統(tǒng)計(jì)學(xué)原理(4章)數(shù)據(jù)分布特征的描述

教學(xué)目的

通過本章的學(xué)習(xí)，了解數(shù)據(jù)分部的兩種趨勢及所用指標(biāo)，理解各種指標(biāo)的特點(diǎn)和應(yīng)用場合并熟練掌握其計(jì)算方法，能作簡單的分析。

第四章數(shù)據(jù)分布特征的描述本章重點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算第一節(jié)數(shù)據(jù)分布集中趨勢的測度

所謂集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測度數(shù)據(jù)的集中趨勢也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值（即平均數(shù)）。1.概念:平均指標(biāo)是總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在具體時(shí)間、地點(diǎn)和條件下達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)，又稱平均數(shù)。一、平均指標(biāo)的意義和作用

例：某班有10名學(xué)生，期末“統(tǒng)計(jì)學(xué)”成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)號12345678910成績90857060505565728085數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x特點(diǎn)：同質(zhì)總體、差異抽象化、集中趨勢性利用平均指標(biāo)便于進(jìn)行對比分析利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系平均指標(biāo)是制定定額的依據(jù)-利用平均指標(biāo)可以進(jìn)行數(shù)量上的推算2.作用

3.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)（一）計(jì)算公式1、簡單算術(shù)平均數(shù)：x=∑xn適合于未分組資料是總體標(biāo)志總量除以總體單位總量所得到的平均數(shù)。是計(jì)算平均指標(biāo)最常用的方法和最基本的形式，是測度數(shù)據(jù)分布集中趨勢應(yīng)用最廣的指標(biāo)。2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：例4-1-1：300戶城市居民家庭擁有彩電的資料如下,試計(jì)算平均每戶家庭的彩電數(shù)。彩電數(shù)(臺)家庭數(shù)(戶)01231011012060合計(jì)

300解:例4-1-2：某企業(yè)職工按工資分組資料如下：要求：計(jì)算全部職工的平均工資。工資(元)職工數(shù)(人)400-500500-600600-700700-800507012060合計(jì)

300解：計(jì)算過程如下：工資（元）組中值

x職工人數(shù)

f400—500500—600600—700700—800450550650750

507012060合計(jì)—300

xf

22500385007800045000

184000例4-1-3：某管理局下屬20個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)同一產(chǎn)品,其廢品率的資料如下表:

求：這20個(gè)企業(yè)的平均廢品率廢品率（%）企業(yè)數(shù)(個(gè))產(chǎn)量(萬件)

5以下4805-101023010-15470

15以上220（二）權(quán)數(shù)的選擇解：平均廢品率

=

=7.875%對絕對數(shù)求平均數(shù)時(shí)，頻數(shù)一般都是權(quán)數(shù)。但對相對數(shù)或平均數(shù)求平均數(shù)時(shí)，頻數(shù)不一定是權(quán)數(shù)。

鏈接案例性別歧視

4、例4-1-6：某管理局下屬有27個(gè)企業(yè)，其銷售與利潤的情況如下：利潤率（%）企業(yè)個(gè)數(shù)銷售額（萬元）8%以下21008%-10%18200010%-12%690012%以上1150求這27個(gè)企業(yè)的平均利潤率。

（三）影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的因素各組變量值（X）各組權(quán)數(shù)所占比重與次數(shù)有沒有關(guān)系？(四)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、算術(shù)平均數(shù)與總體單位數(shù)的乘積等于總體各單位標(biāo)志值的總和。簡單算術(shù)平均數(shù)

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：簡單算術(shù)平均數(shù)：3、如果每個(gè)變量值都乘以或除以一個(gè)任意值A(chǔ),則平均數(shù)也乘以或除以這個(gè)數(shù)A。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：簡單算術(shù)平均數(shù)：2、如果每個(gè)變量值都加或減任意數(shù)值A(chǔ)，則平均數(shù)也要增多或減少這個(gè)數(shù)A。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：4、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零簡單算術(shù)平均數(shù)：證明：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：證明：5、各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之和等于最小值簡單算術(shù)平均數(shù)：

為中心的離差平方之和為：以，則為任意數(shù)，證明：設(shè)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（五）算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用的特點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)適合代數(shù)方法的演算，不僅易于掌握，而且與大量的社會經(jīng)濟(jì)過程相適應(yīng)。因此，應(yīng)用十分廣泛。易受極端數(shù)值的影響，使算術(shù)平均數(shù)的代表性變?。欢沂軜O大值的影響大于受極小值的影響。當(dāng)組距數(shù)列為開口組時(shí)，由于組中值不易確定，使平均數(shù)的代表性受影響。某日三種蔬菜的批發(fā)成交數(shù)據(jù)蔬菜名稱批發(fā)價(jià)格(元)

xi成交額(元)mi成交量(公斤)Fi甲乙丙1.200.500.8018000125006400合計(jì)—36900例4-1-7：某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價(jià)格三、調(diào)和平均數(shù)（一）基本公式得，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)如mi相等,得簡單調(diào)和平均數(shù)（二）調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的判斷

1、例4-1-8：過級率（%）班數(shù)（個(gè)）40以下240-60260-80580-1001總過關(guān)人數(shù)213014036要求：⑴舍棄總過關(guān)人數(shù)資料，求平均過級率；⑵

舍棄總?cè)藬?shù)資料，求平均過級率?？?cè)藬?shù)706020040解：平均過級率=

⑴=61.35%⑵=61.35%2、結(jié)論：調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形已知x的文字公式中的分子（m）資料時(shí)，用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)已知x的文字公式中的分母（f）資料時(shí)，用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)原來只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！某公司有四個(gè)工廠，已知其計(jì)劃完成程度(%)及實(shí)際產(chǎn)值資料如下：工廠計(jì)劃完成程度(%)X實(shí)際產(chǎn)值(萬元)m甲

90

90乙100

200丙110

330丁120

480合計(jì)-1,1001.由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例(三)應(yīng)用某公司有四個(gè)工廠，已知其計(jì)劃完成程度(%)及計(jì)劃產(chǎn)值資料如下：工廠計(jì)劃完成程度(%)X計(jì)劃產(chǎn)值(萬元)F甲

90100乙100

200丙110

300丁120

400合計(jì)-1,0002.由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)加權(quán)平均數(shù)法的應(yīng)用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計(jì)算；較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。例如：1990年某月份甲、乙兩農(nóng)貿(mào)市場某農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格、成交量和成交額資料如下：品種價(jià)格（元/千克）甲市場成交額（萬元）乙市場成交量（千克）甲2.41.210000乙2.82.85000丙31.55000合計(jì)5.520000試問哪一個(gè)市場農(nóng)產(chǎn)品的平均價(jià)格較高？并說明原因四、幾何平均數(shù)（一）概念它是N個(gè)變量值的連乘積的N次方根。常用于計(jì)算平均變化率或平均發(fā)展速度。（二）計(jì)算公式

1、未分組，用簡單幾何平均數(shù)：

2、資料分組時(shí)，用加權(quán)幾何平均數(shù)：

某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95％、92％、90％、85％、80％，整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率為：例1

投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。年本利率(%)X年數(shù)f103110541088110101152合計(jì)25例2

加權(quán)幾何平均數(shù)這就是說，25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%。==108.6%△幾何平均數(shù)的特點(diǎn)如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法計(jì)算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標(biāo)志值是各單位標(biāo)志值的連乘積。五、切尾均值在日常生活中，我們經(jīng)常遇到切尾均值這一平均數(shù)。切尾均值是切掉數(shù)據(jù)大小兩端的若干數(shù)值后，就中間各項(xiàng)數(shù)值計(jì)算其算術(shù)平均數(shù)。這種平均數(shù)的測定方法在電視大獎(jiǎng)賽、體育比賽及需要人們進(jìn)行綜合評價(jià)的競賽項(xiàng)目中得到廣泛應(yīng)用。

由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：眾數(shù)是在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)標(biāo)志值

六、眾數(shù)M0M0M0M0M0M0若有兩個(gè)次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時(shí)才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時(shí)，

計(jì)算眾數(shù)是沒有意義的。Xf1f2f312345101010101080107380252025182215例：①對未分組資料和單項(xiàng)數(shù)列，直接找出即可；價(jià)格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00

202.40

603.001404.00

80合計(jì)300某種商品的價(jià)格情況眾數(shù)M0=3.00(元)2.眾數(shù)的計(jì)算方法例②對組距式數(shù)列，先找出眾數(shù)組，再按公式計(jì)算：M0=XL+

其中，XL表眾數(shù)組的下限、d表眾數(shù)組的組距△1表眾數(shù)組與其前一組的次數(shù)之差△2

表眾數(shù)組與其后一組的次數(shù)之差。

例：某市某年職工家庭收支的抽樣資料如下，求家庭月收入的眾數(shù)。某市職工家庭抽樣調(diào)查收入表

月收入（元）戶數(shù)1000-2000502000-30002503000-40003204000-50009505000-60002006000以上180解：眾數(shù)組為第四組M0=XL+

=4000+

=4456元利用以上公式計(jì)算眾數(shù)時(shí)，假定數(shù)據(jù)分布具有明顯的集中趨勢，并假定眾數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)是均勻分布的?！鞅姅?shù)的特點(diǎn)

眾數(shù)是一個(gè)位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個(gè)不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時(shí)，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時(shí)，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計(jì)算方法1.概念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。七、中位數(shù)Me⑴n為奇數(shù)時(shí)，則居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值

就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時(shí)，則中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)

平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計(jì)較大制累計(jì)26

3

3803110137732142767342754533618722641

880

8合計(jì)80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)較小制累計(jì)較大制累計(jì)

50–60

10

10164

60–70

19

29154

70–80

50

79135

80–90

36115

85

90–100

27142

49100-110

14156

22

110以上

8164

8合計(jì)164--下限公式（較小制累計(jì)時(shí)用）：式中，XL為中位數(shù)所在組的下限，fm為中位數(shù)所在組的頻數(shù)，d為中位數(shù)所在組的組距，Sm-1為中位數(shù)所在組以前各組的累積頻數(shù)上限公式（較大制累計(jì)時(shí)用）：①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②在總體各單位標(biāo)志值差異很大的情況下，中位數(shù)具有較強(qiáng)的代表性。3.中位數(shù)的特點(diǎn)f如圖：1.當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一,八、算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)之間的相互關(guān)系如圖：fX2.

當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時(shí)如圖：fX以上三種代表數(shù)各有優(yōu)缺點(diǎn)，也各有各的用處。各人從不同的角度出發(fā)會選取不同的代表數(shù)。例12比如，美國某廠職工的月工資數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：月工資數(shù)（美元）得此工資的人數(shù)100001（總經(jīng)理）80002（副總經(jīng)理）50002（助理）20005100012900188002370055002如何來選取該廠的月工資代表數(shù)呢？經(jīng)計(jì)算，平均值為1387美元，中位數(shù)為1000美元，眾數(shù)為800美元。工廠主為了顯示本廠的職工的收入高，用少數(shù)人的高工資來提高平均數(shù)，故采用1387美元。工會領(lǐng)導(dǎo)人則不同意，主張用眾數(shù)800美元（職工中以拿每月800美元的人最多）。而稅務(wù)官則希望取中位數(shù)，以便知道目前的所得稅率會對該廠的多數(shù)職工有利還是不利，以便尋求對策。我們常說“胸中有數(shù)”，但是究竟有些什么數(shù)，怎樣才能有合適的數(shù)，卻需要使用一些數(shù)據(jù)處理的知識才能做到合理、有效、準(zhǔn)確。這里所說的代表數(shù)僅是其中簡單的一例。九、正確應(yīng)用平均指標(biāo)的原則平均指標(biāo)只能運(yùn)用于同質(zhì)總體；與分組法相結(jié)合，用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。

商品類別甲店乙店店員人數(shù)月銷售額人均銷售店員人數(shù)月銷售額人均銷售棉布840000500013624004800綢緞呢絨21600080007525007500合計(jì)10560005600201149005745甲店各組的人均銷售額都比乙店高，但總的人均銷售額卻低于乙店，原因就在于甲店售價(jià)低的棉布類銷售額占的比重大，而乙店反之售價(jià)高的綢緞呢絨類銷售額占的比重大，使總的人均銷售額高于甲店。例如兩個(gè)紡織品商店銷售水平的情況比較可見，總平均數(shù)要受到各組結(jié)構(gòu)水平的影響，而組平均數(shù)不受這種影響，為此，需要用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。

平均數(shù)說明現(xiàn)象的一般水平，它經(jīng)常會掩蓋現(xiàn)象內(nèi)部生動(dòng)具體的情況，為了深刻分析問題，需要對被平均的標(biāo)志分組，編制分配數(shù)列深入分析現(xiàn)象內(nèi)部的具體情況，使我們的認(rèn)識更為深刻具體。例如，上例中，通過分組資料，說明甲店由于售價(jià)低的棉布類占了極大比重，影響了總平均水平。為了深入分析現(xiàn)象的內(nèi)部原因，有必要進(jìn)一步對甲店棉布組進(jìn)行具體分析，用分配數(shù)列考察詳細(xì)情況。

按月銷售額分組（元）店員人數(shù)3000--400014000--500025000--60005合計(jì)83）用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù)第二節(jié)數(shù)據(jù)分布離散程度的測度

數(shù)據(jù)分布的離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)特征，它所反映的是各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，也稱為離中趨勢。平均數(shù)只反映了一組數(shù)中各數(shù)據(jù)的共性，掩蓋了數(shù)據(jù)之間的差異性。數(shù)據(jù)分布的離散程度就是用來反映數(shù)據(jù)之間的差異性的。數(shù)據(jù)分布離散程度的測度就是找出能對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行分散程度描述的測度值-------------標(biāo)志變異指標(biāo)一、概念、作用和種類（一）概念：標(biāo)志變異指標(biāo)反映總體各個(gè)數(shù)據(jù)之間的差異程度，或者是遠(yuǎn)離其中心值的程度，因此，也稱為離中趨勢。

（二）作用：

1、其可以用于評價(jià)平均數(shù)的代表性大小。值越大，平均數(shù)的代表性就越差；值越小，平均數(shù)的代表性就越好。

鏈接高爾夫球2、標(biāo)志變動(dòng)度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。（投資風(fēng)險(xiǎn)）

供貨計(jì)劃完成百分比(%)季度總供貨計(jì)劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例(三)種類描述數(shù)據(jù)離散程度的測度值主要有極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)。二、極差（全距）R

1.離散程度的最簡單測度值2.易受極端值影響3.未考慮數(shù)據(jù)的分布加權(quán)

A.D=

三、平均差（A.D）

簡單A.D=

1.能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度2.計(jì)算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的演算，實(shí)際中應(yīng)用較少四、標(biāo)準(zhǔn)差(平方為方差)1、資料未分組時(shí)，用簡單標(biāo)準(zhǔn)差

=

數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值,反映了各變量值與均值的平均差異2、資料分組時(shí)，用加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

=例：有2個(gè)人希望在橄欖球隊(duì)中擔(dān)任發(fā)球手,教練要求他們每個(gè)人踢10個(gè)凌空球,各自的踢球距離如下,判斷誰會被選中。A:40、43、29、30、40、42、38、41、47、48B:40、43、35、47、35、34、41、39、40、44解：①求平均數(shù)②求標(biāo)準(zhǔn)差所以，B會被選中五、離散系數(shù)

有全距系數(shù)、平均差系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。但一般指標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。Vó=

當(dāng)數(shù)列之間的水平不同時(shí)，不能用前述指標(biāo)判斷，需要用離散系數(shù)?！纠?-2-3】有兩個(gè)班某次統(tǒng)計(jì)測驗(yàn)的成績?nèi)缦?，判斷哪個(gè)班平均成績的代表性更大。成績（分）A班人數(shù)（人）B班人數(shù)（人）

60以下3260-7010670-80262580-9091290-10025解：①求平均數(shù)②求標(biāo)準(zhǔn)差③求標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)所以，A班平均成績的代表性大。1、計(jì)算器求解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的方法2、運(yùn)用EXCEL進(jìn)行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述平均39.8標(biāo)準(zhǔn)誤差1.976529中位數(shù)40.5眾數(shù)40標(biāo)準(zhǔn)差6.250333方差39.06667峰度-0.02369偏度-0.70358區(qū)域19最小值29最大值48求和398觀測數(shù)10最大(1)48最小(1)29置信度(95.0%)4.471219一、判斷對錯(cuò)1、平均數(shù)反映變量分布的集中趨勢，變異指標(biāo)反映變量分布的離中趨勢。（）

2、調(diào)和平均數(shù)的大小與極端值的大小無關(guān)。（）3、不是所有的數(shù)列都可以計(jì)算眾數(shù)。（）4、如果數(shù)列A的標(biāo)準(zhǔn)差比數(shù)列B的標(biāo)準(zhǔn)差小，則數(shù)列A比數(shù)列B更均衡（）二、單項(xiàng)選擇題1、將某校各班按出勤率分組，已知各組出勤人數(shù)，要計(jì)算平均出勤率，則應(yīng)采用（）計(jì)算。

A、簡單算術(shù)平均數(shù)

B、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

C、簡單調(diào)和平均數(shù)

D、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)2、某商場2000年空調(diào)銷售量為6500臺，年末庫存為100臺，則這兩個(gè)總量指標(biāo)是（）。A、前者是時(shí)期指標(biāo)，后者是時(shí)點(diǎn)指標(biāo)B、前者是時(shí)點(diǎn)指標(biāo)，后者是時(shí)期指標(biāo)

C、時(shí)期指標(biāo)D、時(shí)點(diǎn)指標(biāo)

3、x的平均數(shù)為10，x平方的平均數(shù)為125，則

x的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A、5B、10C、25D、1004、已知數(shù)列甲和乙的平均數(shù)分別為8和12，標(biāo)準(zhǔn)差分別