五年級數(shù)學(xué)下冊重要知識點匯總：圖形與幾何

五年級數(shù)學(xué)下冊重要知識點匯總：圖形與幾何

第一部分圖形與幾何

一、觀察物體

1、從不同的位置（或同一位置）觀察物體，看到的形狀可能相同也可能不同；從同一位置觀察長方體或正方體時不能看到所有的面，最多只能看到三個面，最少看到一個面。

2、正面、側(cè)面（左面，右面）、后面都是相對的，它是隨著觀察角度的變化而變化。通過觀察、想象、猜測，培養(yǎng)空間想象力和思維能力，能正確辨認(rèn)從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。

3、觀察物體，從實物觀察到對立體圖形的觀察有一個體驗、認(rèn)識、提高的過程，多觀察物體，多畫觀察到的圖形，自己制作立體圖形，有意識的訓(xùn)練想象能力，逐漸就會觀察立體圖形了。

4、觀察物體，先要確定觀察的位置（方向）（常選擇上面、正面、左側(cè)面、右側(cè)面），再確定觀察的形狀，并把它畫下來，在平面圖形畫上斜線。

5、根據(jù)各個位置看到的平面圖形推算共有幾個小正方體方法：從正面看數(shù)層數(shù)，從下往上數(shù)；從上面看數(shù)列數(shù)，從左往右數(shù)；從左面看數(shù)排數(shù)，前排在右后排在左，從右往左數(shù)。

6、至少用8個正方體可拼成較大的正方體，27個64個125個。。。都可拼成較大正方體。

二、圖形的運動

圖形變換的基本方式是對稱、平移和旋轉(zhuǎn)。

對稱點是關(guān)于一條直線對稱的點(對稱點一般用于軸對稱)，對應(yīng)點是一個圖形經(jīng)變換后的圖形與變換前的圖形位置相同的點(對應(yīng)點一般用于平移和旋轉(zhuǎn))

（一）圖形的平移

1、平移不改變圖形的大小和形狀。

2、平移的三要素：原圖形的位置、平移的方向、平移的距離。平移的方向一般為：水平方向、垂直方向兩種。平移的距離：一般為幾個單位長度（也即幾個方格）

3、平移是整個圖形的移動，圖形的每個關(guān)鍵點都需要按要求移動。

4、把圖形平移的步驟：

（1）確定原圖形位置、平移的方向、平移的距離。

（2）找出原圖形的各關(guān)鍵點。

（3）根據(jù)題目要求將各個點依次平移。

（4）順次連接平移后的各點，標(biāo)明各點名稱。

（二）軸對稱:如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

（1）學(xué)過的軸對稱平面圖形有：圓形、長方形、正方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……

等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。

（2）對稱點到對稱軸的距離相等。

（3）軸對稱圖形的特征和性質(zhì)：對稱點到對稱軸的距離相等；對稱點的連線與對稱軸垂直；對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同，方向相反。

（4）對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對稱圖形。

2、旋轉(zhuǎn)：物體或圖形圍繞一個定點沿著一個方向轉(zhuǎn)動一定的角度的現(xiàn)象叫做旋轉(zhuǎn)。如風(fēng)扇的葉片旋轉(zhuǎn)。定點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，原圖形上的一點旋轉(zhuǎn)后成為的另一點成為對應(yīng)點。

（1）生活中的旋轉(zhuǎn)：電風(fēng)扇、車輪、紙風(fēng)車

（2）旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心，固定不變；旋轉(zhuǎn)方向有順時針、逆時針；旋轉(zhuǎn)角度有：常見的有30°、45°、60°90°、180°、270°。

（3）長方形繞中心點旋轉(zhuǎn)180度與原來重合，正方形繞中心點旋轉(zhuǎn)90度與原來重合。等邊三角形繞中點旋轉(zhuǎn)120度與原來重合。

（4）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動；其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變，位置和方向發(fā)生改變，旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點，兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；

（5）怎樣畫圖形旋轉(zhuǎn)的形狀：（1）先觀察原圖形的形狀特征找準(zhǔn)關(guān)鍵點，（2）找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度；

（3）使用直角三角板的頂點與旋轉(zhuǎn)中心重合，則該圖形旋轉(zhuǎn)后的形狀就在三角板另一條邊上；

（4）確定各對應(yīng)點的長度，用虛線標(biāo)出來；（5）將每個對應(yīng)點連接并標(biāo)出名稱。

三、長方體和正方體

1、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。（長寬高是相對而言的，隨觀察角度而定）

長方體特點：

（1）長方體有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面完全相同，相對的面面積相等，相對的棱長度相等。

（2）一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。

2、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。

正方體特點：（1）正方體有12條棱，它們的長度都相等。（2）正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等。（3）正方體可以看做長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

長方體與正方體的異同：

相同點不同點

面棱

長方體都有6個面，

12條棱，

8個頂點。6個面都是長方形。

（有可能有兩個相對的面是正方形）。相對的棱的長度都相等

正方體6個面都是正方形。12條棱都相等。

【知識點4】

經(jīng)過折疊可以組合成長方體：

經(jīng)過折疊可以組合成正方體:

3、長方體、正方體有關(guān)棱長計算公式：

長方體的棱長總和=（長寬高）×4＝長×4寬×4高×4L=（a＋b＋h）×4

長=棱長總和÷4－寬－高a=L÷4－b－h(huán)

寬=棱長總和÷4－長－高b=L÷4－a－h(huán)

高=棱長總和÷4－長－寬h=L÷4－a－b

正方體的棱長總和=棱長×12L=a×12

正方體的棱長=棱長總和÷12a=L÷12

4、長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）

無底（或無蓋）長方體表面積=長×寬＋（長×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）－ab或S=2ah＋2bh＋ab

無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2S=2（ah＋bh）【貼墻紙】

正方體的表面積=棱長×棱長×6S=a×a×6用字母表示：S=6a2

【生活實際】油箱、罐頭盒等都是6個面，游泳池、魚缸等都只有5個面水管、煙囪等都只有4個面。

【注意】用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應(yīng)增加）

【注意】長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，表面積會擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。

（如長、寬、高各擴(kuò)大2倍，表面積就會擴(kuò)大到原來的4倍）。

5、物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長方體的體積=長×寬×高V=abh

長=體積÷寬÷高a=V÷b÷h

寬=體積÷長÷高b=V÷a÷h

高=體積÷長÷寬h=V÷a÷b

正方體的體積=棱長×棱長×棱長

V=a×a×a=a3讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即aaa）

長方體或正方體底面的面積叫做底面積（占地面積）。

長方體（或正方體）的體積=底面積×高用字母表示：V=Sh

（換個角度看，橫截面積相當(dāng)于底面積，長相當(dāng)于高）。

【注意】一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。

6、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。

計量容積一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和mL。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升

（1L=1dm31mL=1cm31L=1000mL）

長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高。（所以，對于同一個物體，體積大于容積。）

【注意】長方體或正方體的長、寬、高同時擴(kuò)大幾倍，體積就會擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍。

（如長、寬、高各擴(kuò)大2倍，體積就會擴(kuò)大到原來的8倍）。

*形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，形狀規(guī)則的物體可以用公式直接求體積。

排水法的公式：V物體=V現(xiàn)在－V原來

也可以V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)

V物體=S×h升高

【注意】1、1cm2、1cm3它們是三個不同的計量單位，所以不能進(jìn)行比較。

8、【體積單位換算】大單位小單位

小單位大單位

進(jìn)率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相鄰單位進(jìn)率1000）

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升

1立方厘米＝1毫升

1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公頃=1000000平方米

【注意】長方體與正方體關(guān)系

把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。

質(zhì)量單位進(jìn)率，時間單位進(jìn)率，長度單位進(jìn)率

【單位換算】大單位小單位

小單位大單位

長度單位：1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100