第47講直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法

第47講：直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法【考綱要求】能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系?！净A(chǔ)知識(shí)】③SKIPIF1<0方法二（代數(shù)法）：通過(guò)判別式判斷直線與圓的方程組的實(shí)數(shù)解的情況，從而確定直線和圓的位置關(guān)系。①SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解SKIPIF1<0直線與圓相交；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程組有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解SKIPIF1<0直線與圓相切；③SKIPIF1<0SKIPIF1<0方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解SKIPIF1<0直線與圓相離。方法三:先證明直線過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)在圓內(nèi)，則該直線和圓相交?！痉椒ㄖv評(píng)】【變式演練1】已知圓C：x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切？（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=2SKIPIF1<0時(shí)，求直線l的方程.方法二代數(shù)法使用情景判斷直線和圓的位置關(guān)系解題步驟先聯(lián)立直線和圓的方程消去SKIPIF1<0，得到關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，再求判別式，得出結(jié)論。法二：同法一得直線方程為y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.又圓心到直線距離d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))，∴d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＜1，解得eq\f(4－\r(7),3)＜k＜eq\f(4＋\r(7),3).(2)證明：設(shè)過(guò)A點(diǎn)的圓的切線為AT，T為切點(diǎn)．則|AT|2＝|AM|·|AN|，|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴SKIPIF1<0＝7.根據(jù)向量的運(yùn)算：SKIPIF1<0＝||·||·cos0°＝7為定值．例3已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0求證：對(duì)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于本題，如果利用代數(shù)的方法和幾何的方法，計(jì)算量比較大。但是如果找到直線的定點(diǎn)，就比較容易判斷直線和圓的關(guān)系。所以當(dāng)直線中含有參數(shù)時(shí)，都要注意考慮直線是否過(guò)定點(diǎn)。2.【2012高考真題浙江理3】設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解之得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不能得到SKIPIF1<0。故選A.3.【2012高考真題陜西理4】已知圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線，則（）A.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交B.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切C.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相離D.以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能【解析】圓的方程可化為SKIPIF1<0，易知圓心為SKIPIF1<0半徑為2，圓心到點(diǎn)P的距離為1，所以點(diǎn)P在圓內(nèi).所以直線與圓相交.故選A.4.【2012高考真題天津理8】設(shè)，若直線與圓相切，則m+n的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【反饋訓(xùn)練】1．“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件2．如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是()A．P在圓外B．P在圓上C．P在圓內(nèi)D．不能確定5.直線x＋eq\r(3)y＝0繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°所得直線與圓x2＋y2－4x＋1＝0的位置關(guān)系是 ()A．直線與圓相切B．直線與圓相交但不過(guò)圓心C．直線與圓相離D．直線過(guò)圓心6.直線x＋y＝1與圓x2＋y2－2ay＝0(a>0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ()A．(0，eq\r(2)－1)B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(－eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)D．(0，eq\r(2)＋1)7.由直線y＝x＋1上的點(diǎn)向圓x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A．1 B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D．38.若直線y＝x＋b與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A．[1－2eq\r(2)，1＋2eq\r(2)] B．[1－eq\r(2)，3]C．[－1,1＋2eq\r(2)] D．[1－2eq\r(2)，3]9.設(shè)直線過(guò)點(diǎn)（0，a），斜率為1，且與圓x2+y2=2相切，則a的值為（）A.±4B.±2SKIPIF1<0C.±2D.±SKIPIF1<012.已知圓的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,且與直線3x+4y+4=0相切,則圓的方程是()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=013．若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離為1，則半徑r的取值范圍是() A．（4，6） B．[4，6SKIPIF1<0 C．（4，6SKIPIF1<0 D．[4，6]【變式演練詳細(xì)解析】【變式演練1詳細(xì)解析】（1）由題意知圓C的圓心為(0,4)，半徑為2.當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，SKIPIF1<0=2，解得a=SKIPIF1<0.(2）當(dāng)直線l與圓C相交，且AB=2SKIPIF1<0時(shí)，圓心（0,4）到直線l的距離d=SKIPIF1<0,解得a=-1或a=-7.此時(shí)直線l的方程為x-y+2=0或7x-y+14=0.【變式演練2詳細(xì)解析】：SKIPIF1<0【變式演練3詳細(xì)解析】證明：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；【反饋訓(xùn)練詳細(xì)解析】1.A【解析】：當(dāng)k＝1時(shí)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|k|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)＜1，此時(shí)直線與圓相交，所以充分性成立．反之，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，d＝eq\f(|k|,\r(2))＜1，|k|＜eq\r(2)，不一定k＝1，所以必要性不成立．所以所求圓O的方程為：SKIPIF1<0,故選D.4.C【解析】：圓（x-3)2+y2=16的圓心為（3，0），半徑為4.拋物線的準(zhǔn)線為SKIPIF1<0,由題意易得SKIPIF1<0,所以p=2.5.A【解析】：直線x＋eq\r(3)y＝0的傾斜角為150°，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后為120°.方程為y＝－eq\r(3)x.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝3.又圓心(2,0)到直線y＝－eq\r(3)x的距離d＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)＝r，∴直線與圓相切．6.A【解析】：圓心(0，a)，半徑r＝a.∴eq\f(|a－1|,\r(2))>a，∴0<a<eq\r(2)－1.8.D【解析】：y＝3－eq\r(4x－x2)變形為(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表示以(2,3)為圓心，2為半徑的下半圓，如圖所示．若直線y＝x＋b與曲線y＝3－eq\r(4x－x2)有公共點(diǎn)，只需直線y＝x＋b在圖中兩直線之間(包括圖中兩條直線)，y＝x＋b與下半圓相切時(shí)，圓心到直線y＝x＋b的距離為2，即eq\f(|2－3＋b|,\r(2))＝2，解得b＝1－2eq\r(2)或b＝1＋2eq\r(2)(舍去)，∴b的取值范圍為1－2eq\r(2)≤b≤3.故選D.9.C【解析】：直線方程為x-y+a=0,則SKIPIF1