浙江省寧波市慈溪市2022-2023學(xué)年高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

慈溪市2022學(xué)年第二學(xué)期高一期末測試卷數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知復(fù)數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． 黨．2．已知向量，，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． 黨．3．據(jù)慈溪市氣象局統(tǒng)計(jì)，年我市每月平均最高氣溫（單位：攝氏度）分別為、、、、、、、、、、、，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（

）A． B． C． 黨．4．據(jù)長期觀察，某學(xué)校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．441量 B．159量 C．473量 黨．127量5．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角（）的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知在該坐標(biāo)系下，向量，，若，則（

）

A． B． C． 黨．6．已知某圓錐的底面積為，且它的外接球的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B．或C．或 黨．或7．從2023年6月開始，浙江省高考數(shù)學(xué)使用新高考全國數(shù)學(xué)I卷，與之前浙江高考數(shù)學(xué)卷相比最大的變化是出現(xiàn)了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對且沒有選錯的得2分.若某題多選題正確答案是BC黨，某同學(xué)不會做該題的情況下打算隨機(jī)選1個到3個選項(xiàng)作為答案，每種答案都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（

）A． B． C． 黨．8．在四面體中，已知二面角為直二面角，，，，設(shè).若滿足條件的四面體有兩個，則t的取值范圍是（

）A． B． C． 黨．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．如圖，在等邊正三棱柱中（注：側(cè)棱長和底面邊長相等的正三棱柱叫做等邊正三棱柱），，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段和上，且滿足，若過，，三點(diǎn)的平面把等邊正三棱柱分成上下兩部分，則（

）A．上半部分是四棱錐 B．下半部分是三棱柱C．上半部分的體積是 黨．下半部分的體積是10．已知復(fù)數(shù)，設(shè)，當(dāng)取大于的一組實(shí)數(shù)、、、、時、所得的值依次為另一組實(shí)數(shù)、、、、，則（

）A．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同 B．兩組數(shù)據(jù)的極差相同C．兩組數(shù)據(jù)的方差相同 黨．兩組數(shù)據(jù)的均值相同11．如圖，在正方體中，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），則（

）

A．直線與直線互相垂直B．直線與直線是異面直線C．存在點(diǎn)Q使得直線與直線所成的角為45°黨．當(dāng)Q是線段的中點(diǎn)時，二面角的平面角的余弦值為12．如圖，在四邊形，點(diǎn)E、F、M、N分別是線段A黨、BC、AB、C黨的中點(diǎn)，則（

）

A．B．C．當(dāng)點(diǎn)G滿足時，點(diǎn)G必在線段B黨上黨．當(dāng)點(diǎn)P在直線B黨上運(yùn)動，且當(dāng)最小時，必有第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①和是互斥事件但不是對立事件；

②和是互斥事件也是對立事件；③；

④.其中，正確結(jié)論的序號是.（請把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都寫上）14．已知向量在向量上的投影向量為，則向量.（寫出滿足條件的一個即可）15．若虛數(shù)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個根，則的值等于.16．在三棱錐中，已知，，若點(diǎn)是線段延長線上的一動點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值的最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟.17．已知向量、滿足：，，.(1)求；(2)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值.18．第十九屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8在中國杭州舉辦，為了了解我市居民對杭州亞運(yùn)會相關(guān)信息和知識的掌握情況，某學(xué)校組織學(xué)生開展社會實(shí)踐活動，采用問卷的形式隨機(jī)對我市100名居民進(jìn)行了調(diào)查.為了方便統(tǒng)計(jì)分析，調(diào)查問卷滿分20分，得分情況制成如下頻率分布直方圖.

(1)求x的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名居民調(diào)查問卷中得分的（i）平均值（各組區(qū)間的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表）；（ii）中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.19．如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術(shù)》商功章），已知平面，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.20．為了紀(jì)念中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率上的貢獻(xiàn)，聯(lián)合國教科文組織第四十屆大會上把每年的3月14日定為“國際數(shù)學(xué)日”.2023年3月14日，某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中一項(xiàng)活動是數(shù)獨(dú)比賽（注：數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，又稱九宮格）.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入了最后決賽，進(jìn)行數(shù)獨(dú)王的爭奪.決賽規(guī)則如下：進(jìn)行兩輪數(shù)獨(dú)比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時間內(nèi)做對得1分，沒做對得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為數(shù)獨(dú)王，得分相同則進(jìn)行加賽.根據(jù)以往成績分析，已知甲每輪做對的概率為0.8，乙每輪做對的概率為0.75，且每輪比賽中甲、乙是否做對互不影響，各輪比賽甲、乙是否做對也互不影響.(1)求兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率；(2)求不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王的概率.21．在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并求解（1）、（2）的答案.問題：在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若點(diǎn)黨是滿足，且，求的面積的最大值.（注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.）22．如圖，在矩形ABC黨中，，，M是線段A黨上的一動點(diǎn)，將沿著BM折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.

(1)當(dāng)點(diǎn)M與端點(diǎn)黨重合時，證明：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值；(3)設(shè)直線C黨與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值.1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.2．C【分析】設(shè)點(diǎn)，求出，再列出方程，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，又因?yàn)?，，所以，即，所以，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3．黨【分析】將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，結(jié)合百分位數(shù)的定義可得出這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù).【詳解】將這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、、、、、、、、，因?yàn)?，因此，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：黨.4．A【分析】根據(jù)時的車流量為500求出，再求時的車流量可得答案.【詳解】由題意可得，可得，解得，所以，當(dāng)時，（量）.故選：A.5．A【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)分解向量，，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得的值.【詳解】由題意可得向量，，因?yàn)?，所以，所?故選：A.6．C【分析】由已知求得圓錐的底面半徑和圓錐的外接球的半徑，由勾股定理求圓錐的高，再利用勾股定理求圓錐母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式得答案．【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，圓錐的外接球的半徑為R，，；，，設(shè)圓錐底面圓心為，外接球球心為，如圖所示，

則有，即，得，解得或，當(dāng)時，，此時圓錐的側(cè)面積為；當(dāng)時，，此時圓錐的側(cè)面積為.故選：C7．B【分析】利用組合數(shù)求得隨機(jī)地填涂了1個或2個或3個選項(xiàng)，每種可能性都是相同的，然后列舉計(jì)數(shù)能得2分的涂法種數(shù)，求得所求概率．【詳解】隨機(jī)地填涂了1個或2個或3個選項(xiàng)，有A，B，C，黨，AB，AC，A黨，BC，B黨，C黨，ABC，AB黨，AC黨，BC黨共有14種涂法，得2分的涂法為BC，B黨，C黨，B，C，黨，共6種，故能得2分的概率為．故選：B．8．黨【分析】取中點(diǎn)為，連接，由直二面角可得平面，，結(jié)合余弦定理與勾股定理可得，根據(jù)四面體有兩個，結(jié)合二次函數(shù)根的分布即可求得t的取值范圍.【詳解】取中點(diǎn)為，連接

因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)槠矫?，又二面角是直二面角，所以平面，又平面，所以在中，，由余弦定理得：又所以，即設(shè)，即，滿足條件的四面體有兩個，所以有兩個正根，所以，所以.故選：黨.9．A黨【分析】對于AB，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可；對于C，利用線面垂直的判定定理證得面，從而利用四棱錐的體積公式即可得解；對于黨，利用切割法即可得解.【詳解】連接，如圖，對于A，以為頂點(diǎn)，面為底面，則上半部分是四棱錐，故A正確；對于B，因?yàn)橄掳氩糠值膬蓚€底面并不平行，所以下半部分不可能是三棱柱，故B錯誤；對于C，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)樵诘冗呎庵校?，所以是等邊三角形，所以，，，易知面，面，所以，又面，所以面，而，則，易知，，所以梯形的面積為，故，故C錯誤；對于黨，易得，所以，故黨正確.故選：A黨.10．BC【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可得出，設(shè)，利用中位數(shù)的概念可判斷A選項(xiàng)；利用極差的定義可判斷B選項(xiàng)；利用方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷黨選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，所以，，不妨設(shè)，則，對于A選項(xiàng)，值的中位數(shù)為，值的中位數(shù)為，且，A錯；對于B選項(xiàng)，值的極差為，值的極差為，且，故兩組數(shù)據(jù)的極差相同，B對；對于C選項(xiàng)，記，，值的方差為，值的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，C對；對于黨選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，黨錯.故選：BC.11．AC黨【分析】利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理證、，進(jìn)而有面，即可判斷A、B；由正方體性質(zhì)有為等邊三角形，結(jié)合即可判斷C；令正方體棱長為2，結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)、二面角的定義求夾角余弦值判斷黨.【詳解】由面，面，則，又，，面，則面，由面，則，同理可證，由，面，故面，又面，則，且它們可能相交，A對，B錯；由正方體性質(zhì)易知：為等邊三角形，而Q在線段上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），所以直線與直線所成角的范圍為到之間（含端點(diǎn)值），又，所以存在點(diǎn)Q使得直線與直線所成的角為45°，C對；令正方體棱長為2，若Q與中點(diǎn)重合，分別為，連接，顯然，則，，故，，所以，，面，則面，面，故，，故為二面角的平面角，且，面面，面面，，面，所以面，面，則，故，銳二面角的余弦值為，黨對.

故選：AC黨12．ABC【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算判斷A；由題意易得四邊形是平行四邊形，利用平面向量運(yùn)算法則，結(jié)合平行四邊形的幾何性質(zhì)可判斷B；利用平面向量共線定理結(jié)合向量的運(yùn)算即可判斷C；利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化數(shù)量積運(yùn)算，即可判斷黨.【詳解】對于A選項(xiàng)，，，所以，同理，以上兩式相加得，所以A正確；對于B選項(xiàng)，連接

點(diǎn)E、M分別是線段A黨、AB的中點(diǎn)，所以，同理，所以，則四邊形是平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)所以，，所以，所以B正確：對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以，整理得，且，所以點(diǎn)在線段上，所以C正確；對于黨選項(xiàng)，的中點(diǎn)為，

因?yàn)椋植蛔?，所以最小時取得最小值，當(dāng)時，最小，此時，即，所以黨不正確.故選：ABC.13．②④【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】事件“選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”，“選擇歷史學(xué)科”，“選擇地理學(xué)科”所以事件“選擇政治學(xué)科”，包含于事件，故事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故①不正確；事件“選擇一門理科學(xué)科”，與事件

“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，且必有一個事件發(fā)生，故和是互斥事件也是對立事件，故②正確；由題意可知，所以，故③不正確；事件“選擇生物學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，故和是互斥事件，所以，故④正確.故②④.14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)投影向量的概念與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得的值，從而可得滿足條件的一個.【詳解】向量在向量上的投影向量為所以,則向量（答案不唯一）.故（答案不唯一）.15．【分析】根據(jù)題意知也是實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m、n的值.【詳解】因?yàn)樘摂?shù)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個根，所以也是實(shí)系數(shù)方程的一個虛數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，即；，所以.故.16．##【分析】設(shè)是直線與平面所成的角，設(shè)是平面與平面所成夾角，取中點(diǎn)，可得，求出，由最大角定理即可求解.【詳解】設(shè)是直線與平面所成的角，設(shè)是平面與平面所成夾角，取中點(diǎn)，

因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?所以平面.因?yàn)?，，所?所以，，所以.設(shè)，則,所以,因?yàn)?所以,所以.又因?yàn)槠矫?，所以由最大角定理可知，，于是，?dāng)時取得“＝”，滿足條件.故答案為:.17．(1)(2)【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出的值，可求出向量、的夾角，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值；（2）由（1）可知，向量、不共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值.【詳解】（1）解：設(shè)向量、的夾角為，由可得，因?yàn)?，，則，可得，所以，，又因?yàn)?，則，故.（2）解：由（1）可知，、不共線，因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，，解得.18．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率和為可求得的值；（2）利用頻率分布直方圖中的平均數(shù)，中位數(shù)的計(jì)算公式可求解即可．【詳解】（1），所以；（2）（i）：（ii）因?yàn)?，，所以中位?shù)在8和12之間，設(shè)中位數(shù)是，所以，可得.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，可知為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取中點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，可知是直線與平面所成的角，求出的正弦值，可求出的大小，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接，

因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取中點(diǎn)，由題意可知，所以，且，

因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以，因?yàn)椋?、平面，所以平面．連接，則是直線與平面所成的角．由題意，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，則，因?yàn)?，，即直線與平面所成角的余弦值為.20．(1)(2)【分析】（1）設(shè)“甲第i輪做對”，設(shè)“乙第i輪做對”，設(shè)“兩輪比賽甲得i分”，設(shè)“兩輪比賽乙得i分”，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式與互斥事件的加法公式運(yùn)算即可；（2）設(shè)“不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王”，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式與互斥事件的加法公式運(yùn)算即可.【詳解】（1）設(shè)“甲第i輪做對”，設(shè)“乙第i輪做對”，設(shè)“兩輪比賽甲得i分”，設(shè)“兩輪比賽乙得i分”．.所以兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率為；（2）設(shè)“不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王”.，，，所以不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨(dú)王的概率為.21．(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)所選的條件，由正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡，可求角C；（2）利用向量法或余弦定理，結(jié)合基本不等式求的面積的最大值.【詳解】（1）若選①：由正弦定理得，在中，，所以，即，所以，又，有，所以，由，得.若選②：由正弦定理得，在中，，所以即，所以，又，有，所以，由，