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§3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性一.二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義:意義:對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),隨機(jī)事件{X≤x}與
隨機(jī)事件{Y≤y}相互獨(dú)立.設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),相互獨(dú)立.與成立,稱YX{}{}{}yY≤PxX≤PY≤y,X≤xP=例3.2.1例3.2.2判斷隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)條件()()().yFxFyxFYXYX=
,相互獨(dú)立與1.2.(離散型)X與Y相互獨(dú)立
{}{}{}jijiyYPxXPyYxXP=====,3.(連續(xù)型)X與Y相互獨(dú)立
()()()yfxfyxfYX=,在平面上除去“面積”為0的集合外成立例3.2.3例3.2.4二.多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性
定義
設(shè)
n維隨機(jī)變量(X1,X2,…Xn
)的聯(lián)合分布函數(shù)為
F(x1,x2,…,xn
),若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn均有稱X1,X2,…Xn
相互獨(dú)立.
定理
若n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn
)
相互獨(dú)立,則1)
任意k個(gè)隨機(jī)變量(2
k
n)也相互獨(dú)立.2)隨機(jī)變量
g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn)也相互獨(dú)立.3).
(X1,X2,…,Xm)與(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互獨(dú)立.且隨機(jī)變量
h(X1,X2,…,Xm)與
g(Xm+1,Xm+2,…,Xn)也相互獨(dú)立.隨機(jī)變量的獨(dú)立性本質(zhì)上是事件的獨(dú)立性例:3維隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立,則X12,X22,X32
也相互獨(dú)立.X1+X2與X3也相互獨(dú)立.sinX1
與X3也相互獨(dú)立.X1+X2與X1-X2不一定相互獨(dú)立.例3.2.1
問X與︱X︱是否相互獨(dú)立。分析:2)隨機(jī)事件{X≤a}與{︱X︱≤a}是有關(guān)系的設(shè)隨機(jī)變量X
的概率密度為:1)判斷X與︱X︱是否相互獨(dú)立,需驗(yàn)證解:對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)a>0有例3.2.1
設(shè)隨機(jī)變量X
的概率密度為:?jiǎn)朮與︱X︱是否相互獨(dú)立。即X與︱X︱不相互獨(dú)立.
例3.2.3
已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為:?jiǎn)朮,Y
是否相互獨(dú)立?解:X01(1,1)YGX01(1,1)YG
例3.2.4
設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,X~U(0,a)
Y~U(0,
/2)且0<b<a試求
P{X<b
cosY}
X0Yabπ/2x=b
cosy
解:因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,則D練習(xí):11/61/8x21/8x1y3y2y1XY1/243/41/41/2
設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,填出空白處的數(shù)值.
設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為:F(x,y)=G(x)[H(y)-H(-)]
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