培優(yōu)專題05確定二次函數(shù)解析式的8種方法-解析版

培優(yōu)專題05確定二次函數(shù)解析式的8種方法◎方法一：利用平移確定二次函數(shù)的解析式1．（2020·青?！や以纯h第一九年級期中）把拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減，向上平移縱坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），∴向左平移2個單位，再向上平移3個單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是∴所得拋物線解析式是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，利用頂點(diǎn)的變化確定拋物線解析式的變化更簡便．2．（2021·廣西·梧州市第十九年級階段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位，得到的新圖象的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則“左加右減，上加下減”結(jié)合平移前的函數(shù)解析式，可得答案．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位，得到的新圖象的函數(shù)表達(dá)式是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線經(jīng)一次變換后得到拋物線，則這個變換可以是（

）A．向左平移2個單位 B．向右平移2個單位 C．向上平移8個單位 D．向下平移8個單位【答案】B【分析】先將兩解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)平移前后的兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解答．【詳解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-32）．所以將拋物線y=2（x+5）（x-3）向右平移2個單位長度得到拋物線y=2（x+3）（x-5）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與平移變換，掌握平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西西安·九年級期末）拋物線的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為______．【答案】【分析】先求出如圖所示的拋物線的解析式，再根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知拋物線過點(diǎn)，把點(diǎn)（3，0）代入y=-x2+2x+c，得0=-9+6+c，解得c=3．故原圖象的解析式為y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4，將拋物線y=-（x-1）2+4向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線解析式的確定及二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．5．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），平移此拋物線，使點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)落在x軸上，點(diǎn)M平移后的對應(yīng)點(diǎn)落在y軸上，則平移后的拋物線解析式為________．【答案】【分析】直接利用拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)求法分別得出，，點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出平移方向和距離，即可得出平移后解析式．【詳解】解：當(dāng)，則，，解得：，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為：，平移該拋物線，使點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)落在軸上，點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)落在軸上，拋物線向上平移一個單位長度，再向左平移2個單位長度即可，平移后的解析式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法以及二次函數(shù)的平移，正確得出平移方向和距離是解題關(guān)鍵．◎方法二：已知一點(diǎn)、兩點(diǎn)或三點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式6．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)是，且經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=a（x-2）2+1，把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出a即可．【詳解】解：∵拋物線頂點(diǎn)是A（2，1），且經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=a（x-2）2+1，把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：0=a（1-2）2+1，解得：a=-1，即拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，能熟記二次函數(shù)的三種形式的特點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級單元測試）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C． D．2【答案】B【分析】把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可得出代數(shù)式a-b的值．【詳解】解：把（-1，0）代入y=ax2+bx+2，得a-b+2=0，即a-b=-2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，那么下列各點(diǎn)中，該拋物線必經(jīng)過的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定拋物線的解析式，再計算出自變量為0時所對應(yīng)的函數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴物線的解析式為：，∵時，，∴拋物線必經(jīng)過的點(diǎn)是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線恰好經(jīng)過和兩點(diǎn)．（1）求a的值___________；（2）平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值___________．【答案】

-1

【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求解；（2）由（1）知，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+1，設(shè)平移后所得拋物線對應(yīng)的表達(dá)式為，因為頂點(diǎn)在直線上，得到．令，得平移后的拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為z=．化成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可知此拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值，最大值為．【詳解】（1）將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得解得：，；故a的值為-1故答案為：-1．（2）由（1）知，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+1，設(shè)平移后所得拋物線對應(yīng)的表達(dá)式為，∵頂點(diǎn)在直線上，∴．令，得平移后的拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．設(shè)平移后拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為z∵z=，∴當(dāng)時，此拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值，最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目比較難．10．（2022·河南洛陽·九年級期末）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1、0)、(3、0)、(0、3)三點(diǎn)，那么這個二次函數(shù)的解析式為______．【答案】【分析】求函數(shù)的解析式的方法是待定系數(shù)法，可以設(shè)函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c，把(-1、0)、(3、0)、(0、3)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入就得到一個關(guān)于a、b、c的方程組，就可以求出函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)：函數(shù)的解析式是：y=ax2+bx+c，把(-1,0)，(3,0)和(0,3)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到：，解得：，因而函數(shù)的解析式是：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，同時還考查了方程組的解法等知識，難度不大．◎方法三：設(shè)“頂點(diǎn)式”確定二次函數(shù)的解析式11．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分對應(yīng)值如下表所示，則下列判斷不正確的是（

）x012y01.521.5A．當(dāng)時，y隨x的增大而增大 B．當(dāng)時，C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2) D．是方程的一個根【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函的解析式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷選項C；由函數(shù)的增減性質(zhì)可判斷選項A；代入x=4，可求得y的值，可判斷選項B；由x=-1時，y=0，可判斷選項D；即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：，解得，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=-x2+x+=-（x-1）2+2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，選項C不符合題意；∵-開口向下，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，∴x＜0時，y隨x的增大而增大，選項A不符合題意；當(dāng)x=4時，y=-2.5，選項B符合題意；∵x=-1時，y=0，∴x=-1是方程的一個根，選項D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等知識．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且與y軸交于點(diǎn)，這個拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用待定系數(shù)法確定解析式，對照選擇即可．【詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入解析式，得，解得ａ=1，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，熟練掌握解析式是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖南益陽·九年級期末）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則b、c的值分別為（

）A．2，2 B．-2，2 C．2，0 D．-2，0【答案】D【分析】直接利用頂點(diǎn)式寫出拋物線的解析式即可求解．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用頂點(diǎn)式求得解析式，然后化成一般式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇泰州·九年級期末）若一條拋物線與y=2x2圖像的形狀相同且開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則這條拋物線的解析式為________．【答案】y=-2x2+2【分析】設(shè)拋物線解析式為y=ax2+2，根據(jù)拋物線與y=2x2圖象的形狀相同且開口向下，即可求得a=-2，即可確定出解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+2，∵拋物線與y=2x2圖象的形狀相同且開口向下，∴a=-2，∴拋物線解析式為y=-2x2+2，故答案為：y=-2x2+2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．15．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）已知，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，其頂點(diǎn)為．（1）當(dāng)時，拋物線的解析式為_________．（2）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上，且時，a的取值范圍是______．【答案】

y=-3x2+6x

【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線為y=a（x-1）2+3，將原點(diǎn)代入求出a值即可．（2）分別求出m=1和m=7時點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得新的函數(shù)解析式，再根據(jù)經(jīng)過原點(diǎn)可得a值，從而得到a的取值范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)m=1，n=3時，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），設(shè)拋物線為y=a（x-1）2+3，∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴0=a（0-1）2+3，∴a=-3，∴拋物線解析式為y=-3x2+6x；（2）∵點(diǎn)A在拋物線上，，當(dāng)x≥時，y隨x的增大而增大，當(dāng)m=1時，n=1，當(dāng)m=7時，n=43，當(dāng)A（1，1）時，，∵拋物線過原點(diǎn)，∴a+1=0，則a=-1，當(dāng)A（7，43）時，，∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴，則，∴a的取值范圍是；故答案為：y=-3x2+6x，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用參數(shù)解決問題，題目比較難參數(shù)比較多，第三個問題解不等式要注意討論．◎方法四：設(shè)“交點(diǎn)式”確定二次函數(shù)的解析式16．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)是（1，0），（﹣3，0），則這條拋物線的對稱軸是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3【答案】B【分析】根據(jù)“拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)到對稱軸的距離相等”進(jìn)行填空．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)是（1，0），（﹣3，0），∴這條拋物線的對稱軸是：x＝＝-1，即x＝-1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵是掌握拋物線與x軸的兩交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱；17．（2020·江西·宜春九年級期中）已知拋物線與軸的交點(diǎn)為，，則該拋物線的對稱軸（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．軸【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的對稱性得到點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線上的對稱點(diǎn)，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B的對稱軸即為拋物線的對稱軸．【詳解】∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A（﹣2，0），B（6，0），∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x－x1）（x－x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．解決本題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性．18．（2023·河北·九年級專題練習(xí)）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可計算AB長度，由圖像可知拋物線的對稱軸和點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出拋物線方程，進(jìn)而逐項判斷即可．【詳解】①由題可知，AB=15－（﹣15）=30m，則①錯誤；②對稱軸為y軸，交y軸于點(diǎn)(0，﹣5)，設(shè)函數(shù)解析式為,將點(diǎn)(15,0)代入解析式得，解得，池底所在拋物線解析式為，則②正確；③將代入解析式得，解得，則池塘最深處到水面CD的距離為m,則③錯誤；④設(shè)原寬度為時最深處到水面的距離為m，寬度減少為原來的一半時距離為m，故④正確，所以①、③錯誤，②、④正確，選項B正確，符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖像設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪?，利用待定系?shù)法求解．19．（2022·寧夏·隆德縣第二九年級期末）拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x?01234?y?30-103?則拋物線的解析式是______________．【答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得：將代入到，得：∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解．20．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于A，兩點(diǎn)，則該拋物線的解析式是____．【答案】【分析】根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)C易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式．【詳解】當(dāng)時，，∴，∴，∴，，∴，，將，代入得，，解得，∴該拋物線的解析式是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是本題的關(guān)鍵．◎方法五：根據(jù)圖形變換確定二次函數(shù)的解析式類型1平移變換21．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線的圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，將沿軸向下平移使點(diǎn)平移到點(diǎn)，再繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，若此時點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)，恰好落在拋物線上，則的值為（

）A． B．－1 C． D．－2【答案】A【分析】先根據(jù)題意確定拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，過作于，得到，的長，再根據(jù)題意，與重合，進(jìn)而得到和的長，于是得到的坐標(biāo)，由于在拋物線上，進(jìn)而求解．【詳解】過作于，如圖∵拋物線的解析式：，∴其頂點(diǎn)是，對稱軸∵∴，根據(jù)題意，與重合，∵∴∴，∴∵，在拋物線上∴∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，幾何圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法和靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解本題的關(guān)鍵．22．（2022·全國·九年級）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）圖象的對稱軸為直線x＝2．向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，則平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝x2﹣4x+3【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸可求得，進(jìn)而根據(jù)向下平移經(jīng)過原點(diǎn)即可求得平移后的解析式【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）圖象的對稱軸為直線x＝2∴解得向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，平移后圖象所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為故選B【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的平移，求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．類型2旋轉(zhuǎn)變換23．（2010·湖北恩施·中考真題）將拋物線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】y=2x2-12x+16=2（x2-6x+8）=2（x-3）2-2，將原拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得：y=-2（x-3）2-2=-2x2+12x-20；故選D．24．（2022·湖北荊州·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所得拋物線的解析式是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：先將原拋物線化為頂點(diǎn)式，易得出與y軸交點(diǎn)，繞與y軸交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，那么根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，可得旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得解析式．解：由原拋物線解析式可變?yōu)椋?，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），又由拋物線繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，∴新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于點(diǎn)原點(diǎn)中心對稱，∴新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），∴新的拋物線解析式為：．故選A．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．類型3軸對稱變換25．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）將拋物線C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3個單位長度，得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，則拋物線C3的解析式為（）．A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線C1的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次函數(shù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，并根據(jù)平移前后二次項的系數(shù)不變可得拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線C3所對應(yīng)的解析式．【詳解】解：∵拋物線C1：y＝（x－3）2＋2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）∵向左平移3個單位長度，得到拋物線C2∴拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）∵拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱∴拋物線C3的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)∴拋物線C3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－2），二次項系數(shù)為－1∴拋物線C3的解析式為y＝－x2－2故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移、對稱問題，熟練掌握平移的規(guī)律以及關(guān)于x軸對稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．26．（2020·江西·新建九年級階段練習(xí)）拋物線C1：y=x2+1與拋物線C2關(guān)于X軸對稱，則拋物線C2的解析式為（

）A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1【答案】D【分析】畫出圖形后可根據(jù)開口方向決定二次項系數(shù)的符號，開口度是二次函數(shù)系數(shù)的絕對值；拋物線與y軸的交點(diǎn)為常數(shù)項進(jìn)行解答.【詳解】通過畫圖可知，關(guān)于x軸對稱的兩個函數(shù)解析式的開口方向改編，開口度不變，二次項系數(shù)互為相反數(shù)；與y軸的交點(diǎn)互為相反數(shù)，因此常數(shù)項也互為相反數(shù)，故答案為y＝﹣x2－1，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)畫圖可以得到拋物線關(guān)于x軸對稱的特點(diǎn)：二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項均互為相反數(shù).◎方法六：根據(jù)圖像信息確定二次函數(shù)的解析式27．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)．①若，求之間的數(shù)量關(guān)系．②若，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②最小值為【分析】（1）將A，B兩點(diǎn)代入解析式解得即可；（2）①若，則，化簡即可得到的關(guān)系；②代入化簡成頂點(diǎn)式即可得到最小值．(1)拋物線與x軸相交于點(diǎn)解得；(2)①點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)．若，則．；②==，當(dāng)=1時，的最小值為-2．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．28．（2019·浙江金華·九年級階段練習(xí)）已知拋物線的圖象經(jīng)過三個點(diǎn)（－1，0），點(diǎn)（3，0），點(diǎn)（0，-3）；（1）求拋物線解析式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（1，-4）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把（-1，0），（3，0），（0，-3）代入二次函數(shù)中，即可算出a,b,c的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）將（1）中所得解析式化為頂點(diǎn)式，可得結(jié)果．【詳解】（1）∵二次函數(shù)過點(diǎn)（-1，0），（3，0），（0，-3），∴解得：∴二次函數(shù)的解析式為；（2）∵＝（x-1）2?4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，?4）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．29．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)時，求二次函數(shù)的解析式；（2）如下圖，當(dāng)m＝2時，該拋物線與軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)，∴代入二次函數(shù)y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）當(dāng)m＝2時，y＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)，又當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C(0，3)【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．◎方法七：根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)確定二次函數(shù)的解析式30．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．解答下列問題．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的頂點(diǎn)為，對稱抽與軸的交點(diǎn)為，求線段的長；(3)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)使的面積等于6？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或【分析】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）先把拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式得對稱軸為直線和點(diǎn)，再由對稱性求得，即可求得的長；（3）設(shè)點(diǎn)，由，解得：，即可求解．（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得：，∴拋物線的解析式是．（2）∵，∴拋物線的對稱軸為：，頂點(diǎn)，∵，∴，∴，，∴．（3）存在，理由如下：設(shè)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵，，∴，∵的面積等于6，∴，∴，①當(dāng)時，解得，；②當(dāng)時，解得，．∴存在點(diǎn)使的面積等于6．點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解—元二次方程，其中第（3）問要注意分類求解，避免遺漏．31．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，8），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y＝a（x﹣h）2+k經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A，B．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點(diǎn)D，求平移后拋物線的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)為頂點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，則關(guān)于對稱軸對稱，且，即可求得的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得拋物線解析式，設(shè)平移后的解析式為：代入的坐標(biāo)即可求得的值，進(jìn)而求得平移后的拋物線的解析式．【詳解】（1）?ABCD中，AB＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，8），，，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸為，二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，則關(guān)于對稱軸對稱，且，，（2），設(shè)拋物線解析式為將代入解得，拋物線解析式為，設(shè)向上平移個單位后新拋物線的解析式為，依題意，新拋物線過點(diǎn)，則，解得，平移后的拋物線解析式為：即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)圖像的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2016·陜西安康·九年級期末）如圖，二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2的圖象與直線交于A（0，﹣1），B（2，0）兩點(diǎn)．（1）確定二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)直線AB解析式為y2，根據(jù)圖形，確定當(dāng)y1＞y2時，自變量x的取值范圍．【答案】（1）y1=﹣（x﹣2）2．（2）0＜x＜2．【詳解】試題分析：（1）將點(diǎn)A（0，﹣1），代入拋物線解析式，即可求出a值，進(jìn)而確定二次函數(shù)解析式．（2）確定y1＞y2時，自變量x的取值范圍即為拋物線圖象在一次函數(shù)圖形上方時對應(yīng)的x的取值范圍，觀察圖形即可得出．解：（1）∵二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2的圖象與直線交于A（0，﹣1），∴﹣1=a（x﹣2）2，解得：a=﹣，∴二次函數(shù)的解析式為：y1=﹣（x﹣2）2．（2）∵二次函數(shù)y1=a（x﹣2）2的圖象與直線交于A（0，﹣1），B（2，0）兩點(diǎn)，直線AB解析式為y2，∴y1＞y2時，自變量x的取值范圍為0＜x＜2．考點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．◎方法八：根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定二次函數(shù)的解析式33．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某件產(chǎn)品的成本是每件10元，試銷售階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表所示．x/元15203035y/件2520105(1)觀察以上數(shù)據(jù)，根據(jù)我們所學(xué)到的一次函數(shù)、二次函數(shù)，回答：y是x的什么函數(shù)？并求出解析式．(2)要使得每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少？此時每日的銷售利潤是多少？【答案】(1)y是x的一次函數(shù)，(2)產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日的銷售利潤最大，為225元【分析】（1）先根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷出y是x的一次函數(shù)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）設(shè)所獲利潤為W元，根據(jù)銷售利潤=一件利潤×銷售件數(shù)，一件利潤=銷售價-成本，得出日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)；所獲利潤W為二次函數(shù)，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，利用配方法可求最大利潤．（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，y是x的一次函數(shù)．設(shè)此一次函數(shù)關(guān)系式為，則，解得，，故一次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）解：設(shè)所獲利潤為W元，則，所以產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日的銷售利潤最大，為225元．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，注意求最大值的方法和二次函數(shù)的性質(zhì)．34．（2022·廣西·中考真題）打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗，某特產(chǎn)公