高中數(shù)學(xué)基本不等式專題均值不等式分類解析

基本不等式專項(xiàng)分類解析1、基本不等式原始形式（1）若，則（2）若，則2、基本不等式普通形式（均值不等式）若，則3、基本不等式的兩個(gè)重要變形（1）若，則（2）若，則特別闡明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、慣用結(jié)論（1）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（2）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（3）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）（4）若，則（5）若，則注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，能夠求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，能夠求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范疇、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用．題型一：運(yùn)用基本不等式證明不等式1、設(shè)均為正數(shù)，證明不等式:≥2、已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：3、已知，求證：已知，且，求證：已知，且，求證：題型二：運(yùn)用不等式求函數(shù)最值、值域1、求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）辦法一、湊項(xiàng)1、已知，求函數(shù)的最小值；變式1：已知，求函數(shù)的最小值；變式2：已知，求函數(shù)的最大值；練習(xí)：1、已知，求函數(shù)的最小值；2、已知，求函數(shù)的最大值；辦法二、湊系數(shù)1、當(dāng)時(shí)，求的最大值；變式1：當(dāng)時(shí)，求的最大值；變式2：設(shè)，求函數(shù)的最大值。2、若，求的最大值；變式：若，求的最大值；3、求函數(shù)的最大值；（提示：平方，運(yùn)用基本不等式）變式：求函數(shù)的最大值；辦法三、巧用“1”的代換求最值問(wèn)題1、已知，求的最小值；變式1：已知，求的最小值；變式2：已知，求的最小值；變式3：已知，且，求的最小值。變式4：已知，且，求的最小值；變式5：（1）若且，求的最小值；（2）若且，求的最小值；變式6：已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)，使得，求的最小值；辦法四、分離換元法求最值1、求函數(shù)的值域；變式：求函數(shù)的值域；2、求函數(shù)的最大值；（提示：換元法）變式：求函數(shù)的最大值；辦法五、換元例1.求的值域。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，普通直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再運(yùn)用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值。辦法六、在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的狀況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。練習(xí)1．求下列函數(shù)的最小值，并求獲得最小值時(shí)，x的值.2．已知，求函數(shù)的最大值.；3．，求函數(shù)的最大值.辦法七、已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.點(diǎn)評(píng)：①本題考察不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式出發(fā)求得的范疇，核心是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范疇.變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。辦法八、取平方1、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.變式:求函數(shù)的最大值。題型三：基本不等式的綜合應(yīng)用1、已知，求的最小值2、（天津）已知，求的最小值；變式1：如果，求有關(guān)的體現(xiàn)式的最小值；變式2：（湖北武漢診療）已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，求的最小值；3、已知，，求最小值；變式1：已知，滿足，求范疇；變式3：（浙江）已知，，求最大值；基本不等式練習(xí)題（1）1、若實(shí)數(shù)x，y滿足，求xy的最大值2、若x>0,求的最小值;3、若，求的最大值4、若x<0,求的最大值5、求(x>5)的最小值.6、若x，y，x+y=5，求xy的最值7、若x，y，2x+y=5，求xy的最值8、已知直角三角形的面積為4平方厘