X1+X2與X3也相互獨(dú)立.sinX1

與X3也相互獨(dú)立.X1+X2與X1-X2不一定相互獨(dú)立.例3.2.1

問X與︱X︱是否相互獨(dú)立。分析：2)隨機(jī)事件{X≤a}與{︱X︱≤a}是有關(guān)系的設(shè)隨機(jī)變量X

的概率密度為：1)判斷X與︱X︱是否相互獨(dú)立,需驗(yàn)證解：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)a>0有例3.2.1

設(shè)隨機(jī)變量X

的概率密度為：?jiǎn)朮與︱X︱是否相互獨(dú)立。即X與︱X︱不相互獨(dú)立.

例3.2.3

已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：?jiǎn)朮,Y

是否相互獨(dú)立？解：X01(1,1)YGX01(1,1)YG

例3.2.4

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X~U(0,a)

Y~U(0,

/2)且0<b<a試求

P{X<b

cosY}

X0Yabπ/2x=b

cosy

解：因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,則D練習(xí)：11/61/8x21/8x1y3y2y1XY1/243/41/41/2

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,填出空白處的數(shù)值.

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為:F(x,y)=G(x)[H(y)-H(-)]