第25章銳角的三角比（知識(shí)清單典型例題素養(yǎng)提升）九年級(jí)數(shù)學(xué)講義

第25章銳角的三角比（知識(shí)清單+典型例題+素養(yǎng)提升）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】1銳角的三角比1．如圖，在△中，，直角邊和分別叫做的對(duì)邊和鄰邊．2．（1）直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦．．（2）直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦．．（3）直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切．．（4）直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做這個(gè)銳角的余切．．【記憶技巧】【記憶技巧】正（正對(duì)）弦（斜邊）：對(duì)邊比斜邊；余（余鄰—“魚(yú)鱗”）弦（斜邊）：鄰邊比斜邊．1．（2023·上?！ひ荒＃┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸正半軸的夾角是，那么的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】由銳角的余切定義，即可求解．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)，∴．故選∶A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握銳角的三角函數(shù)定義．2．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖∵中，，，，∴,∴，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2特殊角的三角比1．特殊角的銳角三角比：30°45°60°11【記憶技巧】1．圖形推導(dǎo)法2．表格記憶法30°45°60°113．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）計(jì)算：【答案】【分析】因?yàn)?，，，，然后代入?jì)算式即可得出答案．【詳解】，，，，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的各種三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】把、、角的各種三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，準(zhǔn)確記住、、角的各種三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海寶山·一模）計(jì)算：．【答案】【分析】分別把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的過(guò)程叫做解直角三角形．2．在△中，90°，則它的三條邊和兩個(gè)銳角這五個(gè)元素間有以下關(guān)系：（1）銳角之間的關(guān)系：90°；（2）三邊之間的關(guān)系：；（3）邊角之間的關(guān)系：；；；．3．解直角三角形的類(lèi)型與解法：類(lèi)型一︰已知一邊一角（角為兩銳角之一）已知條件解法步驟一邊和一角斜邊和一銳角斜邊和一個(gè)銳角1．；2．；3．．一直角邊和一銳角一條直角邊和一個(gè)銳角1．；2．；3．．一條直角邊和一個(gè)銳角1．；2．；3．．類(lèi)型二︰已知兩邊（兩直角邊或一條直角邊與斜邊）已知條件解法步驟兩邊斜邊和直角邊1．；2．利用，求；3．．兩條直角邊和1．2．利用，求；3．．6．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義設(shè)CD＝4k，則AD＝3k，從而利用勾股定理求出AC＝5k，進(jìn)而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴設(shè)CD＝4k，則AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB?CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在四邊形中，平分，，．(1)求證：且求出的值；(2)如果，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)246【分析】（1）先利用兩角對(duì)應(yīng)相等判斷，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系和相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論；（2）利用直角三角形的邊角間關(guān)系先求出、，再利用勾股定理求出、，最后利用三角形的面積公式得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴＝；（2）∵，∴＝，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的邊角間關(guān)系及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC，cosC＝，AC＝10，BE＝2AE．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）求△BDE的面積．【分析】（1）在Rt△ACD中，由cosC＝＝，求出CD，再由DE∥AC得，即可求出BD．（2）由勾股定理求出AD，根據(jù)BE＝2AE得到S△BDE＝S△ABD，即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴cosC＝，∴＝，∴CD＝8，∵DE∥AC，∴，又BE＝2AE，∴，∴BD＝16．（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝6，∵BE＝2AE，∴S△BDE＝S△ABD＝×AD?BD＝××6×16＝32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，以及平行線分線段成比例定理，三角形的面積計(jì)算，熟練運(yùn)用三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．9．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）求∠EAB的正弦值．【分析】（1）利用∠B的正切值先求出CD，再利用勾股定理求出AC；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．先判斷EF是三角形的中位線，再求出EF、DF、AF及AE，最后求出∠EAB的正弦值．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△ACD、△BCD均為直角三角形．在Rt△CDB中，∵BD＝6，tanB＝＝，∴CD＝4．在Rt△CDA中，AC＝＝＝2．（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF．又∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線．∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．∴AF＝AD+DF＝5．在Rt△AEF中，AE＝＝＝．∴sin∠EAB＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系以及三角形的中位線定理是解決本題的關(guān)鍵．4解直角三角形的應(yīng)用1．水平線：水平面上的直線以及和水平面平行的直線.2．鉛垂線：垂直于水平面的直線，我們通常稱(chēng)為鉛垂線.3．在測(cè)量時(shí)，如圖，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.4．如圖，坡面的鉛垂高度()和水平寬度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作，即.坡度通常寫(xiě)成的形式，如1︰1.5．5．坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作.坡度與坡角之間的關(guān)系:.知識(shí)延伸※方向角：以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向，旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的小于90°的角，通常表達(dá)成北（南）偏東（西）*度.若正好為45°，則表示為西（東）南（北）方向.2．的取值范圍為.10.如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝15米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底C的仰角∠CBD＝°，塔頂A的仰角∠ABD＝°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈．）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由題意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴°＝≈，∴AD≈BD，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴°＝≈，∴CD≈BD，∵AC＝AD﹣CD，∴15＝BD，∴BD＝100（米），∴CD＝BD＝75（米），答：山高CD為75米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11.（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無(wú)輻射，降低了對(duì)消費(fèi)者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場(chǎng)角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時(shí)（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗(yàn)的觀影位．（1）小麗家決定要買(mǎi)一個(gè)激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長(zhǎng)）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)？（結(jié)果精確到m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈，tan33°≈，sin40°≈，tan40°≈，°≈，°≈，sin20°≈，tan20°≈）（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價(jià)格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營(yíng)的某款激光電視今年每臺(tái)銷(xiāo)售價(jià)比去年降低4000元，在銷(xiāo)售量相同的情況下，今年銷(xiāo)售額在去年銷(xiāo)售總額100萬(wàn)元的基礎(chǔ)上減少20%，今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是多少元？【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可得AB＝AC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意列出方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，當(dāng)∠BAC＝33°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝°，在△ABD中，BD＝AD×°≈×＝（m），∴BC＝2BD＝（m），當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈×＝（m），∴BC＝2BD＝m，答：小佳家要選擇電視屏幕寬為m﹣m之間的激光電視就能享受黃金觀看體驗(yàn)；（2）設(shè)今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是x元，則去年每臺(tái)的售價(jià)為（x+4000）元．由題意可得：＝，解得：x＝16000，經(jīng)檢驗(yàn)x＝16000是原方程的解，符合題意，答：今年這款激光電視每臺(tái)的售價(jià)是16000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，視點(diǎn)，視角和盲區(qū)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程．12．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）某小區(qū)開(kāi)展了“行車(chē)安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車(chē)庫(kù)作了改進(jìn)．如圖，這小區(qū)原地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的坡度為i＝1：，AB⊥BC，為了居民行車(chē)安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為17°，即∠ADC＝17°（此時(shí)點(diǎn)B、C、D在同一直線上）．求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈，cos17°≈，tan17°≈）【分析】根據(jù)坡度的概念，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求解，然后根據(jù)余切的定義列出算式，求出DC．【解答】解：由題意，得：∠ABC＝90°，i＝1：，在Rt△ABC中，i＝＝，設(shè)AB＝5x米，則BC＝12x米，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5米，BC＝12米，在Rt△ABD中，tan∠ADC＝，∵∠ADC＝17°，AB＝5米，∴，∴CD≈（米），答：斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)D與原起點(diǎn)C的距離為米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，高壓電線桿垂直地面，測(cè)得電線桿的底部A到斜坡C的水平距離長(zhǎng)為米，落在斜坡上的電線桿的影長(zhǎng)為米，在D點(diǎn)處測(cè)得電線桿頂B的仰角為．已知斜坡的坡比，求該電線桿的高．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】該電線桿的高為17米【分析】過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)斜坡的坡比，米，求出的長(zhǎng)度，然后求出和的長(zhǎng)度，在中，求出的長(zhǎng)度，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，∵斜坡的坡比，米，∴設(shè)米，則米，，解得，則米，米，米，米，在中，，設(shè)米，則米，，解得，（米），米，答：該電線桿的高為17米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度一般．14．（2023?嘉定區(qū)一模）《海島算經(jīng)》是中國(guó)古代測(cè)量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測(cè)量向間接測(cè)量的橋梁．直至近代，重差測(cè)量法仍有借鑒意義．如圖2，為測(cè)量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點(diǎn)共線．從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點(diǎn)共線，且仰角為45°；從點(diǎn)D處退行到點(diǎn)G，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、E、G三點(diǎn)共線，且仰角為30°．（點(diǎn)F、G都在直線HB上）（1）求FG的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）山峰高度AH的長(zhǎng)（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：≈，≈）【分析】（1）根據(jù)題意可得：CB⊥FH，ED⊥HG，然后分別在Rt△FBC和Rt△DEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF和DG的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）設(shè)AH＝x米，在Rt△AHF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出HF的長(zhǎng)，從而求出HG的長(zhǎng)，再在Rt△AHG中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得HG＝AH，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：CB⊥FH，ED⊥HG，在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2，∴BF＝＝2（米），在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2，∴DG＝＝＝2（米），∵BD＝6米，∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米，∴FG的長(zhǎng)為（4+2）米；（2）設(shè)AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH＝＝x（米），∵FG＝（4+2）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG＝＝＝AH，∴x+4+2＝x，解得：x＝5+3≈，∴AH＝米，∴山峰高度AH的長(zhǎng)約為米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】15．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為．【答案】或【分析】分兩種情況，結(jié)合正方形和正三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；如圖，在正方形和正三角形中，連接交于點(diǎn)O，正三角形的中線交于點(diǎn)F，則點(diǎn)O，P分別正方形和正三角形的中心，在正方形和正三角形中，，，，∴點(diǎn)O，E均在的垂直平分線上，∴點(diǎn)E，O，P，G四三點(diǎn)共線，∵正方形和正三角形的邊長(zhǎng)都為6，∴．∴，∴，∴；即中心距為；綜上所述，中心距為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形和正三角形的性質(zhì)，解直角三角形，利用分類(lèi)思想解答是解題的關(guān)鍵．16.（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，，，，，平分交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)y=(3)的長(zhǎng)為1或【分析】（1）要證，只需證，只需證到，．由，平分∠ABC可證到；由可證到，問(wèn)題解決．（2）作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，易證，從而可以證到，可得．只需用x、y表示出、，問(wèn)題就得以解決．（3）當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，可分和兩種情況討論．當(dāng)時(shí)，由可得，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當(dāng)時(shí)，易證，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，則有，結(jié)合，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．【詳解】（1）證明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，如圖2，則有．在中，，則．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如圖3，∵（已證），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．則有．解得：（舍），．②，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為H，如圖4，∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．則有．∴，．∵，∴．綜上所述：當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)．而作的垂直平分線交于點(diǎn)M，進(jìn)而證到是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．17．（2023·上?！ひ荒＃┮阎挠嗲兄禐?，，點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，連接，并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)P．(1)連接，求證：；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，如果的正切值為2，求線段的長(zhǎng)；(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或或【分析】（1）連接，根據(jù)余切的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)余切的定義即可得證；（2）設(shè)，則，，先根據(jù)正切的定義可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，分三種情況：、、，先根據(jù)余切的定義求出的值，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵的余切值為2，∴，設(shè)，則，∴，，∴．（2）解：由（1）可知，設(shè)，則，∴，∵的正切值為2，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，，∴，，即，解得．（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，由題意，分三種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，解得；②如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，∴，，，，又，∴，∴，∵，∴，，即，解得；③如圖，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得，，∴，，即，解得，綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切、余切，正確求出與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．（2022春·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，(1)當(dāng)OB與x軸的正半軸的夾角為45°時(shí)，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．(2)在直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAB大小會(huì)變化嗎？如果不變，請(qǐng)求出tan∠OAB的值如果有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如果AB交y軸于點(diǎn)C，若AC=2BC時(shí)，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．【答案】(1)A（1,1），B（2,2）(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)OB與x軸的正半軸的夾角為45°，可知點(diǎn)B的橫縱坐標(biāo)相等，則，可得答案；（2）作軸于G，作軸于H，則，再利用，得，從而解決問(wèn)題；（3）作軸于H，軸于G，由，得到，設(shè)，則，再由，得，則，，從而表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵OB與x軸的正半軸的夾角為45°，∴，∵，∴，∴B（2,2）．∵，∴OA與y軸正半軸的夾角為45°．同理得A（1,1）．（2）不變，作軸于G，作軸于H，∵∠BOA的兩邊分別與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴tan∠OAB的值為2．（3）作軸于H，軸于G，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答．19．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，垂直平分交射線于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)E．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)連接，如果和相似，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)和相似，的長(zhǎng)為或5(3)的長(zhǎng)是【分析】（1）連接，，由，，，得，，而D是中點(diǎn)，，知，從而，證明，可得，，解得，，即可得；（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，有，解得；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，可得，解得，即可得出答案；（3）連接，過(guò)D作于K，由，有，設(shè)，則，在中，得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，，如圖：∵，，，∴，，∵D是中點(diǎn)，∴，∵是的垂直平分線，∴，∵D是中點(diǎn)，，∴，∴，，∵是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，，解得，，∴；（2）①當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，∵，∴，解得，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，∵，∴，解得，∴；綜上所述，和相似，的長(zhǎng)為或5；（3）連接，過(guò)