北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)串講+題型專訓(xùn)專題08 全等三角形證明方法 一線三等角模型（原卷版）

專題08全等三角形證明方法——一線三等角模型基本模型：（1）條件：如圖，SKIPIF1<0是經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0頂點(diǎn)C的一條直線，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：SKIPIF1<0.（2）條件：如圖，直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0的外部，SKIPIF1<0，E、F分別是直線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（3）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.

（4）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0.（5）條件：如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論：SKIPIF1<0.例題精講：例1．【一線三等角模型】如圖1：點(diǎn)A、B、C在一條直線上，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0．理由：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣請(qǐng)將全等證明過(guò)程補(bǔ)充完整．【模型運(yùn)用】如圖2：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；【能力提升】如圖3：在等邊SKIPIF1<0中，A，C分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0內(nèi)作等邊SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)E向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，SKIPIF1<0的度數(shù)變化嗎？如不變請(qǐng)求出它的度數(shù)，如變化，請(qǐng)說(shuō)明它是怎樣變化的？

例2．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E．（1）當(dāng)直線SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；（2）當(dāng)直線SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：SKIPIF1<0；（3）當(dāng)直線SKIPIF1<0繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的等量關(guān)系．例3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)D在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)E．（1）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，SKIPIF1<0的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．例4．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，反向延長(zhǎng)線段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)①請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（填“＞”、“＜”、“＝”）②求證：SKIPIF1<0（2）如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上述①②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例5．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，SKIPIF1<0在直線l上方，SKIPIF1<0．（1）如圖1，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：SKIPIF1<0；（2）如圖2，D，A，E三點(diǎn)在直線l上，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為任意銳角或鈍角），猜想線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)B作直線l上的垂線，垂足為F，點(diǎn)D是SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線l與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G．求證：G是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

專練過(guò)關(guān)：1．如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是1.5m的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，點(diǎn)P在SKIPIF1<0上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．2．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．3．如圖，SKIPIF1<0為等邊三角形，點(diǎn)D為SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，先將三角板SKIPIF1<0角的頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合，平放三角板，再繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，三角板SKIPIF1<0角的兩邊分別與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖（2）所示．求證：SKIPIF1<0．4．如圖，把一塊直角三角尺SKIPIF1<0的直角頂點(diǎn)C放置在水平直線SKIPIF1<0上，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試回答下列問(wèn)題：（1）若把三角尺SKIPIF1<0繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0度；（2）在三角尺SKIPIF1<0繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，分別作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．（3）三角尺SKIPIF1<0繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蚶^續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．已知：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直線l過(guò)點(diǎn)A．（1）如圖1，SKIPIF1<0，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線l的垂線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為D，E．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E在直線l上，直接用等式表示線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系為．6．已知，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）如圖①，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系為，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說(shuō)明線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)A在線段SKIPIF1<0上以2cm/s的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段SKIPIF1<0上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．是否存在x，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）如圖1，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，猜想線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，點(diǎn)F為SKIPIF1<0平分線上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，分別連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0