用頻率估計(jì)概率-教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評

課題：用頻率估計(jì)概率授課教師：北京市日壇中學(xué)李巖指導(dǎo)教師：北京市朝陽區(qū)教育研究中心謝慧萬書河曹自由2019年10月25.3用頻率估計(jì)概率一、內(nèi)容和內(nèi)容分析1．內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊“25.3用頻率估計(jì)概率”第一課時(shí)．2．內(nèi)容解析：用頻率估計(jì)概率屬于“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)是在實(shí)際問題中通過經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)全過程，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出簡單的判斷和預(yù)測．概率是刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，通過獲得隨機(jī)事件發(fā)生的概率可以解決一些實(shí)際問題．通過下面的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可以看出，隨機(jī)事件發(fā)生的頻數(shù)和頻率是可以通過統(tǒng)計(jì)的方法得到的，需要統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，本節(jié)內(nèi)容就是在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)一步研究概率．本節(jié)課是《概率初步》這一章的第三節(jié)，從整個(gè)單元的教學(xué)上看是學(xué)生學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件與概率，初步了解了概率的意義，能用列舉法求一些簡單等可能事件的概率之后，對概率的進(jìn)一步研究．本節(jié)課將從統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果頻率的角度研究一些隨機(jī)試驗(yàn)中事件的概率，讓學(xué)生從頻率的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)概率的意義，概率反映的規(guī)律是針對大量重復(fù)試驗(yàn)而言．用頻率估計(jì)概率不受隨機(jī)試驗(yàn)中結(jié)果種數(shù)有限和各種結(jié)果發(fā)生等可能的限制，適用的范圍比列舉法更廣．本節(jié)的研究內(nèi)容是頻率和概率，頻率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，概率是確定的數(shù)，是客觀存在的．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出規(guī)律性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加．一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性．因此，可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估計(jì)它的概率．從知識(shí)類型上看屬于原理性知識(shí)，頻率與概率的關(guān)系是學(xué)生認(rèn)同能夠用頻率估計(jì)概率，并能夠在遇到簡單問題時(shí)主動(dòng)想到要用頻率估計(jì)概率解決問題的基礎(chǔ)．基于此分析本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：探究頻率與概率的關(guān)系．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）通過拋擲硬幣、摸球等隨機(jī)試驗(yàn)，了解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率．（2）會(huì)用頻率估計(jì)概率的方法解決簡單問題．2．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能夠運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析數(shù)據(jù)，感受頻率具有隨機(jī)性，在大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)顯示出穩(wěn)定性；結(jié)合具體試驗(yàn)感受頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系．明確地知道除了用列舉法求概率，還可以用頻率估計(jì)概率，這種方法得出的概率與用列舉法求出的概率不矛盾，并且相對于列舉法適用范圍更廣．達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生在面對無法直接求得概率的問題時(shí)，能主動(dòng)想到通過試驗(yàn)用頻率估計(jì)概率，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)并實(shí)施的過程中能關(guān)注到大量、重復(fù)這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并能根據(jù)統(tǒng)計(jì)的頻率合理地估計(jì)概率．三、學(xué)生學(xué)情分析知識(shí)儲(chǔ)備：學(xué)生已經(jīng)了解了隨機(jī)事件和概率的有關(guān)概念，能用列舉法求試驗(yàn)結(jié)果種數(shù)有限且各種結(jié)果等可能的隨機(jī)事件的概率．學(xué)習(xí)情況調(diào)查：對往屆九年級學(xué)生進(jìn)行調(diào)研．（問卷后附）從學(xué)習(xí)效果的測試結(jié)果看，發(fā)現(xiàn)約70%的學(xué)生對于概率的含義，頻率的特點(diǎn)，頻率與概率的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，導(dǎo)致此現(xiàn)象的原因在于學(xué)生經(jīng)歷的試驗(yàn)不夠充分，對兩個(gè)概念的關(guān)系討論不足．本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)來自兩個(gè)角度，一是知識(shí)本身，頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性并存，學(xué)生同時(shí)理解存在障礙；二是學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以往的學(xué)習(xí)都是對確定性的分析，此內(nèi)容是對不確定性的分析，學(xué)生的認(rèn)知方式需要轉(zhuǎn)變．基于此教學(xué)中學(xué)生在對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，參與合作討論探究問題，對于頻率和概率反復(fù)交替認(rèn)識(shí)，逐層對頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性進(jìn)行分析，進(jìn)而強(qiáng)化對概率含義的認(rèn)識(shí)．充分經(jīng)歷各種簡單試驗(yàn)，在過程中加深對用頻率估計(jì)概率方法的理解．基于以上分析本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)設(shè)定為：正確理解頻率和概率的關(guān)系．四、教學(xué)策略分析學(xué)生經(jīng)歷拋硬幣的試驗(yàn)，通過概率含義的追問引出通過試驗(yàn)探索頻率與概率的關(guān)系，學(xué)生親自動(dòng)手試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感受頻率呈現(xiàn)的隨機(jī)性和規(guī)律性（圍繞概率值波動(dòng)）．通過隨機(jī)模擬大量重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)增加頻率越來越穩(wěn)定，進(jìn)一發(fā)現(xiàn)頻率與概率的關(guān)系．通過比對試驗(yàn)結(jié)果，加深對穩(wěn)定性和隨機(jī)性的理解．頻率與概率兩個(gè)概念始終交替出現(xiàn)，分散難點(diǎn)，達(dá)成目標(biāo)．通過設(shè)計(jì)試驗(yàn)解決摸球的問題，加深認(rèn)同頻率與概率的關(guān)系，又能進(jìn)一步理解用頻率估計(jì)概率的過程，對于這個(gè)未知概率的問題試驗(yàn)次數(shù)少時(shí)頻率波動(dòng)大，試驗(yàn)次數(shù)增加穩(wěn)定性出現(xiàn)的可能性較大，檢驗(yàn)結(jié)果后發(fā)現(xiàn)概率與估計(jì)值相同，進(jìn)而形成用頻率估計(jì)概率的方法．在理性分析的前提下進(jìn)行試驗(yàn)操作，再回歸到理性分析，既有思考又有實(shí)踐，動(dòng)手與動(dòng)腦相結(jié)合更有助于學(xué)生理解頻率與概率的關(guān)系．設(shè)計(jì)投擲圖釘?shù)脑囼?yàn)解決問題，對于這個(gè)未知概率的問題，且概率不能通過列舉法求出，學(xué)生能夠主動(dòng)應(yīng)用新學(xué)習(xí)的方法，獨(dú)立設(shè)計(jì)試驗(yàn)解決問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念和統(tǒng)計(jì)意識(shí)．五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)流程：分析數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，探索關(guān)系設(shè)計(jì)試驗(yàn)，認(rèn)同關(guān)系解決問題，應(yīng)用關(guān)系歸納小結(jié)，提升認(rèn)識(shí)＼分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)關(guān)系活動(dòng)1收集各組課前預(yù)習(xí)作業(yè)的數(shù)據(jù)并進(jìn)行整理分析．作業(yè)要求：作業(yè)要求：1號同學(xué)拋擲硬幣，約達(dá)1臂高度，硬幣落地靜止，報(bào)告試驗(yàn)結(jié)果2號同學(xué)用劃記法記錄試驗(yàn)結(jié)果3號同學(xué)監(jiān)督，盡可能保證每次試驗(yàn)條件相同，確保試驗(yàn)的隨機(jī)性，填寫表格．課前作業(yè)：拋擲一枚硬幣課前作業(yè)：拋擲一枚硬幣100次，分別統(tǒng)計(jì)拋擲50次，100次和200次時(shí)“正面向上”出現(xiàn)的頻數(shù)，計(jì)算頻率，填寫表格．問題1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面向上”的概率為0.5，是否意味著拋擲一枚硬幣50次時(shí)，就會(huì)有25次“正面向上”呢？拋擲一枚硬幣100次時(shí)，各組的“正面向上”的頻數(shù)是50嗎？請各組匯報(bào)試驗(yàn)數(shù)據(jù)．師生活動(dòng)：統(tǒng)計(jì)各組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用Excel形成各組拋一枚硬幣50次和100次“正面向上”的頻率散點(diǎn)圖．分析統(tǒng)計(jì)圖，體會(huì)頻率與概率的區(qū)別并能夠初步感受頻率可能與概率存在關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：對已有數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和描述，體會(huì)頻率的隨機(jī)性，培養(yǎng)隨機(jī)觀念．活動(dòng)2增加數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性問題2如果重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增多，結(jié)果會(huì)如何呢?拋擲次數(shù)n501001502003004006008001000“正面向上”的頻數(shù)m“正面向上”的頻率師生活動(dòng)：師生討論，由于試驗(yàn)條件基本相同，可以用逐步累加各組數(shù)據(jù)的方法近似地模擬重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增多的情況，教師組織學(xué)生整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對生成的頻率統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析．設(shè)計(jì)意圖：全班合作對分組試驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生初步探索數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律，提高學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識(shí)，進(jìn)一步理解概率的意義．活動(dòng)3軟件模擬，完善關(guān)系問題3隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率的變化趨勢是什么？師生活動(dòng)：教師利用投硬幣模擬軟件演示一組投硬幣2000次的模擬試驗(yàn)，學(xué)生將模擬試驗(yàn)的結(jié)果與全班真實(shí)試驗(yàn)的結(jié)果做比較，歸納發(fā)現(xiàn)：正面向上的頻率在0.5左右擺動(dòng)，隨著拋擲次數(shù)的增加，在0.5左右擺動(dòng)的幅度越來越小的可能性變大．學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于隨機(jī)事件的隨機(jī)性，每組試驗(yàn)得到的頻率分布都不盡相同，但都無一例外的顯示出，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性；試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率表現(xiàn)出隨機(jī)性的可能性很大，隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性的可能性越來越大．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解，頻率具有隨機(jī)性，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸能夠完整表述頻率與概率的關(guān)系．問題4閱讀另外四次模擬拋擲硬幣2000次的試驗(yàn)數(shù)據(jù)圖表（見附錄），你讀出哪些信息？師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀圖表，驗(yàn)證頻率與概率的關(guān)系，進(jìn)一步認(rèn)可，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性．由于隨機(jī)事件的隨機(jī)性，各次模擬的頻率分布圖均有不同，但都顯示出在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性．設(shè)計(jì)意圖：通過多次模擬試驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證頻率與概率的關(guān)系是正確的，發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)次數(shù)多時(shí)頻率更多的呈現(xiàn)穩(wěn)定性．同時(shí)感受不論試驗(yàn)次數(shù)是多少，都存在頻率偏離概率較大的可能性，只是這種可能性在多次重復(fù)試驗(yàn)的前提下變?。醪叫纬闪藢τ谶@個(gè)拋擲硬幣的簡單試驗(yàn)的概率可以通過頻率進(jìn)行估計(jì)的觀念．師生活動(dòng)：擦除模擬拋一枚硬幣2000次“正面向上”的頻率散點(diǎn)圖中表示概率的直線，基于現(xiàn)有的頻率分布情況，學(xué)生能夠估計(jì)此未知概率事件發(fā)生的概率是0.5，再擦除學(xué)生拋擲硬幣100次中表示概率的直線，學(xué)生的估計(jì)并不是0.5，分析估計(jì)不準(zhǔn)確的原因，是試驗(yàn)次數(shù)少，頻率分布不穩(wěn)定，大量重復(fù)試驗(yàn)當(dāng)頻率穩(wěn)定時(shí)才能夠估計(jì)得相對準(zhǔn)確．設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)通過對拋擲硬幣這個(gè)已知概率的試驗(yàn)獲得頻率的分析，引導(dǎo)學(xué)生形成用頻率估計(jì)概率的方法．通過兩次“擦線”的對比，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)對于此隨機(jī)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性時(shí)所估計(jì)的概率相對準(zhǔn)確．教師出示歷史上一些拋擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)家反復(fù)進(jìn)行拋硬幣試驗(yàn)的原因在于對沒有證明過的結(jié)論需要反復(fù)驗(yàn)證其真實(shí)性．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到即使是科學(xué)家在沒能準(zhǔn)確證明的情況下也需要進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)來驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．學(xué)生課堂經(jīng)歷的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程與數(shù)學(xué)發(fā)展的真實(shí)過程是一致的，學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)家研究問題的過程，了解證明的必要性．【環(huán)節(jié)二】設(shè)計(jì)試驗(yàn)，認(rèn)同關(guān)系活動(dòng)4摸球問題活動(dòng)4.1問題呈現(xiàn)：在不透明的箱子中，有紅色和黃色兩種除顏色外無其他差別的5個(gè)小球．在不打開箱子的前提下，每次隨機(jī)摸出一個(gè)小球后放回，你能說出箱子里面有幾個(gè)黃球嗎？摸球試驗(yàn)任務(wù)：1各小組重復(fù)、隨機(jī)摸球，統(tǒng)計(jì)得到“摸出黃球”的頻率2檢驗(yàn)頻率能否達(dá)到穩(wěn)定3用頻率估計(jì)概率4檢驗(yàn)估計(jì)是否正確活動(dòng)4.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)：摸球試驗(yàn)任務(wù)：1各小組重復(fù)、隨機(jī)摸球，統(tǒng)計(jì)得到“摸出黃球”的頻率2檢驗(yàn)頻率能否達(dá)到穩(wěn)定3用頻率估計(jì)概率4檢驗(yàn)估計(jì)是否正確活動(dòng)4.3實(shí)施試驗(yàn)：在試驗(yàn)過程中知道需要大量重復(fù)試驗(yàn)，可以累加數(shù)據(jù)得到較大試驗(yàn)次數(shù)，對于數(shù)據(jù)是否穩(wěn)定需要檢驗(yàn)．活動(dòng)4.4問題解決：通過頻率估計(jì)摸出黃球的概率從而求得黃球的個(gè)數(shù)．師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作設(shè)計(jì)試驗(yàn)，分享交流后執(zhí)行試驗(yàn)，利用圖形計(jì)算器統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果，繪制頻率分布圖，利用頻率估計(jì)概率，從而解決問題．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)對于此概率未知的問題也可以利用頻率估計(jì)概率，形成用頻率估計(jì)概率的方法．學(xué)生總結(jié)歸納獲得概率的方法，教師給出：對一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性．頻率穩(wěn)定性規(guī)律不但由人們大量的生活實(shí)踐所驗(yàn)證，還由數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利給出了嚴(yán)格的證明．設(shè)計(jì)意圖：通過分析摸球問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是獲得事件的概率，經(jīng)歷解決問題的過程，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)同用頻率估計(jì)概率的方法．體會(huì)到對于概率未知的隨機(jī)事件仍然可以使用頻率估計(jì)概率的方法解決．通過設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，更加明確“重復(fù)”與“大量”的含義．兩個(gè)環(huán)節(jié)分別從學(xué)生已知概率的問題，和未知概率（但是概率可計(jì)算）的兩個(gè)角度讓學(xué)生逐步認(rèn)同用頻率估計(jì)概率的方法．【環(huán)節(jié)三】解決問題，應(yīng)用關(guān)系問題5投一枚圖釘，你能估計(jì)出“釘尖朝上”的概率嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論，發(fā)現(xiàn)由于無法確定“釘尖朝上”、“釘尖朝下”的可能性是否相等，不能用列舉法求這個(gè)隨機(jī)事件的概率，有必要采用新學(xué)的方法——用頻率估計(jì)概率．設(shè)計(jì)意圖：對于未知概率的事件（概率不可計(jì)算求得），學(xué)生進(jìn)一步意識(shí)到用頻率估計(jì)概率是一種獲得隨機(jī)事件的概率的新方法，它的適用范圍比用列舉法求概率更廣．對于這個(gè)不能求出概率的問題，學(xué)生能夠獨(dú)立設(shè)計(jì)試驗(yàn)，完整的說明運(yùn)用頻率估計(jì)概率的全過程，加深對規(guī)律和方法的理解．【環(huán)節(jié)四】總結(jié)反思，加深認(rèn)識(shí)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1．目前我們學(xué)習(xí)了哪些求隨機(jī)事件概率的方法？2．說說你對頻率與概率之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)．設(shè)計(jì)意圖：歸納小結(jié)，鞏固頻率的穩(wěn)定性規(guī)律和用頻率估計(jì)概率的方法．作業(yè)任務(wù)單1．用頻率估計(jì)概率：完成投圖釘試驗(yàn)作業(yè)任務(wù)單1．用頻率估計(jì)概率：完成投圖釘試驗(yàn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)：人員分工：數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：試驗(yàn)次數(shù)事件發(fā)生的頻數(shù)m事件發(fā)生的頻率結(jié)論：2．說一說生活中利用頻率估計(jì)概率的具體事件．設(shè)計(jì)意圖：鞏固用頻率估計(jì)概率的方法，解決實(shí)際問題．激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣，再次體會(huì)“用頻率估計(jì)概率”的方法在非古典概型問題中的應(yīng)用價(jià)值．六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)下表是某班同學(xué)隨機(jī)投擲一枚硬幣的試驗(yàn)結(jié)果．拋擲次數(shù)50100150200250300350400450500“正面向上”次數(shù)22527195116138160187214238“正面向上”頻率0.440.520.470.480.460.460.460.470.480.48下面有三個(gè)推斷：=1\*GB3①表中沒有出現(xiàn)“正面向上”的頻率是0.5的情況，所以不能估計(jì)“正面向上”的概率是0.5；=2\*GB3②這些次試驗(yàn)投擲次數(shù)的最大值是500，此時(shí)“正面向上”的頻率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；=3\*GB3③投擲硬幣“正面向上”的概率應(yīng)該是確定的，但是大量重復(fù)試驗(yàn)反映的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中都發(fā)生；其中合理的是.設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對頻率與概率的關(guān)系的理解，以及用頻率估計(jì)概率含義及方法的理解.附錄1：學(xué)情調(diào)研卷問題1你在初中的學(xué)習(xí)中是否知道數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)？在初中數(shù)學(xué)課堂上是否經(jīng)歷過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)？設(shè)計(jì)意圖：考查對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的知曉，是否經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對于本課選擇運(yùn)用試驗(yàn)的方式逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律做準(zhǔn)備．問題2如圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果．下面有三個(gè)推斷：①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是．并試說明理由．設(shè)計(jì)意圖：來源自2017年北京中考試題選擇題，改成填空題后，對于頻率與概率意義的理解以及頻率估計(jì)概率方法的意義的理解進(jìn)行測試．問題3某射手進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)n20100200500800命中靶心次數(shù)m1358104255404命中靶心頻率（1）這個(gè)射手射擊一次，命中靶心的概率是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）這個(gè)射手射擊1600次，命中靶心的次數(shù)大約是．設(shè)計(jì)意圖：在這道題的設(shè)計(jì)中，數(shù)據(jù)是來源于某幾個(gè)班各個(gè)小組實(shí)際扔硬幣出現(xiàn)正反面的數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行了分別匯總，對于已知拋硬幣事件學(xué)生固有觀念概率一定是0.5，在測試題的題目中，把背景轉(zhuǎn)化成射擊命中與否，是不可求得概率的問題．雖然給定數(shù)據(jù)與拋硬幣相同，但學(xué)生呈現(xiàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，題目背景或數(shù)據(jù)發(fā)生變化時(shí)，只有部分學(xué)生理解了問題本質(zhì)，知道在大量重復(fù)的基礎(chǔ)上可以用頻率來估計(jì)概率．往屆九年級（86人）學(xué)生問題分析：調(diào)研目的作答情況人數(shù)百分比簡單分析問題1對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的知曉，是否經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)．不了解，沒有做過89.38%沒有經(jīng)歷過實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論的過程知道，很少5362.5%在數(shù)學(xué)課上通過實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論有過感知，經(jīng)歷過一些操作的過程，但次數(shù)較少問題2對概率的理解，對頻率估計(jì)概率的理解．選①2023.25%認(rèn)為概率是計(jì)算的結(jié)果，對頻率的隨機(jī)性與概率的確定性不明確選①②2427.90%對于計(jì)算概率有較深刻的印象，認(rèn)同頻率可以估計(jì)概率，但對頻率與概率的關(guān)系不明確選③78.13%對概率的意義不理解選②3540.69%明確頻率與概率的關(guān)系，會(huì)用頻率估計(jì)概率問題3是否會(huì)求頻率，能否用頻率估計(jì)概率，能否利用概率解決問題．空白不回答33.48%頻率的計(jì)算是錯(cuò)誤的，直接導(dǎo)致后兩問無法作答會(huì)計(jì)算頻率但不能估計(jì)概率3130.05%掌握概率的計(jì)算公式，但是對于頻率與概率的關(guān)系不清，后問空白錯(cuò)誤的估計(jì)了不恰當(dāng)?shù)母怕?326.74%能夠熟練正確的計(jì)算頻率，但不清楚頻率與概率之間的關(guān)系，不理解概率是頻率在大量重復(fù)后的穩(wěn)定值能夠正確解決問題2933.72%知道用頻率估計(jì)概率，知大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻率會(huì)穩(wěn)定于概率，能夠理解和解釋在試驗(yàn)次數(shù)太少的情況下，兩者會(huì)出現(xiàn)相差較多的情況附錄2：四次模擬拋擲硬幣2000次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)第一次試驗(yàn)第二次試驗(yàn)第三次試驗(yàn)第四次試驗(yàn)《用頻率估計(jì)概率》評析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出“知道通過大量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率”的要求.實(shí)際上，概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的；頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定；頻率圍繞概率波動(dòng)，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率接近概率的可能性越來越大.這里既有隨機(jī)性，又有隨機(jī)性表現(xiàn)出來的規(guī)律性，學(xué)生理解起來比較困難.李巖老師的《用頻率估計(jì)概率》一課做了精心設(shè)計(jì)與積極實(shí)踐，幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)頻率與概率的關(guān)系，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.一、學(xué)情分析精準(zhǔn)，教學(xué)設(shè)計(jì)嚴(yán)謹(jǐn)李老師分別對當(dāng)前九年級學(xué)生和已經(jīng)畢業(yè)的往屆學(xué)生進(jìn)行學(xué)情調(diào)查，分析數(shù)據(jù)，精準(zhǔn)定位，根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，往屆學(xué)生學(xué)習(xí)的問題或薄弱環(huán)節(jié)，有針對性地設(shè)計(jì)教學(xué).從本節(jié)課的整體結(jié)構(gòu)上看，教師按照“分析數(shù)據(jù)－發(fā)現(xiàn)關(guān)系，設(shè)計(jì)試驗(yàn)－認(rèn)同關(guān)系，解決問題－應(yīng)用關(guān)系，歸納小結(jié)－提升認(rèn)識(shí)”四個(gè)環(huán)節(jié)展開的.學(xué)生經(jīng)歷對兩個(gè)特殊隨機(jī)事件的分析，即已知概率的拋擲硬幣和概率“未知”（可求）的摸球試驗(yàn)獲得頻率的分析，歸納并認(rèn)同頻率與概率之間的關(guān)系，通