由三棱錐體積公式的推導(dǎo)談割補(bǔ)法

由三棱錐體積公式的推導(dǎo)談割補(bǔ)法山東省成武第一中學(xué)劉東昌《立體幾何》在推導(dǎo)三棱錐體積公式時(shí)，用了這樣一種方法：以要求體積的三棱錐為基礎(chǔ)幾何體，將三棱錐補(bǔ)成與它等高同底的三棱柱，而所得三棱柱體積易求，且三棱柱與三棱錐之間體積關(guān)系明顯，通過這一補(bǔ)一割，達(dá)到了迅速解題之目的，這種處理有關(guān)多面體體積計(jì)算或證明的方法，我們不妨稱之為割補(bǔ)法。在多面體的體積計(jì)算或證明時(shí)，如果所給條件，直接應(yīng)用有關(guān)公式較困難時(shí)，我們常將已知多面體分割成幾部分或以已知幾何體為基礎(chǔ)補(bǔ)成應(yīng)用公式的幾何體。最后，理清幾何體整體與部分的關(guān)系，以達(dá)到解題目的。例1已知：在斜三棱柱中，側(cè)面的面積為，頂點(diǎn)到該側(cè)面距離為.求證：斜三棱柱體積證明1：連，則被，且有，，所以，由已知，所以.證明2過作平行連以作，則，又，側(cè)面面積為，到距離為，所以。所以例2（1993年高考（文））正方體棱長(zhǎng)為,分別為與之中點(diǎn)，求四棱錐的體積.解法1分割法，如圖3，連，則四棱錐被分成兩個(gè)三棱錐和,且有,又=，所以.解法2補(bǔ)形法，如圖4，延長(zhǎng)至，使連,,取中點(diǎn),連，,則多面體為與四棱錐等高同底的平行六面體，所以，，又=，所以.三棱錐的任何一個(gè)面都可以作底面，把所研究幾何分割成三棱錐后，選擇恰當(dāng)?shù)拿娈?dāng)?shù)酌妫苯佑绊懼?jì)算繁簡(jiǎn).此外，平行六面體的底面也具有相對(duì)性，解題要注意.例3（1987年高考）三棱錐證法1分割法，如圖5，連,則三棱錐被分割為兩個(gè)三棱錐和，有,為與的公垂線且，所以,.證法2補(bǔ)形法，如圖6，過作平行且等于，連，則，因所以則。因所以，則有兩異面直線距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以通過幾何體的割與補(bǔ)，可將分散條件轉(zhuǎn)化到元素相對(duì)集中的幾何體來研究，便于計(jì)算和論證。例4四面體中，各對(duì)棱相等，分別為且滿足以為邊可構(gòu)成一銳角三角形，求此四面體體積分析從題目所給條件，直接求體積較困難，從“對(duì)棱相等”“可構(gòu)成銳角三角形”，可知可將四面體補(bǔ)成如圖7所示長(zhǎng)方體，其中為長(zhǎng)方體的三面體對(duì)角線長(zhǎng)，四面體的體積為長(zhǎng)方體與四小三棱錐體積之差解略，三棱錐的體積公式推導(dǎo)雖然簡(jiǎn)單，但推導(dǎo)過程中，所