湖北省襄陽市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

湖北省襄陽市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.3．設(shè)，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.5．已知點到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15C.5或 D.5或156．兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個柱子甲、乙、丙，甲柱上有個盤子，最上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為，則當(dāng)時，和滿足A. B.C. D.7．已知曲線，則曲線W上的點到原點距離的最小值是（）A. B.C. D.8．在中，已知角A，B，C所對的邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.19．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.10．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.2211．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.12．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.14．已知數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，且對任意，都有且．若對任意恒成立，則________15．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__16．若直線與直線平行，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)F為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓C交于兩點.（1）若點B為橢圓C的上頂點，求直線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，，求證：為定值.18．（12分）籃天技校為了了解車床班學(xué)生的操作能力，設(shè)計了一個考查方案；每個考生從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成零件加工，規(guī)定：至少正確加工完成其中個零件方可通過．道備選題中，考生甲有個零件能正確加工完成，個零件不能完成；考生乙每個零件正確完成的概率都是，且每個零件正確加工完成與否互不影響（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列（列出分布列表）；（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學(xué)期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力19．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將關(guān)注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820．（12分）如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，（1）求證：；（2）當(dāng)與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值21．（12分）分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點在y軸，短軸長為2，離心率為；（2）短軸一端點P與兩焦點，連線所構(gòu)成的三角形為等邊三角形22．（10分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)4、D【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.5、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點到直線的距離為1，解得：m=15或5故選：D.6、C【解析】通過寫出幾項，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤，甲柱上的盤從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時，將移到乙柱，只移動1次；當(dāng)時，將移到乙柱，將移到乙柱，移動2次；當(dāng)時，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時，將上面的3個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時，將上面的4個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫出幾項，尋找規(guī)律，從而得到對應(yīng)的遞推公式.7、A【解析】化簡方程，得到，求出的范圍，作出曲線的圖形，通過圖象觀察，即可得到原點距離的最小值詳解】解：即為，兩邊平方，可得，即有，則作出曲線的圖形，如下：則點與點或的距離最小，且為故選：A8、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.9、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.10、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動點P到定點的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因為直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點，所以設(shè)，則，因為，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因為表示內(nèi)切圓上的動點P到定點的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.11、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12、C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進一步可以得到，進而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.14、66【解析】根據(jù)恒成立和嚴(yán)格遞增可得，然后利用遞推求出，的值，不難發(fā)現(xiàn)在此兩項之間的所有項為連續(xù)正整數(shù)，于是可得，，然后可解.【詳解】因為，且數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以或，若，則（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以，，所以，所以故答案為：6615、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：3616、【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】當(dāng)時，顯然兩直線不平行，所以依題有，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的直線方程，結(jié)合橢圓方程可求的坐標(biāo)，從而可求的直線方程；（2）設(shè)，直線（或），則可用兩點的坐標(biāo)表示或，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消元后利用韋達定理可化簡前者從而得到要證明的結(jié)論【詳解】（1）若B為橢圓的上頂點，則.又過點，故直線由可得，解得即點，又，故直線；（2）設(shè)，方法一：設(shè)直線，代入橢圓方程可得：所以，故，又均不為0，故，即為定值方法二：設(shè)直線，代入橢圓方程可得：所以所以，即，所以，即為定值方法三：設(shè)直線，代入橢圓方程可得：所以，所以所以，把代入得方法四：設(shè)直線，代入橢圓的方程可得，則所以.因為，代入得.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.18、（1）分布列見解析（2）甲的試驗操作能力較強，理由見解析【解析】（1）設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，計算出兩個隨機變量在不同取值下的概率，可得出這兩個隨機變量的概率分布列；（2）計算出、、、的值，比較、的大小，以及、的大小，由此可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個數(shù)分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正確加工完成零件數(shù)的概率分布列如下表所示：【小問2詳解】解：，，，，所以，，從做對題的數(shù)學(xué)期望分析，兩人水平相當(dāng)；從通過考查的概率分析，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的試驗操作能力較強.19、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān).【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012