貴州六盤(pán)水育才中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

貴州六盤(pán)水育才中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°2．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.3．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.5．已知集合，，則A. B.C. D.6．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假7．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.8．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. B.C. D.9．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線，與圓在第一象限的交點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.310．已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的x∈R，均有，則（）A.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)<f(0) B.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)<f(0)C.e－2021f(－2021)>f(0)，e2021f(2021)>f(0) D.e－2021f(－2021)<f(0)，e2021f(2021)>f(0)11．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.12．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）.A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值是___14．已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答.已知數(shù)列滿(mǎn)足___________，求的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案解答計(jì)分.15．不等式的解集是_______________16．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)19．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.21．（12分）已知直線和的交點(diǎn)為P，求：（1）過(guò)點(diǎn)P且與直線垂直的直線l的方程；（2）以點(diǎn)P為圓心，且與直線相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；（3）從下面①②兩個(gè)問(wèn)題中選一個(gè)作答，①若直線l過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程②求圓心在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)的圓的方程注：如果選擇兩個(gè)問(wèn)題分別作答，按第一個(gè)計(jì)分22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以?xún)A斜角為30°.故選：D2、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.3、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.4、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)5、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.7、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時(shí)，.本題選擇C選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程問(wèn)題，橢圓中的最值問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、D【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題9、C【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到是直角三角形，然后由雙曲線的定義及勾股定理可求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，又因?yàn)樵谥?，，所以是直角三角形，?由雙曲線定義知，又因?yàn)?，所?在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，所以.故選：C.10、D【解析】通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，即.故選：D11、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問(wèn)題.12、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來(lái)，利用古典概型的計(jì)算公式，把，，算出來(lái)，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】?jī)擅队矌?，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會(huì)出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯(cuò)誤，BCD正確故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】構(gòu)造全等三角形，結(jié)合雙曲線定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如下所示：因?yàn)槠椒?，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點(diǎn)，故可得；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點(diǎn)到直線距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于通過(guò)幾何關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡方程，屬中檔題.14、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）利用得出的遞推關(guān)系，變形后可證明是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，然后再除以得到新數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得；（2）選①，直接求出，用錯(cuò)位相減法求和；選②，求出，用分組（并項(xiàng)）求和法求和；選③，求出，用裂項(xiàng)相消法求和【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，兩式相減得，.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又，故，于是，所以是?為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列.所以，兩邊除以得，.又，所以是以2為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列.所以，即.（2）若選①：，即.因?yàn)?，所?兩式相減得，所以.若選②：，即.所以.若選③：，即.所以.【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；（5）倒序相加法：滿(mǎn)足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和15、或【解析】將分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由題意得雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點(diǎn)睛：（1）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定出漸近線的形式，并進(jìn)一步得到其方程三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問(wèn)，依題意F（1,0），設(shè)直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問(wèn)，由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設(shè)直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設(shè)，，所以，．①因?yàn)?，所以．②?lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，得M是線段OC中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因?yàn)?，所以?dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)點(diǎn)、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時(shí)，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過(guò)定點(diǎn).19、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可代入計(jì)算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算，推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時(shí)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性不妨令，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，恒有，所以存在滿(mǎn)足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內(nèi)的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，平面FAC的一個(gè)法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問(wèn)1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小問(wèn)2詳解】∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角，由，得，所以.如圖，分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個(gè)法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則21、（1）（2）