高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修1 3.3 拋物線 解答題綜合卷章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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3.3拋物線解答題綜合卷

一、解答題

1．（2023高二上·淮安期中）已知雙曲線

的離心率為

，拋物線

（

）的焦點(diǎn)為

，準(zhǔn)線為

，

交雙曲線

的兩條漸近線于

、

兩點(diǎn)，

的面積為8.

（1）求雙曲線

的漸近線方程；

（2）求拋物線

的方程.

2．（2023高二上·河北期中）拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，l與x軸交于點(diǎn)P．

（1）若，求l的方程；

（2）若，求．

3．（2023高二上·保定期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于，兩點(diǎn)．

（1）若，求的方程．

（2）以，為切點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，證明：兩條切線的交點(diǎn)一定在定直線上，且．

4．（2022高三上·西寧期末）已知拋物線與直線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若的面積為，求直線l的方程.

5．（2022高二上·富平期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)到軸的距離為3.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與圓和拋物線均相切，求實(shí)數(shù)的值.

6．已知拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求；

（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：為直角.

7．（2023高三上·南京月考）已知拋物線：，點(diǎn)，直線過點(diǎn)M且與拋物線交于A，B兩點(diǎn).

（1）若，直線的斜率為2，求的長(zhǎng)；

（2）在軸上是否存在異于點(diǎn)M的點(diǎn)N，對(duì)任意的直線，都滿足若存在，指出點(diǎn)N的位置并證明，若不存在請(qǐng)說明理由.

8．（2023高三上·江西月考）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，過點(diǎn)作兩條斜率為，的直線，分別與該拋物線交于，與，兩點(diǎn)，且，．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．

9．（2023高三上·金臺(tái)月考）過點(diǎn)的任一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．

（1）求的值．

（2）已知為拋物線上的兩點(diǎn)，分別過作拋物線的切線，且，求證：直線過定點(diǎn)．

10．（2023高二上·浙江月考）已知拋物線過點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2.直線過點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，求.

11．（2023高二上·商丘）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.

12．（2023高二上·長(zhǎng)春月考）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6．

（1）求的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程．

13．（2023高二上·淮安期中）在①；②；③軸時(shí)，

這三個(gè)條件中任選個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.問題：已知拋物線

的焦點(diǎn)為

，點(diǎn)

在拋物線

上，且____.

（1）求拋物線

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若直線

與拋物線

交于

兩點(diǎn)，求

的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

14．（2023高二上·三明期中）已知拋物線，直線交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)，且與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，都有拋物線C的焦點(diǎn)F在以為直徑的圓內(nèi)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

15．（2023高二上·常州期中）設(shè)拋物線

的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過x軸正半軸上點(diǎn)M(m，0)的直線l交r于不同的兩點(diǎn)A和B.

（1）若|FA|=3，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）若m=2，求證：原點(diǎn)O總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部；

（3）若|FA|=|FM|，且直線，與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，問：△OAE的面積是否存在最小值若存在，求出最小值，并求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

16．（2023高二上·牡丹江月考）已知斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，若.

（1）求拋物線方程；

（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為拋物線上異于原點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為，當(dāng)時(shí)，求證：直線過定點(diǎn).

17．（2023高三上·廣東月考）已知圓的圓心為，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）不過原點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.

18．（2023高三上·遼寧月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．

19．（2023高二上·溫州期中）已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程及的值；

（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，且，求的最小值并證明直線過定點(diǎn)．

20．（2023高二上·浙江期中）如圖，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn).

（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.

21．（2023高二上·山東月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線于的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于，且，求．

22．（2023高二上·山西月考）已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)，且與直線相切，圓心C的軌跡為E．

（1）求E的方程；

（2）已知直線l交E于P，Q兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)最大時(shí)，求直線l的方程．

23．（2023高二上·重慶市月考）已知為拋物線：的焦點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線的方程．

24．（2023高二上·衡陽(yáng)月考）已知拋物線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，，若直線過定點(diǎn)．證明：為定值．

25．（2023高二上·浦城期中）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且直線過的外心，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．

26．（2023·寧波模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是以為圓心，半徑為1的圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為5．

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA，OB分別交直線于S，T兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記直線l，直線FS，直線FT的斜率分別為，，，若是，的等比中項(xiàng)，求k的值．

27．（2023高二上·肇東月考）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)過焦點(diǎn)F的的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，且拋物線在兩點(diǎn)處的切線分別交x軸于兩點(diǎn)，求的取值范

28．（2023高二上·楚雄月考）若動(dòng)點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，且滿足到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）曲線與過點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn).若和的斜率之和為，求直線的方程.

29．（2023高二上·河北月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知，不垂直于坐標(biāo)軸的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若平分，問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

30．（2023高二上·縉云月考）已知拋物線上兩點(diǎn)、，焦點(diǎn)滿足，線段的垂直平分線過.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線，使得拋物線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都為，求直線的方程.

答案解析部分

1．【答案】（1）由題意，雙曲線的離心率為，

可得，解得，可得，

所以雙曲線的漸近線方程為；

（2）由拋物線，可得其準(zhǔn)線方程為，

代入雙曲線漸近線方程得，，

所以，

則，解得，

所以拋物線的方程為．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求出

，再由漸近線方程代入計(jì)算出結(jié)果即可。

(2)由拋物線的方程即可求出準(zhǔn)線的方程，再結(jié)合已知條件求出雙曲線的漸近線方程，從而得出

，然后由把結(jié)果代入到三角形的面積公式由此計(jì)算出P的值，從而得出拋物線的方程。

2．【答案】（1）解：設(shè)，則，兩式相減得．

因?yàn)榫€段中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1，所以．

又，所以，

所以線段的中點(diǎn)為，故直線l的方程為，即

（2）解：設(shè)l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，

則，

因?yàn)?，所以，則，

故|．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)差法計(jì)算出直線的斜率，再由弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件計(jì)算出，把數(shù)值代入到中點(diǎn)的坐標(biāo)公式結(jié)合點(diǎn)斜式求出直線的方程即可。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于t的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由弦長(zhǎng)公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

3．【答案】（1）解：由題意得，設(shè)直線的方程為，，，

聯(lián)立消元得，所以，．

因?yàn)椋?/p>

由題設(shè)知，解得，所以的方程為．

（2）解：設(shè)與拋物線相切的切線方程為，

則化簡(jiǎn)得．

由，可得．

將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得，，

所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，

聯(lián)立方程組可得，，

所以交點(diǎn)在定直線上．

當(dāng)時(shí)，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，，則，所以．

綜上所述，．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由點(diǎn)斜式求出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，由韋達(dá)定理計(jì)算出兩根之和與兩根之積的值，然后由弦長(zhǎng)公式整理計(jì)算出t的取值，由此得出直線的方程。

(2)首先設(shè)出切線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消元后得到關(guān)于y的方程，由一元二次方程跟的情況，求解出m的取值，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到斜率的坐標(biāo)公式計(jì)算出，從而得出線線垂直。

4．【答案】（1）設(shè)，，

聯(lián)立方程組得，

則，.

由，得.

因?yàn)椋?/p>

，

所以，

所以，故拋物線C的方程為.

（2）由（1）知，，

所以

.

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離，

所以，

所以，

故直線l的方程為或.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于P的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由共線向量的坐標(biāo)公式代入整理計(jì)算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意再把，代入到弦長(zhǎng)公式，由點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式整理化簡(jiǎn)計(jì)算出k的取值，由此即可得出直線的方程。

5．【答案】（1）解：設(shè)，，.

則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

由題意知，則，

如圖，分別過點(diǎn)、作準(zhǔn)線的垂線，垂足為、，根據(jù)拋物線的定義可知，，，

又，所以，所以，

所以，拋物線的方程為：.

（2）解：因?yàn)閳A圓心為，半徑為，直線，即與圓相切，

，即有①

聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，

因?yàn)橹本€與拋物線相切，

所以，得②，

聯(lián)立①②，解得或，

即實(shí)數(shù)的值為.

【解析】【分析】（1）設(shè)，，，由已知可得，即，即可求出，進(jìn)而得拋物線的方程；

（2）根據(jù)直線與圓相切可得，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)直線與拋物線相切可得，即可推出，聯(lián)立兩式，即可求出實(shí)數(shù)的值.

6．【答案】（1）將代入，有，

設(shè)，易知，

可得，

而，

即.

（2）設(shè)，直線，

將代入，易知，

故，

而

故.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出兩根之和與兩根之和關(guān)于p的代數(shù)式，然后由弦長(zhǎng)公式結(jié)合拋物線的定義代入計(jì)算出p的取值即可。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線圓的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標(biāo)公式整理化簡(jiǎn)計(jì)算出，從而即可得出線線垂直，從而即可得出答案。

7．【答案】（1）由題意可知直線：，

由得或.

所以，，

所以.

（2）存在軸上的點(diǎn)滿足題意，證明如下：

設(shè)直線：，

由得.

設(shè)，，則，.

.

所以，可知AN，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以.

所以為的角平分線，

由正弦定理：，，

兩式相除得，

綜上，存在軸上的點(diǎn)滿足題意.

【解析】【分析】(1)由已知條件即可設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由此計(jì)算出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出弦長(zhǎng)即可。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m和a的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡(jiǎn)由此計(jì)算出，從而得出，結(jié)合正弦定理整理化簡(jiǎn)即可得出，從而得證出結(jié)論。

8．【答案】（Ⅰ）由拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，

所以，解得，

故拋物線的方程為；

（Ⅱ）設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，

可得，

設(shè)，，

則，，

所以

，

點(diǎn)到直線的距離為，

所以，

同理可得，

因?yàn)?，?/p>

所以，

整理可得：，即，所以，

所以，

由可得，

即，即，所以，

綜上所述，的取值范圍為．

【解析】【分析】(1)由拋物線的定義以及點(diǎn)在拋物線上，列出方程組，求解出p，即可得到拋物線的方程；

(2)設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式分別求出|AB|和點(diǎn)F到直線的距離d，求出△FAB的面積，同理求出△PCD的面積，由題意列出關(guān)系式，結(jié)合判別式大于0，求解出t的范圍.

9．【答案】（1）設(shè)，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，

整理可得

所以，，

所以，

所以，

（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，

設(shè)，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為

從而同理，

因?yàn)?，所以，即?/p>

又，

從而直線的方程為：，

將代入化簡(jiǎn)得：，

所以，直線恒過定點(diǎn)．

【解析】【分析】(1)首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于P的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)公式整理化簡(jiǎn)即可求出p的值。

(2)根據(jù)題意由拋物線的方程，再對(duì)其求導(dǎo)，并把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算出切線的斜率，由此即可求出切線的方程，同理即可求出兩條直線的斜率，由此計(jì)算出即結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式代入計(jì)算出的取值，由此即可求出直線MN的方程，并把結(jié)果代入到直線的方程整理化簡(jiǎn)即可求出直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)。

10．【答案】解：（Ⅰ）由題意，∵，解得，

拋物線方程為；

（Ⅱ）設(shè)，則，兩式相減得，

∴，∵的中點(diǎn)是，∴．

∴直線方程為，即，

由，解得，，

∴．

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合代入法和拋物線的定義，從而解方程組求出p和m的值，進(jìn)而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)，再利用代入法得出，兩式相減得出，再利用兩點(diǎn)求斜率公式得出直線AB的斜率為，再利用的中點(diǎn)是結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出直線AB的斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式求出直線方程，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)距離公式得出A，B兩點(diǎn)的距離。

11．【答案】（1）因拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則p=1，

所以C的方程為.

（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，直線AB的方程為y=2x+m，設(shè)，

由消去x得：，由題意知，得，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，再由，可得，

又點(diǎn)N在直線l上，則，于是，從而有，

所以l在y軸上的截距的取值范圍為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義由已知條件計(jì)算出P的取值，由此即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中的的坐標(biāo)公式計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把結(jié)果代入直線的方程，結(jié)合題意計(jì)算出，從而即可得出答案。

12．【答案】（1）解：由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，

∴拋物線定義知：，又，解得，；或.

∴，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，或，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：由（1）和知，拋物線為，則，

設(shè)，，

根據(jù)點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，可得：，即，由點(diǎn)Q為拋物線C上，所以，即，即，所以中點(diǎn)的軌跡方程為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可；

(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用相關(guān)點(diǎn)法，結(jié)合拋物線方程求解即可.

13．【答案】（1）解：選擇條件①.由拋物線的定義可得.

因?yàn)?，所以，解?

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

選擇條件②.因?yàn)?，所以，?/p>

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即，解得，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

選擇條件③.當(dāng)軸時(shí)，，所以.

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）解：設(shè)，，由（1）可知.

由，消去得，

則，，

所以，

又，，所以，

故.

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，

所以的面積為.

【解析】【分析】(1)選擇條件①，由拋物線的定義結(jié)合已知條件即可求出P的取值，從而得出拋物線的方程。選擇條件②，根據(jù)題意即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線的方程由此計(jì)算出P的取值，由此即可得出拋物線的方程。

(2)由已知條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后的得出關(guān)于x的方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出

，

，再把結(jié)果代入到弦長(zhǎng)公式由此計(jì)算出

的值，從而即可得出

的取值，然后由點(diǎn)到直線的距離公式再結(jié)合三角形的面積公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

14．【答案】（1）設(shè)，

由得，，則，由題意，，

所以拋物線方程為；

（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

由得，，時(shí)直線與拋物線沒有兩個(gè)交點(diǎn)，

由，因?yàn)?，恒成立?/p>

設(shè)，則，

焦點(diǎn)F在以為直徑的圓內(nèi)，則，，

，

恒成立，因?yàn)?，所以，?/p>

所以．

所以存在滿足題意正數(shù)，且．

【解析】【分析】(1)聯(lián)立拋物線與直線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；

(2)首先由于過點(diǎn)的直線與開口向右的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，則設(shè)該直線的方程為然后與拋物線方程聯(lián)立方程組，進(jìn)而通過消元轉(zhuǎn)化為一元_二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式等價(jià)轉(zhuǎn)化，最后通過m、k的不等式求出m的取值范圍.

15．【答案】（1）設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，焦點(diǎn)，

因?yàn)椋?，所以?/p>

（2），所以設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：

，

設(shè)，則，

，

且，所以為鈍角，

由圓的性質(zhì)可得原點(diǎn)O總在以線段AB為直徑的圓的內(nèi)部

（3）不妨設(shè)，因?yàn)椋?/p>

所以或（舍去），

，，因?yàn)橹本€，所以直線的斜率也為，

設(shè)該直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，

因?yàn)榕c拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，所以有，

此時(shí)，所以，，

的面積為

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，

所以解得，，

因此的面積存在最小值2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，結(jié)合已知條件代入計(jì)算出點(diǎn)a的坐標(biāo)即可。

(2)由m的取值即可求出直線的方程，再聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出

，再把結(jié)果代入到數(shù)量積的坐標(biāo)公式，整理化簡(jiǎn)計(jì)算出結(jié)果，由此即可得出結(jié)論。

16．【答案】（1）解：直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

則得，所以，

則，解得，故拋物線方程為.

（2）證明：設(shè)、，

若直線垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，

所以，，

又，解得，

故直線的方程為，，滿足題意.

因此，直線過定點(diǎn).

【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再設(shè)點(diǎn)、，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理，得出，再利用拋物線定義結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得出，進(jìn)而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)、，若直線垂直于軸時(shí)，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理，得出，，再利用兩點(diǎn)求斜率公式結(jié)合已知條件得出t的值，從而求出直線的方程為，再結(jié)合判別式法得出，滿足題意，進(jìn)而證出直線過定點(diǎn)。

17．【答案】（1）易知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，

依題意，

所以點(diǎn)軌跡是一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，

設(shè)該橢圓的方程為，

則，

，

故點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）易知直線1的斜率存在，

設(shè)直線1：，

由得：，

，

即①又，

故，將，代，

得：，

將②代入①，得：，

即，

即，即，

且，

即的取值范圍為或.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及定義，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理即可得出點(diǎn)軌跡是一個(gè)橢圓，結(jié)合已知條件計(jì)算出a、b、c的取值，由此即可得出橢圓的方程。

(2)由已知條件對(duì)斜率分情況討論，設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后即可得到關(guān)于x的方程，由韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標(biāo)公式代入整理化簡(jiǎn)即可得出k的取值范圍。

18．【答案】（1）拋物線的準(zhǔn)線：，于是得，解得，

而點(diǎn)在上，即，解得，又，則，

所以的坐標(biāo)為，的方程為.

（2）設(shè)，直線的方程為，

由消去x并整理得：，則，，，

因此，，

化簡(jiǎn)得，即，代入方程得，即，則直線過定點(diǎn)，

所以直線過定點(diǎn).

【解析】【分析】(1)由拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及弦長(zhǎng)公式，即可求出然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算出P的值即可，由此即可得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m和h的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再由斜率的坐標(biāo)公式整理化簡(jiǎn)計(jì)算出，結(jié)合已知條件即可得出直線的方程由此即可得出直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)。

19．【答案】（1）解：依題意，點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，∴拋物線的方程為．

（2）解：設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，消去x得，

．

，解得或2（舍）

，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.

∴t＝3或t＝－1（舍）

所以的最小值為，直線l：x＝my＋3恒過定點(diǎn)（3，0）．

【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，解出p，可得拋物線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，再利用均值不等式解得最值，得到直線的定點(diǎn)。

20．【答案】（1）解：因點(diǎn)在拋物線上，故有，所以，從而拋物線的方程為.

直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，

聯(lián)立，可得，解得（舍去），或，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由為線段的中點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在拋物線上，所以，即.

的面積

.

所以，當(dāng)，即或時(shí)，的面積取得最大值，最大值為2.

【解析】【分析】（1）求出拋物線的方程，可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得出點(diǎn)B，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得出，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.

21．【答案】（1）解：由題意可知，則

所以的面積，解得，

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：易知直線斜率存在，設(shè)直線為，設(shè)

聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得①

由得，②

由①②可解得，

由弦長(zhǎng)公式可得

【解析】【分析】(1)由已知條件即可得出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角形的面積公式，代入數(shù)值計(jì)算出P的取值，從而即可得出拋物線的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由向量的坐標(biāo)公式代入整理化簡(jiǎn)計(jì)算出斜率的取值，并把數(shù)值代入到弦長(zhǎng)公式計(jì)算出結(jié)果即可。

22．【答案】（1）解：由題設(shè)知點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到直線的距離，

所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，

故E的方程為.

（2）解：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

兩式作差得，

則，

則直線l的方程為，聯(lián)立，

得，

所以，

，

所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，

此時(shí)直線l的方程為或．

【解析】【分析】（1）由已知條件得出點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到直線的距離，再利用拋物線的定義得出點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用分類討論的方法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式作差結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，進(jìn)而得出直線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，再利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合韋達(dá)定理，得出，再利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的圖象求最值的方法，進(jìn)而求出的最大值，從而求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程。

23．【答案】（1）因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)為，

所以，解得，

故的方程為．

（2）設(shè)，則

兩式相減得，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以．

故直線l的方程為：y-=（x-1），即y=x-.

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合拋物線焦點(diǎn)求解方法，進(jìn)而求出p的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）利用直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程結(jié)合作差法，再利用兩點(diǎn)求斜率公式和韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從而求出直線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程。

24．【答案】（1）解：∵點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，

∴點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，

∴點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)與焦點(diǎn)所在線段的中垂線上，

所以，解得，即拋物線方程為；

（2）解：設(shè)，，

則，，設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立方程得，則，，

∴．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而即可得出點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)與焦點(diǎn)所在線段的中垂線上，結(jié)合題意代入數(shù)值計(jì)算出P的取值即可。

(2)首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由斜率的坐標(biāo)公式結(jié)合點(diǎn)斜式即可求出直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元后得到關(guān)于y的方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出兩根之和與兩根之積的關(guān)于m的代數(shù)式，代入數(shù)值整理化簡(jiǎn)計(jì)算出結(jié)果即可。

25．【答案】（1）由題意到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，，，

拋物線方程即點(diǎn)軌跡方程是．

（2）因?yàn)橹本€過的外心，所以，的斜率一定存在，

設(shè)方程為，代入拋物線方程得，或，

所以，，即，同理得，

直線方程為，整理得，

時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)．

【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義即可得曲線的方程；

(2)的斜率一定存在，設(shè)方程為，代入拋物線方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式寫出直線AB方程，由此證得直線過定點(diǎn)．

26．【答案】（1）因?yàn)椋?，圓的半徑，所以，

易知，即，得，

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意，直線l的方程為，聯(lián)立

化簡(jiǎn)得（），

所以

由，即，得，結(jié)合，知．

記，，直線OA方程為（顯然）．

由得，

而．

同理可得．

因?yàn)?k是，的等比中項(xiàng)，所以，

代入得，

即

化簡(jiǎn)得，

結(jié)合，解得．

所以k的值為或．

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由拋物線的定義結(jié)合圓的幾何意義，計(jì)算出，由此得出P的值，從而得出拋物線的方程。

(2)由設(shè)而不求法設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標(biāo)公式代入整理計(jì)算出斜率關(guān)于k的代數(shù)式，整理化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于k的方程，求解出k的取值即可。

27．【答案】（1）解：已知到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10.

∵拋物線的準(zhǔn)線為，∴，

解得，∴拋物線的方程為.

（2）由已知可判斷直線