小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練-不定方程

小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練----不定方程一、知識(shí)講解所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，方程的解不能唯一確定的方程或方程組。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于公元3世紀(jì)初就開始研究過不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家。學(xué)習(xí)不定方程，不僅可以拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能。本講主要學(xué)習(xí)二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及運(yùn)用不定方程解答一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的方法。不定方程的解常常會(huì)附加一些限制條件，如要求是整數(shù)、自然數(shù)或正整數(shù)等等，這些條件對(duì)不定方程的求解至關(guān)重要，解題過程中要認(rèn)真分析，尤其是要注重挖掘題中隱藏的一些限制條件。在解不定方程時(shí)，通常將原方程變形為用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出另一個(gè)未知數(shù)的形式，再根據(jù)題中的限制條件，尋找合適的解。在解不定方程時(shí)，常規(guī)方法有觀察法、試驗(yàn)法、列舉法。如果再能合理運(yùn)用以下幾個(gè)技巧，就可以大大提高解題速度。1.系數(shù)上的考慮（變形）如求7x﹢2y=38的整數(shù)解，我們變形為：y=（38-7x）÷2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然數(shù)，由上述變形可知，x應(yīng)是2的倍數(shù)，可以取2，4。所以在解不定方程時(shí)，一定要注意未知數(shù)前面的系數(shù)，選擇恰當(dāng)?shù)淖冃蝸斫獠欢ǚ匠獭?.尾數(shù)上的考慮（個(gè)位）如求5x+4y=59的自然數(shù)解。和的個(gè)位數(shù)是9，說明5x的個(gè)位數(shù)字一定是5，那么x一定取奇數(shù)；4y的個(gè)位數(shù)字一定是4，那么y只能是1、4、6、11、14。這樣解的過程就容易多了，速度也上來了。3.奇偶性上的考慮上道例題還可以從數(shù)的奇偶性入手考慮。59是一個(gè)奇數(shù)，4y一定是個(gè)偶數(shù)，那么，5x就一定是個(gè)奇數(shù)，那么x取值只能取奇數(shù)，如1、3、5……，也能起到簡(jiǎn)便解題過程的作用。4.倍數(shù)關(guān)系上的考慮如求不定方程2x+3y=21的自然數(shù)解。我們注意到，21是3的倍數(shù)，3y肯定也是3的倍數(shù)，2x=21-3y，那么2x也應(yīng)是3的倍數(shù)，這樣x只能取是3的倍數(shù)的數(shù)了，如：0、3、6等等，這樣就能簡(jiǎn)化解題過程了。二、例題解析例1求2x+5y=17的整數(shù)解。分析：（一）觀察法，并結(jié)合奇偶性或尾數(shù)上進(jìn)行考慮。（1）17是奇數(shù),2x一定是偶數(shù)，那么，5y就一定是個(gè)奇數(shù)，那么y取值只能取奇數(shù)，如1、3、5……解法一：觀察2x+5y=17，17是奇數(shù),2x一定是偶數(shù)，說明5y的個(gè)位數(shù)字一定是5，那么y一定取奇數(shù)。當(dāng)y=1時(shí)，x=6；當(dāng)y=3時(shí)，x=1。解法二：把2x+5y=17變形為：x=(17-5y)÷2，再列表試驗(yàn)求解。y123x63.51所以，2x+5y=17的整數(shù)解為：x=6x=1y=1y=3在解不定方程時(shí)，可將原方程變形，變?yōu)橐粋€(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)題中的限制條件，尋找合適的解。例2將球裝入兩種盒子中,每個(gè)大盒子裝12個(gè),每個(gè)小盒子裝5個(gè)，正好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，大盒和小盒各多少個(gè)？分析：兩種盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。結(jié)合奇偶性、尾數(shù)分析，99是奇數(shù)，12x是偶數(shù)，5y尾數(shù)是5，12x尾數(shù)是4，x取2、7。經(jīng)列舉試驗(yàn)，x=2時(shí)，y=15；x=7時(shí)，y=3。所以，大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)，或大盒子有7個(gè)，小盒子有3個(gè)。由例2可以看出，對(duì)于不定方程，要盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，再求解。不定方程常常利用奇偶性和尾數(shù)來幫助解決例3買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問三種水果各買了多少千克？分析：該題共有三個(gè)未知量，可以設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，再設(shè)法表示出第三個(gè)未知量，列出不定方程。再根據(jù)條件求解。解：設(shè)蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30－x－y）千克。根據(jù)由式子(1)可知：y<20；由式子(2)可知：y必須是2的倍數(shù)。所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211對(duì)不定方程適當(dāng)變形，通過系數(shù)可以更快地看出未知數(shù)的特征，從而進(jìn)一步縮小未知數(shù)的取值范圍。例4今年，祖父的年齡是小明的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明的5倍。又過幾年后，祖父的年齡是小明的4倍。求祖父今年多少歲?分析：這是一道有難度的年齡問題。題中除了兩人的年齡的倍數(shù)關(guān)系,其余一概未知。但題目中有三個(gè)等量關(guān)系。利用等量關(guān)系列出相應(yīng)的方程，問題就迎刃而解了。把x=4y代入2x=3y+3m,…………(3)得8y=3y+3m即5y=3my=(3/5)m由于y是整數(shù),所以m=5、10、15、20……可算出y=3、6、9、12……那么x=12、24、36、48……那祖父的年齡就是72、144……很明顯，只有當(dāng)m=5，y=3，x=12時(shí)，祖父的年齡是72歲才符合實(shí)際。含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程，如（1）。含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一，如（2）。根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可，如（3）。例5某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā)6枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)4枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)1枝。問：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？分析：本題出現(xiàn)了三個(gè)未知數(shù)，并且這三個(gè)未知數(shù)之間沒有直接的關(guān)系。就可以設(shè)出三個(gè)未知數(shù)，列出不定方程組，再設(shè)法變成一個(gè)不定方程，繼而求出解。y＝EQ\F(22－12x,5)x＝1x只能取1，所以y＝2，代入=1\*GB3①得z＝5，原方程的解為y＝2z＝5故一等獎(jiǎng)的學(xué)生有1人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有2人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有5人。解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案。三、鞏固練習(xí)（一）選擇題1．方程x+2y=7在正整數(shù)范圍內(nèi)的解（）A．有無數(shù)解B.只有一組C.只有三組D.以上都不對(duì)2．方程1990x-1989y=1991的一組正整數(shù)解是（）A．x=12785，y=12768；B.x=12785，y=12770；C.x=11936，y=11941；D.x=13827，y=12623（二）填空題1.已知1999×△+4×□=9991,其中△,□是自然數(shù),那么□=.2.箱子里有乒乓球若干個(gè),其中25%是一級(jí)品,五分之幾是二級(jí)品,其余91個(gè)是三級(jí)品.那么,箱子里有乒乓球個(gè).3．不定方程12x+17y=75的整數(shù)解是.4．采購(gòu)員去超市買雞蛋，每個(gè)大盒里有23個(gè)雞蛋，每個(gè)小盒里有16個(gè)雞蛋(盒子不能打開)，采購(gòu)員要恰好買500個(gè)雞蛋，他一共要買盒.5．新學(xué)期開始了，幾個(gè)老師帶著一些學(xué)生去搬全班的100本教科書，已知老師和學(xué)生共14人，每個(gè)老師能搬12本，每個(gè)男生能搬8本，每個(gè)女生能搬5本，恰好一次搬完。搬書的老師_______人，男生_______人，女生_______人（三）解答題1.甲種商品7元一份，乙種商品3元一份，小明用60元恰好買兩種商品共多少份?2.某種考試已舉行24次，共出了426道題，每次出的題目有25題、或者16題、或者20題，那么其中考25題的有多少次？3.甲一分鐘能洗3個(gè)盤子或9個(gè)碗，乙一分鐘能洗2個(gè)盤子或7個(gè)碗，甲、乙合做，20分鐘洗了134個(gè)盤子和碗。有幾個(gè)盤子幾個(gè)碗?4．將一根長(zhǎng)為374厘米的合金鋁管截成36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管(加工損耗忽略不計(jì))。問剩余部分的鋁管至少是多少厘米?5．小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小雞至多被套中多少次？6.某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的m位男生和11位女生的捐款總數(shù)與乙班的9位男生和n位女生的捐款總數(shù)相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)。(其中：)鞏固練習(xí)答案：（一）選擇：CC（二）填空：1.1998.提示:△是小于4的奇數(shù),檢驗(yàn)△=1或3兩種情況即可.2.260.設(shè)箱子里共有n個(gè)乒乓球,二級(jí)品占.依題意,得整理得①易知15-4a>0,所以a≤3.將a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此時(shí)n=260(個(gè)).3.x=2,y=34.26設(shè)買了x大盒，y小盒。23x+16y=500解得：x=12,y=14;x+y=26.5.338設(shè)老師x人，男生y人，女生z人。x+y+z=1412x+8y+5z=100解得：x=3,y=3,z=8（三）解答：1.解：設(shè)小明買甲種商品x份，乙種商品y份，可以列不定方程如下：7x+3y=60，由于3、60均為3的倍數(shù)，且60-7x≥0，x≤8，又因?yàn)?x一定能被3整除，所以小明用60元買兩種商品16份或12份。本題關(guān)鍵是確定7x的取值范圍。2.解：設(shè)考25題、20題依次為x次和y次，可列不定方程如下：(25-16)x+(20-16)y=426-16×249x+4y=4242-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。當(dāng)x=0時(shí)，y=10當(dāng)x=2時(shí)，y=6當(dāng)x=4時(shí),y=可以考25題的共有2次。判斷出x的范圍小于或等于4，再確定不能取偶數(shù)是求解的關(guān)鍵。3.解：設(shè)甲用a分鐘洗盤子，(20-a)分鐘洗碗，乙用b分鐘洗盤子，(20-b)分鐘洗碗。由上式知，b為偶數(shù)，所以a=l，6，ll或16。當(dāng)a=1，6，ll時(shí)，b>20不合題意。所以a=16，b=18。共洗了盤子3a+2b=84(個(gè))，洗了碗134-84=50(個(gè))。本題先用未知數(shù)分別表示甲、乙洗盤子和碗的時(shí)間，再列不定方程。4.解：設(shè)截成36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管分別是x根和y根