人教版數學七年級下冊期末知識梳理+題型解題方法+專題過關專題05 不等式與不等式組（原卷版）

專題05不等式與不等式組【9個考點知識梳理+題型解題方法+專題訓練】考點一：不等式不等式的定義：用不等號連接的式子叫做不等式。常見的不等號：大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”。【考試題型1】判斷不等式【解題方法】根據不等式的定義式子中含有不等號且滿足不等關系則為不等式進行判斷。例題講解：1．（2022春?惠州期末）在下列數學表達式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考試題型2】列簡單的不等式【解題方法】根據語言描述的不等關系，以及常見的數學名詞所表示的不關系列出不等式即可。常見的數學名詞與不等關系有：正數＞0，負數＜0，非正數≤0，非負數≥0等。例題講解：2．（2022秋?港南區(qū)期末）在數軸上與原點的距離小于8的點對應的x滿足（）A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8考點二：不等式（組）的解與解集不等式解的定義：使不等關系成立的未知數的值是不等式的一個解。不等式的解集的定義：不等式的解有無數個，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。在數軸上表示不等式的解集：具體步驟：①確定不等式解集的邊界；②確定不等式邊界是實心圓還是空心圈，包含等于用實心圓，不包含等于則用空心圈。③確定方法，若大于則方向向右，小于則方向向左。不等式組的解集：不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式組的解集。不等式組的解集的情況：①同大取大；②同小取??；③大小小大去中間；④大大小小無解答。【考試題型1】判斷不等式的解【解題方法】將需要判斷的數帶入不等式中，判斷不等關系是否成立，成立則是，不成立則不是。例題講解：3．（2022春?運城期末）在﹣1，0，1，SKIPIF1<0中，能使不等式2x﹣1＜x成立的數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考試題型2】在數軸上表示不等式（組）的解集【解題方法】利用數軸上表示不等式解集的方法確定邊界，實心圓或空心圈以及方向表示出來即可。若是不等式組，則根據表示的情況確定不等式組的公共部分。例題講解：4．（2021秋?龍勝縣期末）不等式x≤﹣3的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（2022春?汝南縣期末）不等式組SKIPIF1<0的解集在數軸上可以表示為（）A． B． C． D．【考試題型3】根據數軸寫出所表示的解集【解題方法】根據數軸上表示解集的方法反過來進行判斷即可。同樣若是不等式組，則只需判斷公共部分。例題講解：6．（2022春?菏澤期末）如圖，數軸上表示不等式的解集是（）A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤47．（2021秋?西湖區(qū)期末）如圖，該數軸表示的不等式的解集為（）A．x＜2 B．x＞1 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2【考試題型4】根據不等式組的解集求值【解題方法】利用不等式組的解集的情況確定不等式組的解集中的未知字母的值或取值范圍，再根據確定的值與取值范圍求相應的值。例題講解：8．（2022春?保定期末）若不等式組SKIPIF1<0無解，則m的值可能（）A．7 B．6 C．3 D．59．（2022春?富縣期末）已知不等式組SKIPIF1<0的解集為﹣3＜x＜2，則（a+b）2021的值為（）A．﹣1 B．2021 C．1 D．﹣2021考點三：不等式的性質不等式的性質1：不等式的左右兩邊同時加上（減去）同一個數（式子），不等號的方向不發(fā)生改變。即：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0。不等式的性質2：不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個正數時，不等號的方向不發(fā)生改變。即：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0。不等式的性質3：不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個負數時，不等號的方向發(fā)生改變。即：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0或SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0。注意：在使用不等式的性質時無論是加減乘除都必須是同一個數（或式子）。乘除負數時一定要改變不等式符號的方向。不等式的傳遞性：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0?！究荚囶}型1】利用不等式的性質進行變形【解題方法】斷不等式的變形用了哪一個不等式的性質，不等號的是否需要進行變向，是否進行了變向。例題講解：10．（2022春?長治期末）已知兩個有理數a和b，滿足的關系是a＞b，則下列結論中，正確的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a﹣8＜b﹣8 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【考試題型2】利用不等式的變形求值【解題方法】根據不等式的變形情況判斷用了不等式的哪一個性質。通?？疾觳坏仁降男再|2和性質3的應用，若不等式的解得符號與不等式的符號不同，則用不等式的性質3，則系數小于0；若不等式的解的符號與不等式的符號相同，則用不等式的性質2，則系數大于0。例題講解：11．（2022春?江津區(qū)期末）若a＞b，且（m﹣3）a＜（m﹣3）b，則m的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022春?甘州區(qū)校級期末）如果關于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a的取值范圍是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1考點四：一元一次不等式的定義一元一次不等式的定義：含有1個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。判斷一元一次不等式：①只有一個未知數。②未知數項系數不能為0。③未知數次數一定為1?！究荚囶}型1】根據一元一次不等式的定義求未知系數的值【解題方法】通利用未知數的次數是1，未知數項的系數不能為0建立方程組求解即可。例題講解：13．（2022春?晉安區(qū)期末）若（m﹣1）x|m|﹣3＞0是關于x的一元一次不等式，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1考點五：解一元一次不等式具體步驟：第一步：去分母——不等式左右兩邊同時乘分母的最小公倍數。第二步：去括號。第三步：移項。第四步：合并。第五步：系數化為1。兩邊同時除以系數或乘以系數的倒數。若系數為正數，則不等號方向不變，若系數為負數，則不等號方向改變?！究荚囶}型1】解一元一次不等式【解題方法】根據解一元一次不等式的具有步驟逐步進行求解即可，注意每一步的方法細節(jié)。例題講解：14．（2022春?蓬萊市期末）當x同時滿足﹣x＝5a+3和不等式SKIPIF1<0成立時，求a的取值范圍．【考試題型2】利用解一元一次不等式求值【解題方法】根據解一元一次不等式的具體步驟進行求解，再根據求出的解與已知解相等或滿足的條件建立方程或建立不等式求解。例題講解：15．（2022春?關嶺縣期末）關于x的不等式SKIPIF1<0的解集如圖所示，則a的值是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5【考試題型3】利用不等式的解求另一個不等式的解【解題方法】通常不等式中都含有未知系數，通過已知不等式的解集求出未知系數之間的關系，在帶入所求不等式中求出解集。例題講解：16．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）若關于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜SKIPIF1<0，則關于x的不等式nx﹣n＞m+mx的解集是（）A．x＜﹣SKIPIF1<0 B．x＞﹣SKIPIF1<0 C．x＜SKIPIF1<0 D．x＞SKIPIF1<0【考試題型4】不等式與坐標象限【解題方法】根據象限內坐標的特點建立不等式，求解不等式即可。例題講解：17．（2022春?合江縣期末）已知點P（4m﹣8，1）在第二象限，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2【考試題型5】不等式的整數解【解題方法】按照解不等式得步驟解出不等式進行判斷即可例題講解：18．（2021秋?港南區(qū)期末）解不等式SKIPIF1<0，并寫出它的非負整數解．【考試題型6】根據不等式的整數解的個數求值【解題方法】把未知字母看作常數，根據解一元一次不等式的具體步驟進行求解，解集為關于未知字母的表達式，根據整數解得個數判斷表達式在哪兩個連續(xù)的整數之間建立不等式進行求值。若整數個數從左至右滿足，當原不等式的解集有等號時，則左邊的整數取等于，右邊不取等，若原不等式沒有等號時，則左邊的數不取等，右邊的數取等。若整數個數從右至左滿足，當原不等式組有等于時，則右邊的數取等，左邊的數不取等，若原不等式沒有等號時，則左邊的數不取等，左邊的數取等。例題講解：19．（2022春?八步區(qū)期末）若關于x的不等式3x﹣a≤2只有2個正整數解，則a的取值范圍為（）A．﹣7≤a＜﹣4 B．﹣7＜a≤﹣4 C．4＜a≤7 D．4≤a＜7【考試題型7】新定義運算與一元一次不等式【解題方法】根據定義運算法則列出一元一次不等式，在根據解不等式的方法進行求解例題講解：20．（2022春?通?？h期末）定義一種法則“?”如下：a?b＝SKIPIF1<0，如：1?2＝2，若（2m﹣5）?3＝3，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m≤4 C．m＜4 D．m≥4考點六：一元一次不等式組的定義幾個含有相同未知數的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。注意：一元一次不等式組中可以有多個一元一次不等式，但是只能有一個未知數?！究荚囶}型1】判斷一元一次不等式組【解題方法】根據定義含有多個一元一次不等式，但只有含有一個未知數進行判斷。例題講解：21．（2022春?招遠市期末）下列各式不是一元一次不等式組的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點七：解一元一次不等式組求不等式組的所有不等式的解集的公共部分即為不等式組的解集?！究荚囶}型1】解不等式組【解題方法】解出不等式組中的每一個不等式然后求其公共部分即可。例題講解：22．（2022春?羅湖區(qū)校級期末）解不等式組SKIPIF1<0．【考試題型2】根據不等式組的解得情況求不等式組中字母的值【解題方法】把未知字母看作常數進行求解，得到的解集為一個已知和一個含有字母的式子，再根據不等式組的解得情況：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解答進行判斷含有未知字母的式子與已知數的大小關系建立不等式求解。例題講解：23．（2022春?嵐山區(qū)期末）若關于x的不等式組SKIPIF1<0無解，則a的取值范圍是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1【考試題型3】解不等式組與坐標象限【解題方法】根據坐標象限的坐標特點建立不等式組，然后求解即可。例題講解：24．（2022春?滿城區(qū)校級期末）點P（m﹣1，2m+1）在第二象限，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣SKIPIF1<0或m＞1 B．﹣SKIPIF1<0＜m＜1 C．m＜1 D．m＞﹣SKIPIF1<0【考試題型4】不等式組的整數解個數【解題方法】解出不等式組進行判斷即可。例題講解：25．（2022春?蓬萊市期末）不等式組SKIPIF1<0的整數解的個數是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考試題型5】根據不等式組的整數解的個數求未知字母的值【解題方法】把未知字母看作常數進行求解，得到的解集為一個已知數和一個含有字母的式子，根據整數解得個數判斷表達式在哪兩個連續(xù)的整數之間建立不等式進行求值。若整數個數從左至右滿足，當原不等式的解集有等號時，則左邊的整數取等于，右邊不取等，若原不等式沒有等號時，則左邊的數不取等，右邊的數取等。若整數個數從右至左滿足，當原不等式組有等于時，則右邊的數取等，左邊的數不取等，若原不等式沒有等號時，則左邊的數不取等，左邊的數取等。例題講解：26．（2022春?榮昌區(qū)期末）若關于x的方程SKIPIF1<0的解為正數，且a使得關于y的不等式組SKIPIF1<0恰有兩個整數解，則所有滿足條件的整數a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3考點八：一元一次不等式（組）的應用具體步驟：①弄清題中數量關系，用字母表示未知數。②根據題中的不等關系列出不等式（組）。③解不等式（組），求出解集。④寫出符合題意的解。表達不等關系的關鍵詞：列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等詞來體現問題中的不等關系?！究荚囶}型1】由實際問題抽象不等式（組）【解題方法】找到題目中表達不等關系的關鍵詞，然后根據表達的不等關系建立不等式。例題講解：27．（2022春?金水區(qū)校級期末）北京2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜愛，某網店出售這兩種吉祥物禮品，售價如圖所示．小明媽媽一共買10件禮品，總共花費不超過900元，如果設購買冰墩墩禮品x件，則能夠得到的不等式是（）A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900 C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤90028．（2022春?叢臺區(qū)校級期末）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果．求這一箱蘋果的個數與小朋友的人數．若設有x人，則可列不等式組為（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【考試題型2】一元一次不等式（組）的實際應用【解題方法】根據一元一次不等式（組）解決實際應用題的具體步驟進行解答即可，注意未知數的取值范圍必須滿足問題的實際意義。例題講解：29．（2022春?清江浦區(qū)期末）某醫(yī)院準備派遣醫(yī)護人員協(xié)助西安市抗擊疫情，現有甲、乙兩種型號的客車可供租用，已知每輛甲型客車的租金為280元，每輛乙型客車的租金為220元，若醫(yī)院計劃租用6輛客車，租車的總租金不超過1530元，那么最多租用甲型客車多少輛？30．（2022春?思明區(qū)校級期末）隨著全國疫情防控取得階段性進展，各學校進一步做好疫情防控工作．為方便師生測體溫，某校計劃購買A、B兩種額溫槍．經調研得知：購買1個A型額溫槍和2個B型額溫槍共需800元，購買2個A型額溫槍和3個B型額溫槍共需1300元．（1）求每個A型額溫槍和B型額溫槍各多少元；（2）若該學校準備購買A、B兩種型號的額溫槍共50個（每種型號至少買一只）；要求總費用不超過12800元，則對購買A型號的額溫槍在數量上有什么要求？說明理由．（3）在（2）的條件下，若甲、乙兩商店以同樣價格出售這兩種型號的額溫槍，同時又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲店購買A型額溫槍按原價90%收費，B型額溫槍不優(yōu)惠；在乙店購買A型額溫槍不優(yōu)惠，但購買B型額溫槍按原價90%收費；則學校到哪家商店購買額溫槍花費少？【專題過關】一．不等式的定義（共2小題）1．（2023春?譙城區(qū)校級月考）下列是不等式的是（）A．﹣x＞1 B．x＝3 C．x﹣1 D．2x2．（2023春?西安月考）交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋洞的車高x（m）的范圍可表示為（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5二．不等式的解集（共4小題）3．（2023?南海區(qū)一模）在﹣2，﹣1，0，1，2這五個數中，是不等式2x+3＞0解的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋?淥口區(qū)期末）若不等式組SKIPIF1<0的解集為x＜m，則m的取值范圍為（）A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜15．（2022秋?株洲期末）已知不等式組SKIPIF1<0無解，則a的取值范圍為．6．（2023春?高明區(qū)月考）已知不等式組SKIPIF1<0的解集是﹣2＜x＜2，則ab＝．三．在數軸上表示不等式的解集（共4小題）7．（2023?東方一模）下列數軸中，表示x≥﹣3正確的是（）A． B． C． D．8．（2023春?南崗區(qū)校級月考）一個關于x的不等式的解集在數軸上表示如圖，則這個不等式的解集為．9．（2023?南湖區(qū)校級二模）將不等式組SKIPIF1<0的解集表示在數軸上，正確的是（）A． B． C． D．10．（2022秋?天元區(qū)校級期末）已知兩個不等式的解集在數軸上如圖表示，那么這個解集為（）A．x＞11 B．x≥﹣1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3四．不等式的性質（共2小題）11．（2023春?北碚區(qū)校級期中）若a＜b，c＜0，則下列結論正確的是（）A．﹣a＜﹣b B．SKIPIF1<0 C．a+c＞b+c D．ac2＞bc212．（2023春?渝中區(qū)校級月考）已知a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3 C．am＞bm D．a（c2+1）＞b（c2+1）五．一元一次不等式的定義（共2小題）13．（2023春?新城區(qū)校級月考）下列式子：①7＞4；②3x≥2x+1；③x+y＞1；④x2+3≤2x中，是一元一次不等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2023春?譙城區(qū)校級月考）若關于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，則a的值（）A．﹣1 B．1或﹣SKIPIF1<0 C．﹣1或﹣SKIPIF1<0 D．﹣SKIPIF1<0六．解一元一次不等式（共2小題）15．（2023春?順德區(qū)校級期中）不等式2x+1≥x的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．16．（2023春?永安市期中）如表是小彬求解一元一次不等式及自我檢查的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解答過程自我檢查解：去分母，得10﹣5（x+1）＞2（x﹣3）．…第一步去括號，得10﹣5x﹣5＞2x﹣6．…第二步移項，得﹣5x+2x＞10+5﹣6．…第三步合并同類項，得﹣3x＞﹣9．…第四步系數化為1，得x＜3．…第五步第一步正確，其依據是；第二步符合去括號法則，也正確；第三步出錯了?。?）第一步的依據是不等式的一條性質，請寫出這一性質的內容：（2）第三步出錯的原因是：；（3）請從第三步開始，寫出正確解答過程．七．一元一次不等式的整數解（共3小題）17．（2023?雁塔區(qū)校級四模）解不等式：SKIPIF1<0，并寫出該不等式的正整數解．18．（2023春?膠州市期中）已知關于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式SKIPIF1<0的最小整數解，求a的值．19．（2023春?宿州月考）已知關于x的不等式（a+1）x＜3的自然數解有且只有一個，試求a的取值范圍．八．一元一次不等式組的定義（共1小題）20．（2022?豐順縣校級開學）下列不等式組為一元一次不等式組的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0九．解一元一次不等式組（共4小題）21．（2023?聊城一模）不等式組SKIPIF1<0的解集是（）A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤322．（2023?豐潤區(qū)模擬）不等式組SKIPIF1<0的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．23．（2023春?北碚區(qū)校級期中）解下列不等式組：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．24．（2023春?嘉祥縣月考）從﹣2，﹣1，0，1，2這5個數中，選一個數a，使關于x的不等式組SKIPIF1<0有解，且使關于x的一元一次方程SKIPIF1<0的解為負數，求a的值．十．一元一次不等式組的整數解（共5小題）25．（2023?驛城區(qū)校級二模）不等式組SKIPIF1<0的正整數解的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個26．（2023春?北碚區(qū)校級期中）若關于x的不等式組SKIPIF1<0最多有2個整數解，且關于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解為非正數，則符合條件的所有整數k的和為（）A．13 B．18 C．21 D．2627．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若關于x的不等式組SKIPIF1<0有解且至多有4個整數解，且多項式x2﹣（1﹣m）能在有理數范圍內因式分解，則符合條件的整數m的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．428．（2023?巧家縣一模）若關于x的一元一次方程SKIPIF1<0有正整數解，且使關于x的不等式組SKIPIF1<0至少有4個整數解，則滿足所有條件的整數a的個數為（）A．5 B．4 C．3 D．229．（2023春?渝中區(qū)校級月考）如果關于y的方程SKIPIF1<0有非負整數解，且關于x的不等式組SKIPIF1<0的解集為x≥1，則所有符合條件的整數a的和為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12十一．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共2小題）30．（2023春?廣西月考）某數的3倍大于2，它的2倍不大于1，設某數為